最新留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <?<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ?=<<?为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =． 1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C f z dz =?．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?． （1） 证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得

()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??，

由留数的定义，有

()()2Re k

k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k

k z a f z dz i s π=Γ=?，

代入（1）式得 ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?．

2．留数定理在定积分中的应用

利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．

2．1 形如()20

cos ,sin f x x dx π

?型的积分

这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =，

21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z

-++== 得

()2221011cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π

=??--= ?????

()12Re k n

z z k i s f z π===∑．

例1 计算2053cos d I π

θθ

=+?． 解 令i z e θ=，则 ()2210253cos 3103z d I dz i z z π

θθ===+++?? ()()12

1313z dz i z z ==++? ()()13

212Re 3

13z i s i z z π=-??=???++??32π=

． 例2

计算()2202dx I x π

=+

?． 解 ()2221021222z dx dz

I iz x z z π===??++ ? ? ????? ()2124

43z z

dz i z z ==+?

124

4313

z zdz i

z z ==

++?， 由于分母有两个根12z z ==121,1z z <>， 因此 I =142Re 43z z i s i

ππ=?=． 2．2 形如

()f x dx +∞

-∞?型的积分

把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：()()()

P z f z Q z =，其中()P z ，()Q z 均为关于z 的多项式，且分母()Q z 的次数至少比分子()P z 的次数高两次；第二：()f z 在半平面上的极点为k z （k ＝1，2，3，…，

n ），在实轴上的极点为k x （k ＝1，2，3，…，n ）则有

()()12Re k n z z k f x dx i s f z π+∞

==-∞??=????

∑?． 例3 计算2

421x I dx x x +∞

-∞=++?． 解 取()()()

22

4222111z z f z z z z

z z z ==++

-+++，

孤立点为12341111,,,2222z z z z =+=-=-=--，其中落在上半平面的为1z ，3z ，故

(

)212Re k z z k I i s f z π====

∑。

例4 计算()()22220x I dx a x a +∞

-∞=

>+?．

解 由于()2222lim 0z z z z a →∞?=+，且上半平面只有一个极点i a ，因此

()2222x I x a +∞

-∞=

+?()22222Re z ai z i s z a π==?+

()'222z ai

z i z ai π=??=???+???? 2a

π=． 2．3 形如()()imx P x e dx Q x +∞

-∞?型的积分 2．3．1留数公式

定理2 []1（若尔当引理）设函数()g z 沿半径圆周:Re i R z θΓ=（0θπ≤<）上连

续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim 00R imz R g z e dz m Γ→+∞=>?．

证明 ()00,0R εε?>?>，使当0R R >时，有 (),R g z z ε<∈Γ

于是 ()()Re sin 00Re Re i R imz i im i mR g z e dz g e d R e d θππθθ

θθεθ-Γ=≤??? （2） 这里利用了 ()Re ,Re i i g i R θθε<= 以及Re sin cos sin i im mR imR mR e e e θ

θθθ-+-== 于是由若尔当不等式2sin θ

θθπ≤≤（02π

θ≤≤）将（2）化为

()sin 02R imz mR g z e dz R e d π

θεθ-Γ≤?? ()220212mR mR e R e mR m m π

θθπθπεπεεπ=--=????=-=-<?????? 即 ()lim 0R imz R g z e dz Γ→+∞=?．

2．3．2举例

例5 计算2210ix

xe I dx x x +∞

-∞=-+?． 解 不难验证，函数()2210

iz

ze f z z z =-+满足若尔当引理条件． 这里1m =，()2210

z g z z z =-+，函数有两个一阶极点13z i =+及13z i =-， ()()()3'

1321313Re 6210i iz z i z i i e ze s f z i z z -+=+=++==-+

于是 2210ix

xe I dx x x +∞

-∞=-+? ()31326i i e i i π-++= ()()33cos13sin13cos1sin133e i e π

π

--=-++．

2．4 形如()()cos P x mxdx Q x +∞

-∞?和()()sin P x mxdx Q x +∞-∞?型积分 定理3 []1 设()()()

P x g z Q x =，其中()P x 和()Q x 是互质多项式，并且符合条件： （1）()Q x 的次数比()P x 的次数高；

（2）在实轴上()0Q x ≠；

（3）0m >．

则有

()()2Re k

k imx imz z a ima g x e dx i s g z e π+∞

=-∞??=??∑? （3） 特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如

()()cos P x mxdx Q x +∞-∞?及()()sin P x mxdx Q x +∞-∞?的积分．

例6 计算()()

22

cos 19x I dx x x +∞

-∞=++?． 解 利用()()()221

019z z z →→∞++以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个

孤立奇点z i =和3z i =，得到

()()

22

cos 19x I x x +∞

-∞=++? ()()()()22223Re 2Re Re 1919iz iz

z i z i e e i s s z z z z π==?? ?=+ ?++++??

()()()()''22223Re 21919iz iz z i z i e e i z z z z π==?? ?=+ ? ?++++??

13Re 21648e e i i i π--??=+ ?-??

()233124e e π

=-．

例7 计算440sin x mx I dx x a

+∞

=+?（0,0m a >>）． 解 被积函数为偶函数，所以

440sin x mx I dx x a +∞=+?44441sin 122imx x mx xe dx im dx x a x a +∞+∞-∞-∞==++??，

设函数关系式为()44

imz

ze f z z a =+，它共有四个一阶极点，即 24k i k a ae ππ

+=（0,1,2,3k =）

得 ()44Re k k

imz

z a z a ze s f z z a ===+（0,1,2,3k =）， 因为0a >，所以()f z 在上半面只有两个一阶极点0a 及1a ，于是

444402Re k m k imx imz

z a z a xe ze dx i s x a z a π+∞=>-∞

=++∑?

2i

e a π=， 故 440sin x mx I dx x a

+∞

=+?

442122imx xe i im dx e x a a π+∞-∞==+?

3.小结

上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系．解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.

参考文献

［1］钟玉泉.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.

［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004.

［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M］中国时代经济出版社，2008. ［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J］菏泽学院学报,2005.

［5］余家荣. 复变函数论［M］高等教育出版社，2004.

［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qws4.html