广东省中山市2008-2009学年高三期末统一考试理科试卷

广东省中山市高三级2008--2009学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷（理科）

本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。

一、选择题（每小题5分，共40分。） 1．函数y?2sin(2x??2)是

A．周期为?的奇函数 C．周期为2?的奇函数

2 B．周期为?的偶函数

3tD．周期为2?的偶函数

2．已知物体的运动方程为s?t?A．

194（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为

C．

154 B．

174 D．

134

7273．已知(1?2x)?a0?a1x?a2x?????a7x，那么a2?a3?a4?a5?a6?a7?

A．－2 B．2 C．－12 D．12

4．已知在等差数列｛an｝中,a1?120,d??4,若Sn?an(n?2)，则n的最小值为

A．60

B．62

C．70

D．72

5．?ABC中，若a?4,b?3,c?2，则?ABC的外接圆半径为

8151516151561313121313A． B． C． D．

?x?2y?5?0??2x?y?4?06．若实数x,y满足条件?, 目标函数z?2x?y，则

?x?0?y?1?A．zmax?52

B．zmax??1 C． zmax?2 D．zmin?0

'''''7．底面是矩形的四棱柱ABCD?ABCD中，AB?4,AD?3,AA?5，?BAD?90?，

?BAA??DAA?60?，则AC?

'''A．95 B．59 C．85 D．58

8．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） 种。

A．24

B．28

C．36

D．48

第II卷（非选择题）共110分）

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．若数据x1,x2,x3,?,xn的平均数x=5，方差?2?2，则数据

，方差为 （3分）。 3x1?1,3x2?1,3x3?1,?,3xn?1的平均数为 （2分）

10．直线y?2x与抛物线y?x2?3所围成图形的面积为 . 11．若tan??2，则

sin??cos?sin??cos?2?cos?= .

12．已知函数f(x)满足，f(x)????f(x?2)x?02xx?0，则f(?7.5)= .

13．以下有四种说法：

（1）若p?q为真，p?q为假，则p与q必为一真一假；

2**（2）若数列{an}的前n项和为Sn?n?n?1,n?N ，则an?2n,n?N； '（3）若f(x0)?0，则f(x)在x?x0处取得极值；

（4）由变量x和y的数据得到其回归直线方程l:?y?bx?a，则l一定经过点P(x,y). 以上四种说法，其中正确说法的序号为 ．

14．为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形 ABCD的造价为40元/m2，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/m2． 两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉， 故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的 面积达到最大时，

ADAB?

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤） 15. （本题满分12分）

???25?已知向量a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), |a?b|?.

5（Ⅰ）求cos(???)的值;

（Ⅱ）若0???

?2, ??2???0, 且sin???513, 求sin?.

16. （本题满分12分）已知数列{an}是首项为a1?14，公比q?14的等比数列，设

bn?2?3log14an(n?N*)，数列{cn}满足cn?an?bn.

（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Sn. 17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.

（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.

（I）求证：AO?平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦； （III）求点E到平面ACD的距离．

O B

A D E C 19. （本题满分14分）已知f(x)?23x?2x?cx?4，g(x)?e?e32x2?x?f(x)，

（1）若f(x)在x?1?2处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数y?f(x)的图象在[a,b]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c?(a,b),使得f'(c)?？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

20. （本题满分14分）已知函数f?x??x2,g?x??x?1.

（1）若?x?R使f?x??b?g?x?,求实数b的取值范围;

（2）设F?x??f?x??mg?x??1?m?m2,且F?x?在?0,1?上单调递增,求实数m的取值范围.

中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷（理科）答案

一．选择题（每小题5分，共40分）

题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 1656 C 7 C 8 D 二、填空题（每小题5分，共30分） 9． 16 （2分），18 （3分） 10． 12．

323 11． 2

2 13． （1） （4） 14．

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤） 15. （本题满分12分）

???25?已知向量a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), |a?b|?.

5（Ⅰ）求cos(???)的值;

（Ⅱ）若0????2, ??2???0, 且sin???513, 求sin?.

解：（Ⅰ）?a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), ?a?b??cos??cos?，sin??sin??. ……………2分

25522 ?a?b?, ??cos?45?cos????sin??sin???25535, ………3分

s????即 2?2co??, ………5分 ?cos??????. ……………6分

（Ⅱ）?0????cos?????235,??2???0,?0??????, ……………7分

513?sin??????, sin?????45， cos??1213……………9分

11?sin??si?n???????????s?????inco?s??co?s???s?i?n??分????412??5133????5?5???1?333. ……………12分

65141416. （本题满分12分）已知数列{an}是首项为a1?设bn?2?3log14，公比q?的等比数列，，

an(n?N*)，数列{cn}满足cn?an?bn.

（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Sn. 解（1）由题意知，an?()n(n?N*) ，……………2分

41又bn?3log1an?2，

4故 bn?3n?2(n?N*)……………4分

（2）由（1）知，an?()n,bn?3n?2(n?N*)

41n?cn?(3n?2)?(),(n?N*)……………6分

4?Sn?1?12131n?11n?4?()?7?()???(3n?5)??)?(3n?2)?(),……7分 444441213141n1n?1?1?()?4?()?7?()???(3n?5)??)?(3n?2)?()

4444411于是

14Sn…………………………9分

两式相减，得

34Sn?112131n1n?111n?1?3[()?()???()]?(3n?2)?()??(3n?2)?(). 44444243n?231n?()(n?N*)……………12分 4…………………………12分

?Sn?23? 17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.

（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？ 解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为

C7/C10?7/2433…………3分

故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分 （2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为C3C7C10n3n?3.………8

分

由C7n?3nC10?0.6,即7!(n?3)!(10?n)!?610?10!n!(10?n)!,……………9分

整理得：n(n?1)(n?2)?9?8?6，……………………11分

?n?N,n?10,

∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………14分

18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2. （I）求证：AO?平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦； （III）求点E到平面ACD的距离． 解：方法一：

B

A D O E C

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