专题六 数论初步与规律探究讲义

专题六 数论初步与规律探究讲义

板块一：数论两宝——代数思想和枚举验证！

【引入】如下图所示，有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

【2010

三角形，是否存在完美三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请证明.

【2008】将1、2、3、…、37共37个数重新排成一行，记作a1、a2、a3、…、a37，其

中a1=37，

a2=1，并使得a1 a2 ak能被ak+1整除（k=1,2,3,…,36） 求：（1）a37； （2）a3 ．

板块二：约数三大定律及其典型应用

约数个数定律：分解质因数，(指数+1)再连乘！ 约数和定律，约数积定律！

【2009】设n为不小于2的正整数，记n的所有正约数（包括1和n）的乘积为P（n）.已知P（n）=n12，则n的最小值为

板块三：与方程、不等式、函数有关的推理论证

【2009】某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数与，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则+=（ ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【2010】已知实数a，b

满足a b a2 3b2为质数，若a2 3b2的最大值为m，最小值为n，则m-n的值为（ ）

A. 12 B. 14 C. 11 D. 13

【2008】定义一种新运算 :x y x(1 y)，若不等式(x a) (x a) 1对 任意实数x都成立，则a的取值范围是

板块四：规律探究（循环、递推）

【2010】对于自然数n，定义g（n）表示1 + 2+ 3 +···+ n 的末位数字，则 g（1）+ g（2）+···g（2009）的个位数是（ ）

A. 5 B. 3 C. 0 D. 7

【2009】有一列数2003，3，2000，1997，3，1994，1991，3……从第五个数起，每个数都是它前面两个数的差的绝对值。则这列数中最小的数的是这个最小数第一次出现在这列数的第个位置.

【2011】由部分自然数构成如图的数表，用aij(i j)表示第i行第j个数，且

ai1 aii i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两数的和。设第n行中各数

之和为bn，

（1）用bn表示bn 1 _____________

（2）试问：是否存在三行（分别记作第p、q、r行），使得br bq bq bp？ （请直接写出存在或不存在）

________________________

【2009】一农民将他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客，将余下的一半又半个卖给第二个顾客，……，照这种卖法，卖给第八个顾客后就一个也没有了，则该农民原有西瓜（ ）个

A．254 B．255 C．256 D．257

板块五：综合应用

【2008】某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从

上到下都是无限的.

此表中，主对角线上1n表示）；编码100在表中共出现次.

【2009】沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式

(a-d)(b-c)＞0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a-d)(b-c)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，……，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有

(a-d)(b-c)≤0？请说明理由.

【西交大少年班2008年——2011年数学考试中涉及数论初步与规律探究的所有题

目】

【2008】15. 定义一种新运算 :x y x(1 y)，若不等式(x a) (x a) 1对任

意

实数x都成立，则a的取值范围是【2008】18. 某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以

及从上到下都是无限的.

此表中，主对角线上1n表示）；编码100在表中共出现次.

【2008】22.（本题满分7分）将1、2、3、…、37共37个数重新排成一行，记作a1、

a2、

a3、…、a37，其中a1=37，a2=1，并使得a1 a2 ak能被ak+1整除（k=1,2,3,…,36） 求：（1）a37； （2）a3 ．

【2009】5. 某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数与，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则+=（ ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【2009】7. 一农民将他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客，将余下的一半又半个卖给第二个顾客，……，照这种卖法，卖给第八个顾客后就一个也没有了，则该农民原有西瓜（ ）个

A．254 B．255 C．256 D．257

【2009】16. 设n为不小于2的正整数，记n的所有正约数（包括1和n）的乘积为P（n）.已知P（n）=n12，则n的最小值为

【2009】18. 有一列数2003，3，2000，1997，3，1994，1991，3……从第五个数起，每个数都是它前面两个数的差的绝对值。则这列数中最小的数的是这个最小数第一次出现在这列数的第.

【2009】23. （本题满分10分）沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，

0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作. c，d满足不等式(a-d)(b-c)＞

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周

0？请说明理由. 上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a-d)(b-c)≤

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，……，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有

(a-d)(b-c)≤0？请说明理由.

【2010】9. 已知实数a，b

满足a b a2 3b2为质数，若a2 3b2的最大值为m，最小值为n，则m-n的值为（ ）

A. 12 B. 14 C. 11 D. 13

【2010】12. 对于自然数n，定义g（n）表示1 + 2+ 3 +···+ n 的末位数字，则 g（1）+ g（2）+···g（2009）的个位数是（ ）

A. 5 B. 3 C. 0 D. 7

【2010】23. （本题满分10

则称此三角形为完美三角形，是否存在完美三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请证明.

【2011】14. 由部分自然数构成如图的数表，用aij(i j)表示第i行第j个数，且

ai1 aii i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两数的和。设第n行中各数

之和为bn，

（1）用bn表示bn 1 _____________

（2）试问：是否存在三行（分别记作第p、q、r行），使得br bq bq bp？ （请直接写出存在或不存在）

________________________

2009年西交大少年班物理考试试题

西安交通大学2009少年班选拔

物 理 试 题

一、 单项选择题：每题只有一个选项正确。（每小题

1. 下列防止发生事故或处理事故的措施中正确的是（ ）

A. 发现高压线断头落地时，应立即将它捡起 B. 当电器设备失火时，应选用泡沫灭火器

C. 家庭电器中的保险丝熔断时，可换用不易熔断的铜丝或铁丝 D. 若家中使用的燃料是天然气，燃气报警器应安装在燃气灶的上方 2. 下图为a、b两个指甲刀，以下说法正确的是（ ）

2

分，共

20

分）

A. 它们都各由一个省力、一个费力杠杆组成，b图比a图组装更合理 B. 它们都各由一个省力、两个费力杠杆组成，a图比b图组装更合理 C. 它们都各由两个省力、一个费力杠杆组成，a图比b图组装更合理 D. 它们都各由两个省力、一个费力杠杆组成，b图比a图组装更合理 3. 用高压锅煮粥，熄火后用冷水将锅冷却，拿去限压阀后打开锅盖，可以看到锅内

的粥仍在沸腾。普通铝锅却看不到这样的现象。对此，下列解释中正确的是（ ）

A. 熄火后，锅内的温度迅速降到100℃以下，但由于打开锅盖后气压降低，所以

重新沸腾

B. 熄火时，锅内温度仍然高于100℃，即使不冷却、不拿去限压阀，粥也沸腾 C. 熄火后，锅内温度仍然高于100℃，冷却后锅内气压比原来降低，所以重新沸

腾

D. 粥的流动性差，不易降温。熄火后即使不浇冷水、不拿去限压阀，粥也要沸

腾较长时间

4. 如图所示的装置为某同学设计的惯性实验仪，a为上表面光滑的阶梯形木块，b、c

为下表面光滑的棋子，d为橡皮筋。用手把a水平向左拉出一小段距离后再松手，从松手到木块被右侧的挡板挡住，b、c的运动情形是（ ）

A. 松手后，b、c都随a向右运动，当a被挡住时，b、c也停止运动 B. 松手后，b、c都随a向右运动，当a被挡住时，b、c向右飞去 C. 松手后，b立即下落，当a被挡住时，c向右飞出 D. 松手后，b立即下落，c立即脱离a向右飞出

5. 如图是某种光电计数器的原理示意图，其中的R1的电阻值随着光照亮度的增大而

减小，R2为定值电阻。工件随传送带运动，使光源的光线间歇地照射R1，A、B两点间的信号处理系统每获得高电压时计数一次。下列说法正确的是（ ）

A. 光线照射R1时，信号处理系统计数 B. 光线照射R1时，信号系统不计数 C. 工件挡住光线，使R1两端的电压变小 D. 工件挡住光线，使R1两端的电压不变

6. 某同学在探究“电流跟电压、电阻的关系”时，根据收集到的数据画出了如图所

示的一个图像，下列结论与图像相符的是（ ） A. 电阻一定时，电流随着电压的增大而增大 B. 电阻一定时，电压随着电流的增大而增大 C. 电压一定时，电流随着电阻的增大而减小 D. 电压一定时，电阻随着电流的增大而减小

7. 手持式抽气、打气两用气筒的构造如图所示，a为筒身，b为活塞，c和d是气门

装置，类似于自行车内胎上套有气门芯的气门嘴，起阀门作用。使用这种气筒时（ ）

A. 接d气门，起打气作用；接c气门，起抽气作用 B. 接d气门，起抽气作用；接c气门起打气作用 C. 向外拉活塞，2个气门都起抽气作用 D. 向里推活塞，2个气门都起打气作用

8. 小明看到鸡蛋浮在盐水面上，如图所示，他沿着杯壁缓慢加入清水使鸡蛋下沉。

在此过程中，鸡蛋受到的浮力F随时间t的变化图像可能是图中的（ ）

9. 用滑轮组分别以不同速度匀速提升重物A，作用在滑轮组绳子自由端的拉力均为F，

如图所示，不计绳重和摩擦。当拉力F的功率为P1时，重物A以速度v1匀速上升h所用的时间为t1;当拉力F的功率为P2时，重物A以速度v2匀速上升h所用的时间为t2,当拉力F的功率为P1+P2时，重物A以速度v3匀速上升h所用的时间为（ ） A.

2t1 t2

2t1 t2

B.

2t1 t2

t1 2t2

t2

2

C. t1 D.

t1

t2 2

10. 如图所示的电路，电阻R1标有“6Ω 1A”，R2标有“3Ω 1.2A”，电流表A1、A2

的量程均为0~3A，电压表量程0~15V，在a、b间接入电压可调的直流电源。闭合开关S后，为保证R1、R2均不损坏，则允许加的电源电压和通过电流表A1的电流不得超过（ ）

A. 9V 1A B. 3.6V 1.8A C.9.6V 1A D. 3.6V 0.6A

二、 填空题（共35分）

11. （4分）今年，我国成功地发射并收回了“神舟”七号载人飞船。

（1） 火箭发射时，高温的火焰向下喷射，大量的“白气”从发射台底部的大水

池中涌出。这些白气是怎样产生的？

答： ____________________________________________________________

（2） 返回舱返回地球时，在距地面1.2m高处，反冲发动机向地面喷火，飞船

进一步减速，最后落地。请写出这一过程中包含的两条力学知识。

第一条：________________________第二条：________________________

12. （4分）下图是根据广西北海市一家宾馆中所挂钟表的照片绘制的示意图，图中秒

针、分针和标有24个数字的转盘都沿顺时针方向转动。根据钟表的示数，这张照片是在北京时间（按24小时制计时）_____时_____分_____秒拍摄

13. （2分）如图是一个正常工作的实物电路，当滑动变阻器的滑片向右移动的过程中

（设灯泡电阻不变），灯泡亮度的变化是：甲灯__________，乙灯

__________

14. （2分）甲、乙两小车运动的s-t图像如图所示，由图像可知：乙车做_________运

动；经过6s,甲、乙两车相距_________m.

15. (2分)已知：容器和水的总质量为0.8Kg，若人用一细线悬吊一质量为1.78 Kg的

实心铜球，浸没于水中某位置浸水（如图所示），则弹簧测力计的系数约为________N。

16. （3分）风洞实验室中可以产生方向水平、速度大小可调节的风，用来研究处在流

动气体中物体的受力情况。将一个套有木球的细直杆放入风洞实验室，球受到的重力为G。球在杆上运动时，球与杆之间的滑动摩擦力跟它们之间的压力成正比，比例系数是k。如图甲所示，将杆沿平行风速的方向固定。调节风速的大小，使球恰能沿杆匀速运动。，再将杆沿竖直方向固定，如图乙所示，将球从杆的上端由静止释放，保持球下滑过程中所受风力与杆处于水平方向时受到的风力大小相同。则球下滑过程中受到的滑动摩擦力为__________________________。

17. （4分）某同学发现，烧水壶内结了一层厚厚的水垢，如果将空壶放在小火上烧一

会儿，立即将水壶浸泡到冷水中，水垢便会剥落下来。

（1） 水垢为什么会剥落下来？请你利用有关物理知识解释：

_________________________________________________________________。

（2） 生活中还有什么事例用到同样地道理_________________________________。 （3） 你见过的实验器材中哪一个用到相关知识：

____________________________。

18. （3分）物理活动课上，张老师做了一个有趣的实验：将一个黄色的兵乓球和一个

玻璃球全部埋入装有米的大烧杯中，摇晃烧杯一段时间，兵乓球从米中“跑”了

出来。看到这个现象，同学们十分惊讶：兵乓球为什么能“跑”出来？而玻璃球为什么不能“跑”出来？针对这个问题同学们提出下列猜想： 猜想1：因为兵乓球体积比玻璃球大 猜想2：因为兵乓球质量比玻璃小

为了验证猜想是否正确，同学们用准备的一些器材进行探究：

a. 取三个塑料空瓶A、B、C，在A、B、C瓶中装入质量不等的沙子，盖好瓶盖，

分别测出它们的质量和体积。

b. 把三个瓶子全部埋入盛有米的容器中，敲击容器，观察现象。 c. 实验数据及现象记录如下表：（米的密度约为1.37g/cm3）

（1） 分析上述实验数据后的回答，你认为一个兵乓球能从米中“跑”出来的真

正原因是__________________________________________________。

（2） 用这个现象所隐含的物理知识，能解决生活中的什么问题（试举一例或说

出你的一个设想）？_____________________________________________。

19. （3分）2008年春节前某天，北京地区突降冰雹。假设质量为m的冰雹从高h处

下落，在下落过程中，所受的阻力大小和冰雹下落速度的平方成正比。比例系数为k,则该冰雹降落可能达到的最大速度是__________________（可以认为冰雹下落过程中质量不变）

20. （4分）如图a所示，两个重20N的相同物块A、B叠放在一起，受到10N的水平

推力F1的作用，在水平地面上一起做匀速直线运动；若将B与A并列（如图b所示），并让它们一起在同一水平地面上匀速前进，那么需要的水平推力F2_____F1（填“大于”、“小于”或“等于”）。在c图中，水平外力F3作用在物体B上，使之能从物体A下抽出，则A受到的摩擦力方向向_____，而B总共受到_____个力

的作用（水平地面粗糙）。

21. （4分）用力压气球，气球会爆破；打足气的自行车车胎在阳光下暴晒也会爆

破； 生活中还有很多类似的现象。（1）根据上述例子，请你提出一个相应的物理问题；

_______________________________________________________________________。 （2）科学家通过实验探究某一定质量的气体在体积不变的情况下压强P随着温度t变化的规律，得到如下表所示的一组t和p的数据：

P=_____________。 三、计算题（本题共

5个小题，共45分。注：请写出必要的文字说

明和解题过程）

22. （7分）电热淋浴器分为储水式和无水箱式两种。储水式淋浴器要用较长时间把水

箱中的水加热，待水温达到要求后用水箱中的热水淋浴：无水箱式淋浴器使冷水流过电热器就达到要求的温度而立即从喷头流出供淋浴。请你利用以下数据（1）求每秒钟烧水所需的热量;(2)电热器至少需消耗的功率（3）通过计算说明，小明家庭中不宜使用无水箱式电热淋浴器。

冷水温度 16℃

淋浴所需热水温度 38℃

淋浴所需热水流量 4×10-3米3/分 水的比热容 4.2×103焦/(千克·℃) 家庭照明电路允许通过的最大电流约10安

23. （8分）电气化铁路的输电线常用如图所示的方式悬挂在钢缆上。钢缆的A端固定

在电杆上，B端通过滑轮组连接在电杆C上

（1） 配重D是n个混凝土圆盘（图中只画出3个），实际测量得到每个混凝土

的体积为1.5×102m3共悬挂20个混凝土。已知混凝土的密度为2.6×

-,

10Kg/m3,g取10N/Kg。求：每个混凝土的重量是多少？

3

，

（2） 按图示的配置，钢缆在B端所受的拉力大约是多少？

（3） 如果只考虑B端的牢固性，本来可以把它直接固定在电杆C上，也可以用

一个很硬的大弹簧连接B和C，实际上却用滑轮组来连接，这样做的优点是什么？

24. （9分）小明家从商店买来一个电热毯，使用中有时感到温度太高，现想用一个开

关和一个电阻把它改装为两档，使电热毯单位时间的发热量，或为原来的数值，或为原来的一半，厂家说明书上只写着额定电压为220V，额定功率为150W，请你设计一个方案，完成这项改装。

要求：1.画出电路图；2.导出所用电阻大小的计算式；3指明安装时必须注意的问题。

25. （9分）如图是某同学利用一端封闭的玻璃管探究气体体积与压强关系的实验装置

图。实验时，用水银在管内封入一定质量的气体，将管倒插在水银槽中，使管内外水银面相平，此时管内空气柱的长度为4cm.，每向上提起玻璃管时，管内水银面升高、空气柱增长，并作相应测量。下表是该同学在实验过程中记录的部分数据。（在实验过程中温度保持不变，外界压强始终为Po=76cmHg,玻璃管横截面积为2cm2）

（1）通过上面实验数据分析可得出一个结论：一定质量的气体，温度不变时，_______________________________________________________________________。 （2）请通过计算，求出第3次遗漏的数据为多少cm3，第4次遗漏的数据为多少

,

cm

26. (12分)育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型。为了分析接入

电路的电阻对电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图所示。当只闭合开关S1时，电压表的示数为U1，电阻R3消耗的电功率为P3；当只闭合开关S2时，电压表的示数为U2，电阻R3消耗的电功率为P3＇，测得此时的电阻R2消耗的电功率为1.6W。已知2U1= U2，P3= 4P3＇电源两端电压保持不变。 （1） 请你计算出电阻R1与电阻R2的比值

（2） 科技小组的同学们通过测量与分析发现：当开关S1 、S2 、S3都闭合时，电

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