新苏教版高中数学选修2-2教学案（全册 共214页）

新苏教版高中数学选修2-2教学案（全册）

_1.1导数的概念

1．1.1 平均变化率

假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．

问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？

提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.

问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？ Δy

提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．

ΔxΔyy1－y0问题3：试想＝的几何意义是什么？

Δxx1－x0Δyy1－y0

提示：＝表示直线AB的斜率．

Δxx1－x0

ΔyΔy

问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？

ΔxΔxΔy

提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．

Δx

1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为

f?x2?－f?x1?

. x2－x1

2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．

在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：

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(1)函数在[x1，x2]上有意义；

f?x2?－f?x1?

(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.

x2－x1

(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．

[对应学生用书P3]

[例1] (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．

[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为： f?2.1?－f?2??3×2.12＋2?－?3×22＋2?

＝＝12.3.

0.12.1－2

(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为[3×?－1?－2]－[3×?－2?－2] ?－1?－?－2?

＝

?－5?－?－8?

＝3.

－1＋2

g?－1?－g?－2?

＝

?－1?－?－2?

求函数在某区间的平均变化率 [一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x2－x1； 第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； f?x2?－f?x1?

第三步：求平均变化率.

x2－x1

1．函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率为－12＋6

＝－3. 2

答案：－3

2.如图是函数y＝f(x)的图象，则：

g?4?－g?2?－3×4－?－3?×2

＝＝

4－24－2

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(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

f?1?－f?－1?2－11

解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. 221－?－1?x＋3??，－1≤x≤1，

(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝?2

??x＋1，1

3

3－23f?2?－f?0?

所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 242－013

答案：：(1) (2)

24

3．本例条件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小．

f?2?－f?1?3×22＋2－?3×12＋2?

解：(1)＝＝9.

2－12－1g?2?－g?1?3×2－2－?3×1－2?

(2)＝＝3.

2－12－1f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大．

实际问题中的平均变化率

[例2] 物体的运动方程为S＝t＋1(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．

[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值．

[精解详析] 物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为 S?1＋Δt?－S?1??1＋Δt?＋1－1＋1

＝ Δt?1＋Δt?－1＝＝

2＋Δt－2?2＋Δt－2??2＋Δt＋2?

＝

ΔtΔt?2＋Δt＋2?1

(m/s)．

2＋Δt＋21

m/s.

2＋Δt＋2 即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为

[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．

4．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．

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解析：∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时， 圆的面积S的平均变化率为

S?0.3?－S?0.1?π×0.32－π×0.12

＝＝0.4π.

0.20.3－0.1答案：0.4π

5．在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？

解

：

赛

车

在

[20,20.1]

上

的

平

均

速

度

为

S?20.1?－S?20?

20.1－20

＝

?10×20.1＋5×20.12?－?10×20＋5×202?21.05

＝＝210.5(m/s)．

0.120.1－20

[例3] 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？

[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．

[精解详析] 在t0处s1(t0)＝s2(t0)， 但

s1?t0?－s1?t0－Δt?s2?t0?－s2?t0－Δt?

<，

ΔtΔt

函数平均变化率的应用 所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．

[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．

6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系是________．

s?t1?－s?t0?

解析：v1＝＝kOA，

t1－t0v2＝v3＝

s?t2?－s?t1?

＝kAB，

t2－t1s?t3?－s?t2?

＝kBC，

t3－t2

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由图象知：kOAv2>v1. 答案：v3>v2>v1

7．A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)

①两机关节能效果一样好； ②A机关比B机关节能效果好；

③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大； ④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t＝0时，W1(0)>W2(0)， 当t＝t0时，W1(t0)＝W2(t0)， W1?t0?－W1?0?W2?t0?－W2?0?所以<，

t0t0且?

W1?t0?－W1?0???W2?t0?－W2?0??t0t0??>??.

故只有②正确． 答案：②

1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题

(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．

(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率

一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为

f?n?－f?m??kn＋b?－?km＋b?

＝＝n－mn－m

k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b，在区间[m，n]上的变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．

3．平均变化率的几何意义

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f?x2?－f?x1?

(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数

x2－x1

量化”．

(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．

[对应课时跟踪训练(一)]

一、填空题

1．函数f(x)＝x2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． f?1.1?－f?1??1.12－1?－?12－1?0.21解析：＝＝＝2.1.

0.11.1－11.1－1答案：2.1

2．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________． f?b?－f?a??2b＋4?－?2a＋4?2?b－a?

解析：＝＝＝2.

b－ab－ab－a答案：2

3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t/min c(t)/ (mg/mL) 服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． c?70?－c?30?0.90－0.98

解析：＝＝－0.002.

4070－30答案：－0.002

4.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．

解析：由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．

答案：等于 大于

5．函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________. ?a3＋2?－?13＋2?a3－12

解析：＝＝a＋a＋1＝21.

a－1a－1

0 0.84 10 0.89 20 0.94 30 0.98 40 1.00 50 1.00 60 0.97 70 0.90 80 0.79 90 0.63 第 6 页 共 211 页

解之得a＝4或a＝－5. 又∵a>1，∴a＝4. 答案：4 二、解答题

6．已知函数f(x)＝2x2＋1.求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率． 2×2.012＋1－2×22－1

解：函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为＝8.02.

2.01－2πππ

7．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．

632π

sin－sin 06π3

解：在0到之间的平均变化率为＝；

6ππ

－06ππsin－sin233?2－3?ππ

在到之间的平均变化率为＝. 32πππ

－2333?2－3?

∵2－3<1，∴>，

ππ

3?2－3?π3ππ

∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，

6π32ππ

故在0到之间的平均变化率较大．

6

8．已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.求：

(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；

(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率． 解：根据函数的增量来证明．

由S(r)＝4πr2，r>0，把r表示成表面积S的函数： r(S)＝

1

πS. 2π

(1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，气球半径的增量Δr＝r(20)－r(10)＝

1

(20π－10π)≈0.37(cm)． 2π

Δr0.37

所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037.

ΔS10

(2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝

1

(40π－2π

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Δr0.239

30π)≈0.239(cm2)．所以气球的平均膨胀率为≈＝0.023 9.

ΔS10

1．1.2 瞬时变化率——导数

如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．

曲线上一点处的切线

问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？ 提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置． 问题2：割线PPn斜率是什么？ f?xn?－f?x0?

提示：割线PPn的斜率是kn＝.

xn－x0

问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？ 提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率． 问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？ 提示：能．

1．割线

设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线． 2．切线

随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线.

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瞬时速度与瞬时加速度

一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？

8－3?1＋Δt?2－8＋3×12

提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－6－3Δt.

Δt问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.

1．平均速度

运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度

S?t0＋Δt?－S?t0?

一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无

Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

3．瞬时加速度

v?t0＋Δt?－v?t0?

一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无

Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

1．导数

Δy

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝

Δxf?x0＋Δx?－f?x0?

无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)

Δx在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义

导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 3．导函数

(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．

(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．

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导 数

1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．

2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．

[对应学生用书P5]

求曲线上某一点处的切线 512，?，用切线斜率定义求： [例1] 已知曲线y＝x＋上的一点A??2?x(1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程．

f?2＋Δx?－f?2?

[思路点拨] 先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．

Δx1－Δx1

2＋?＝[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－?＋Δx，

2＋Δx?2?2?2＋Δx?∴

－Δx－1ΔyΔx＝＋＝＋1. Δx2Δx?2＋Δx?Δx2?2＋Δx?

Δy3

当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，

Δx43

即点A处的切线的斜率是.

453

(2)切线方程为y－＝(x－2)，

24即3x－4y＋4＝0.

[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切Δy

线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．

Δx

51

1，－?处的切线的斜率为________． 1．曲线y＝－x2－2在点P?2??2

51

1，－?，Q?1＋Δx，－?1＋Δx?2－2?，则割线PQ的斜率为kPQ＝解析：设P?2?2???15

－?1＋Δx?2－2＋221

＝－Δx－1.

Δx2

51

1，－?处的当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－x2－2在点P?2??2

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切线的斜率为－1.

答案：－1

2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________． f?x0＋Δx?－f?x0?2?Δx?2＋4x0Δx＋4Δx

解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝＝4x0＋4＋2Δx.

Δx?x0＋Δx?－x0当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3， 所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)

3．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))， 3?1＋Δx?2－?1＋Δx?－?3×12－1?

则kAB＝＝5＋3Δx，

Δx

当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.

切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.

瞬时速度 [例2] 一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

[思路点拨] 先求出质点在t＝2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． ΔS

[精解详析] 因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以

Δt＝4a＋aΔt.

ΔS

当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a.

Δt所以t＝2 s时的瞬时速度为4a m/s. 故4a＝8，即a＝2.

[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变ΔSΔS

量ΔS，再求出平均速度v＝，最后计算当Δt无限趋近于0时，无限趋近常数，就是

ΔtΔt该物体在该时刻的瞬时速度．

4．一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为________．

解析：由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，

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2

ΔS－Δt－?Δt?所以＝＝－1－Δt.

ΔtΔt

ΔS

当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数－1.

Δt故物体在t＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－1

?t2＋2，0≤t<3，?

5．如果一个物体的运动方程S(t)＝?试求该物体在t＝1和t＝42

?29＋3?t－3?，t≥3，?

时的瞬时速度．

解：当t＝1时，S(t)＝t2＋2，

2

ΔSS?1＋Δt?－S?1??1＋Δt?＋2－3则＝＝＝2＋Δt， ΔtΔtΔt

当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2， 所以v(1)＝2； ∵t＝4∈[3，＋∞)，

∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，

22

ΔS3?4＋Δt?－18?4＋Δt?＋56－3×4＋18×4－56∴＝ ΔtΔt

3Δt2＋6·Δt＝＝3·Δt＋6，

Δt

ΔS

∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6→6，即→6，

Δt所以v(4)＝6.

[例3] 已知f(x)＝x2－3. (1)求f(x)在x＝2处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．

[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． Δyf?2＋Δx?－f?2?

[精解详析] (1)因为＝

ΔxΔx?2＋Δx?2－3－?22－3?

＝ Δx＝4＋Δx，

当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4， 所以f(x)在x＝2处的导数等于4. Δyf?a＋Δx?－f?a?

(2)因为＝ ΔxΔx

导数及其应用 第 12 页 共 211 页

?a＋Δx?2－3－?a2－3?＝ Δx＝2a＋Δx，

当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a， 所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.

[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf?x0＋Δx?－f?x0?

(2)求平均变化率＝；

ΔxΔx(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．

1

6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．

x1

解析：∵函数y＝f(x)＝x＋，

x∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)

1?Δx?2

＝1＋Δx＋－1－1＝，

1＋Δx1＋Δx∴

ΔyΔxΔy＝，当Δx→0时，→0， Δx1＋ΔxΔx

1

即y＝x＋在x＝1处的导数为0.

x答案：0

7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________. f?1＋Δx?－f?1?a?1＋Δx?＋4－a－4

解析：∵＝＝a，

ΔxΔx∴f′(1)＝a，即a＝2. 答案：2

8．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．

解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：

f?6＋Δx?－f?6? Δx

?6＋Δx?2－7?6＋Δx?＋15－?62－7×6＋15?＝

Δx

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5Δx＋?Δx?2＝＝5＋Δx.

Δx

当x→6时，即Δx→0，平均变化率趋近于5，

所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5℃.

1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程

(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

2．f′(x0)与f′(x)的异同 区别 联系 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 f′(x)是f(x)在某区间I上每一点f′(x) 都存在导数而定义的一个新函数，是函数

[对应课时跟踪训练(二)]

一、填空题

1．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．

解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.

答案：－6

2．函数f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为________． Δy

解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，

ΔxΔy

则Δx趋于0时，＝－3.

Δx故f(x)在x＝2处的导数为－3. 答案：－3

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1

3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝

2________.

115

解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，

22251

所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

22答案：3

31

1，－?处的切线的倾斜角为________． 4．曲线f(x)＝x2－2在点?2??21?1

?1＋Δx?2－2－??2－2?f?1＋Δx?－f?1?2

解析：∵＝ ΔxΔx1

?Δx?2＋Δx21＝＝Δx＋1.

Δx2

f?1＋Δx?－f?1?∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.

Δxπ

∴切线的倾斜角为.

4π答案： 4

5．已知曲线y＝2ax2＋1过点P(a，3)，则该曲线在P点处的切线方程为________． 解析：∵y＝2ax2＋1过点P(a，3)， ∴3＝2a2＋1，即a2＝1.

又∵a≥0，∴a＝1，即y＝2x2＋1. ∴P(1,3)．

22

Δyf?1＋Δx?－f?1?2?1＋Δx?＋1－2×1－1又＝＝＝4＋2Δx. ΔxΔxΔx

Δy

∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4，

Δx∴f′(1)＝4，即切线的斜率为4.

由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. 答案：4x－y－1＝0 二、 解答题

1

6．已知质点运动方程是S(t)＝gt2＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求质点在t＝4 s时

2的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)．

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