竞赛第二讲 运动学

第二讲 运动学

1． 《金牌之路竞赛解题指导》P25，练习3，答案P226

2．高为H的灯杆顶部有一小灯，灯柱下有一个身高为h的人由灯杆所在位置出发，沿直线方向在水平地面上离灯柱而去。设某时刻此人的行走速度为v0，试求此时此人头顶在地面投影的前进速度。

解：设在⊿t时间内，人的位置由BC→B′C′，头顶在地面投影的位置由D→D′， 由图中⊿ABB′~⊿ADD′，对应边成比例得

BB?ABH?h?? ?DDADHHBB? ∴ DD??H?h两边to同除以⊿t得

DD?HBB??? ?tH?h?tH?v0 即 v影?H?h 3．《金牌之路竞赛解题指导》P19，例题1 4．《金牌之路竞赛解题指导》P21，例题2 5．《金牌之路竞赛解题指导》P24，练习1，答案P224

6．从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为α，0???若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板作完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板的倾角θ为恰当值时（0????2 。

?2），

甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面作完全弹性碰撞。试讨论v0、a、θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。

解：甲球从A点抛出时的抛射角为α，速度为v0，因为碰撞点与A点等高，球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，根据机械能守恒定律可知，球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度都等于v0。设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为α′，如图所示。A点与碰撞点之间的距离即为射程L，若甲球又回到A点，则有

22v0sin2?v0sin2?? L? ① ?gg即 sin2a′=sin2a 由此得 a′=a ②

????2?? ③

a′=a，表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反弹出时速度的方向相反，故甲球

必沿板的法线方向射向平板，反弹后，甲球沿原来的路径返回A点，因此有 ???? ????2 即???2?? ④

?2??，表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一

侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到A点。由图中的几何关系可知

???????2????2 ⑤ ⑥

由③⑤两式，得 ???4 下面分别讨论以上的两种情况下，甲球乙球同时回到A点应满足的条件。 （1）a′=a，???2??，即A球沿原路径回到A点的情形。

被甲球从A点抛出、与OG板碰撞，到沿原路径回到A点共经历的时间为t1，则有

2v0sin?2v0sin??4v0sin? t1? ⑦ ??ggg 设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞、再回到A点共经历的时间为t2，则有 t2?22h ⑧ g4v0sin?2h ?2gg两球在A点相遇，要求t1=t2，则

即 sin??1v01v0gh ⑨ 2gh ⑩ 2gh ? 2 或 ??arcsin 因 sina<1，由⑨式得 v0? 当v0满足?式，甲球的抛射角a满足⑩式，平板的倾角θ满足④式，甲球才能沿原路返回A点并与乙球相遇。 （2）????2??，???4，即甲球与OG板碰撞后，沿另一条路径回到A点的情形。

设甲球自A点抛出，经与平板碰撞又回到A点经历的总时间为t1′，则有

t1'?2v0sin?2v0sin??2v0(sin??cos?) ? ??ggg 设乙球自A点下落后回到A点经历的总时间为t2′，则有

' t2?22h ? g 两球在A点相遇，要求t1′= t2′，

2v0(sin??cos?)2h ?2gg 或 sin(???4)?1v0gh ?

??arcsin(1v0gh?)? ? 24 因 0???

?2，故有 1?sinx(???2 ? )?sin?442 结合?式，得

2gh?v0?gh ?

当v0满足?式，甲球的抛射角a满足?式，平板的倾角θ满足⑥式，甲球将沿另一条

路径回到A点，同时与乙球相遇。

综合以上讨论，结论为：

当v0?gh1，且当??arcsin2v0?gh，????，甲球沿原路径返回A点的同

22时，乙球也回到A点；

当2gh?v0?1gh，且当??arcsin(v0?gh?)?，??，甲球还可沿另一路

424径回到A点，这时，乙球也正好回到A点。

7．如图所示，在高为h的山顶上向平地放炮，若炮弹出口速度大小为v0，问：v0与水平方向的夹角α为多大时，炮弹落点最远？（提示：此题用矢量三角形解比较方便）

解：设炮弹落地时速度为v，则v?v0?gt，其矢量如图，又由

????1212mv?mv0?mgh 22可知，v0一定时，v也一定。水平射程为 x?v0cos??t

g1x?(gt)(v0cos?)取得最大，等式右边就是图示三角形面积。22????而此三角形中，两边v0、v的长度一定，面积最大时，必有v0?v，

要使x最大，只要此时有

tan??v0?vv0v?2ghv0v?2gh2020

故??arctan时，水平射程最大。

8．《金牌之路竞赛解题指导》P25，练习4，答案P226

9．质点绕半径为R=1m的圆轨道运动，其速率v和时间t满足v=πt的关系。求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向。

解：质点绕圆周一周所走过的路程为L=2πR ① 由v=πt可知其切向加速度大小为aτ=π(m/s2)

∴ L?1aτ·t2 ② 2联立①、②可得 t=2(s) 此时 v=aτt=2π(m/s2)

v2?4?2(m/s2) 向心加速度 an?R2a总?a?2?an??2?16?4??1?16?2(m/s)

设与速度方向夹角为φ，tanφ=4π φ=85.5° 10．《金牌之路竞赛解题指导》P23，例题4 11．《金牌之路竞赛解题指导》P22，例题3

12．当自行车向正东方向以5km/h的速度行驶时，人感觉风从正北方向吹来；当自行车的速度增加两倍时，人感觉风从正东北吹来。求风对地的速度和风向。

?表示人解：作出速度矢量如图所示。图中v人、v人?、骑自行车对地的速度，v风表示风对地的实际速度，v1?表示风相对人的速度，由图可知 v2??2v人?10km/h v12v风?v人?v12?55km/h?11.18km/h

方向：tanφ=2 φ=63.4° 即东偏南63.4°

13．模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边长为2km的等边三角形飞行，设风速u=21km/h，方向与三角形的一边平行并和飞机起飞方向相同。求飞机绕三角形一周需要多少时间？

解法1：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；

第二段和第三段v合大小相同。 参见右图，显然：

2

v2 = v2合 + u － 2v合ucos120°

?可解出 v合 = 24km/h 。 答案：0.2hour（或12min.）。

解法2：设飞机从图中A点起飞，绕行方向为ABCA，设风速沿AB方向，则飞机从A到B时间 t1?AB21?(h)?(h) v?u6030飞机从B到C。作出速度矢量图如图。

2vBC?212?2?21?v2?cos1200?392 2vBC?21vBC?1080?0

解得vBC=24(km/h) t2?BC21?(h)?(h) vBC24121(h) 12同理可得飞机从C到A的时间 t3?∴

t总?t1?t2?t3?1111???(h)?12(min) 3012125 14．公园的转椅以恒定的角速度ω绕其竖直对称轴在水平面内做匀速转动，如图所示。转椅上的人以相对转椅v的速度平抛一小球，为使小球能击中转椅架底部中心点O，试求v的大小和方向。已知小球抛出点比O点高h，与竖直转轴的距离为R。

解：先计算小球抛出对地的初速度v0。 水平方向：R=v0t

竖直方向：h?12g2gt 解得v0?v0??2R2?R??2 22h与R的夹角为φ，则 tan???Rv0??2h g??arctan(?2h) g

15．《金牌之路竞赛解题指导》P24，例题5

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