排列组合学案 - 图文

高二数学集体备课学案与教学设计

章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1 学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏 高考目标 掌握排列、组合问题的解题策略 一、知识与技能 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 三维目标 二、过程与方法 通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法 三、情感态度与价值观 通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点 重点：排列、组合综合题的解法． 教学难点难点：正确的分类、分步． 及 解决措施 教学要点 经 一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。 解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即典 指数形式， 例 有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共34种。 题 练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5 }，则从集合A到集合B一共可以有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？125、243 二．排序问题： 1. 优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。 例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为： 先排男生A26 或 先排女生 A444A66A4 2. 捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。 例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：A343A4 3. 插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。 （1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。 例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（有序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：A434A5 （2）不同元素与相同元素间的不相邻。 例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？ 解析：可以看作先将5个座位放好，三个人带着各自的座位坐在中间的4个空隙中的三个位置上有A34＝24种 （座位无序不排）（半有序） （3）相同元素与相同元素间的不相邻。 例:一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏，要求不能灭两边的且灭灯不相连，有多少种方法？（无序）C36 4．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进入即可。 例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为1532A5或A5 解:方法1.留位法：在5个位置上先排3人，其余两人站入即可。A35 方法2：因两人可交换顺序,则有2种排法,顺序固定时,则排法少了一半.故选12A55。 变式：若把英语单词“look ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有___11___种。 4解析：同本例即oo无序不排，在四个位置上排l,k即可A24，或去序A4A2都2－1＝11 练习：四名男生和三名女生排成一排， （1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？A252A5=240 （2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？A255A5=2400 （3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？ 方法1：直接。①甲排尾，A61156 ②甲不排尾，A5A5A5 共有：A6156+A15A5A5=3720 方法2：间接。A7657-2A6+A5=3720 （4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法） 男生先排A4434共产生5个空位，插入3个女生A35。共有：A4A5=1440种 （5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？ 先从5人（除甲乙）中，选二人排到甲乙中间有A225种排法，再排甲乙A2，此4人视为一体与另3 人排列有A42244种。所以共有A5A2A4=960种 （6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法） A5177 或 2A7 =2520种 三、排数字： 例：用0、1、2、3、4、5 这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。 末位A1123，首位A4，中间A4。故共在：A1123A4A4 （2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。 ① 0在末位A31A125。② 0不在末位：先排末位A2，再首位4，中间A4。即A1122A4A4 共有：A3A1125+2A4A4＝156 （3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。 ① 没0 ：先排后两位且不排列C22 故C225，再排前两位A3 5A3=60 ② 有0：在末位时，A3=120。不在末位时，0只能在第二位，C2155A3=30 共有C2A232153+A5+C5A3＝150 （4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐位排）269 练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的正整数. 114 解:分两类: 第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意排列,有4?A44?96个, 第二类，万位为1,则千位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有3?A33?18个; 共有18+96=114个. 四、 隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不空 把n个小球放入不同编号的m个盒子中, （1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。 解析：（1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中间产生n－1个空，插入m-1个档板，(分成m份)放入盒中即可。故Cm?1n?1种 例1：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1个，有多少种放法。 解：把10个小球排成一排，中间产生9个空，插入两个档板，(分成3份) 即可，故有C29＝36 （2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻烦，故此题的处理方法是：将n个球和m－1个档板（分成 m份用m－1个档板）全放在一起。共需要n+m－1个位置，在这些位置上任意放n个球（或m－1个档板）有Cnm?1n?m?1种（或Cn?m?1）。这样可以保证隔板在一起，即可空盒。 例2：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，有多少种放法。（可空） 解：10个球和2个板共用12个位置，看板C212 变式1：把10个苹果分给3个人，每人至少两个苹果有多少种分法。 解析：10转化成例1：先每人分1个，把余下的7个苹果再分给3人，隔板法，产生6个空插入2个板，C26＝15种。20转化成例2：先每人分两个再用例2方法C26 变式2：把10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子放球的个数不小于基编号，有多少种放法。 解析：10转化成例1：先放球，1号不放，2号放1个，3号放2个，变成例1，即变成每盒至少1个. C26＝15。 20转化成例2：1号盒放1个，2号盒放2个，3号盒入3个，利用例2的方法，再C26 变式3：A=｛a1， a2，……a60 ｝，B=｛b1 ，b2 …… b25｝，每个象都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤……≤f(a60),这样的映射有多少个？ 解：此题相当于把60个小球放入25个盒子中（不空）则有C2459种。 五．能人问题： 方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定要明确，可以按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也可按能人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一般哪个情况少以哪个分类。 例. 车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,问有多少种选派方法? 解析: 按钳工的参与情况分类。5名钳工有4名被选上的方法有C54C64?75种; 5名钳工有3名被选上的方法有C53C12C54?100种; 5名钳工有2名被选上的方法有C52C22C44?10种.共有75+100+10=185种. 练习：有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即会左浆,又会右 浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案? 解:5名左浆手有4名被选上的方法有C54C64?75种; 5名左浆手有3名被选上的方法有C53C12C54?100种; 5名左浆手有2名被选上的方法有C52C22C44?10种. 共有75+100+10=185种. 六、分组问题、分配问题： 它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序 1、平均分组/配问题：对于km个不同的元素分成k 组，每组m个，则 不同的分配种数是CmmmkmC(k?1)m…Cm（有序）平均分组的种数是Cm???CmkmCm(k?1)mmAk（无序） k2、混合分配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k组的部分要除以Akk，只后再排列。 如：10个人分成三组，人数分别为2、4、4，参加3种不同劳动，分法种数为C24410C8C4A2A33 2例：有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。 （1）分成1本，2本，3本三组。 （2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本。 （3）分成每组都是2本的三个组。 （4）分给甲，乙，丙三人，每人2本。 解析：（1）分三步，先选一本有C126种选法，再从余下的5本书中选两本C5种选法，最后余下的三本全选有C31C233种选法。故共有：C65C3＝60种（分堆） （2）由于甲，乙，丙是不同的三个人，在（1）的基础上再分配。所以共有C12336C5C3A3 ＝360种 （3）先C2C2264C2，但这里面出现了重复，（其实这就已经分配了，有序）要想分组无序就要除以A3C26C24C223，所以有A3＝15种 （可用4个元素3举例好说一些） 22（4）在（3）的基础上再分配即可，共有CC26C423A3A3＝90或直接C2226C4C23＝90 练习1：3名医生和6名护士，被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_______种。A3C2C2C23642=540 练习2：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种（答：37440）； 解析：先排4名医生排列数为A44。 再排护士，由题知有两种情况：①分配人数为3、1、1、1。其中3人C36，其余三个 1人可平均分组也可不分直接排A4344 所以C6A4=480（分组C3C1C1C16321A3?A44） 3 ②分配人数为2、2、1、1的，2、2行平均分组C2C264A2其余两个1人可直2C1122C22接排（或2C1C6C46CC11A2），故有A4（或42C144=10802A22A2.2.A4=1080）。 2A2 所以护士分配方法有C36A4C2C24+64A2A44=1560 2所以共有排列方法：（C3A4C226C4464+A2A4）A44=37440 2七、环状排列问题： m从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数有Anm种；特殊的n个An不同元素的环状全排列的种数为nn＝（n-1）!(由于环状有重复一样的) 例：由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个？ 分析：由a、b、c、d组成的全排列有A44＝24个。其中4个全排列abcd bcda cdab dabc在环状排列中只算作1个排列，故由4个不同元素组成的环状排列有：4！4＝3！＝6种 八．涂色问题： 1、区域涂色问题： 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ ① 分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色③ ④ 有4种方 法， ② 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻， 因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5?4?3?4?240 练习： 用4种不同的颜色去涂矩形的四个区域（如图），要求相邻两个区域颜色不同，个区域只涂一种颜色，则一共有多1 少种涂法。 4 3 2 解析：注意讨论2与4的同色与不同色两种情况。84种 （1）2与4同色时，1有4种，2有3种，3有3种4与2同 色 不排，所以，4*3*3＝36 （2）2与4不同色时，1有4种，2有3种，3 有2种，4有2种。4*3*2*2＝48 故共有：36+48＝84种 2、点的涂色问题： 方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。 例、将一个四棱锥S?ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有

5?4?3?60 种染色方法。（讨论c） 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： ①C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；故：5×4×3×3=180 ② C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，故：5×4×3×2×2=240。所以共有180+240=420种方法。 解法二：（麻烦，用第一种方法好）满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 （1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分12别同色，故有C5A4?60种方法。 （2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，2故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，1211而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C5A4C2C2?240种方法。 5（3）若恰用五种颜色染色，有A5?120种染色法 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。 课堂 小结

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