二次函数各种题型汇总

二次函数各种题型汇总

一、利用函数的对称性解题 （一）用对称比较大小

例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y1与y2的大小

解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x2-3/2＞0，所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧，

由已知条件x2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，所以y2＞y1 （二）用对称求解析式

例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。

解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：

x1=－1－3=－4，x2=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）； 设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。 所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4 （三）用对称性解题

例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5

例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。

设点B的横坐标为xB，∵点A的坐标为（0，3）， 所以，（0+xB）/2=2，xB=4 ∴B点坐标为（4，3）

例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1， 若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知， 不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少

解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．

例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程 －x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2 是多少 ；

解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）

∴关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x1=3或x2=－1．故填空答案：x1=-1

例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0） 的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则 a－b+c的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

解法1： 将P代入得：9a+3b+c=0

由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0 即a+2a+c=0 则 a-b+c=0

解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P（3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，Q在x轴上所以a-b+c=0，故选A．

例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________

解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8).

例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)． 求抛物线的解析式．

分析：关键是确定一次项系数b．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)． 纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称． 解：

的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b

因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(-k-1)]÷2=1，∴ 抛物线的解析式为y=1/2x+x+4

2

7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物

线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；．

分析：（1）由点C（0，－3）知c＝－3，只需求得a、b两个未知的系数，根据点A（－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB的垂直平分线，因此MA＝MB，要使得MA+MC最小，只要MC+MB最小，所以点M就是直线BC与抛物线对称轴的交点．

解：（1）∵抛物线经过点C（0，－3）∴c＝－3，∴y＝ax2+bx-3。 又抛物线经过点A（－1，0），对称轴为x=1， 所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2 ∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x-3

由B（3，0），C（0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2. 当点M（1，-2）时，M到点A的距离与到点C的距离之和最小

（2）∵点A（－1,0），对称轴为x=1，∴点B（3，0）．连接BC,交对称轴x=1于点M. ∵点M在对称轴上，MA=MB ,

∴直线BC与对称轴x=1的交点即为所求的M点. 设直线BC的函数关系式为y=kx+b， 由B（3，0），C（0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2. 当点M（1，-2）时，M到点A的距离与到点C的距离之和最小

例8、二次函数图像经过A（-3，1）、B（1，1）、C（-1，3）三点，求二次函数的解析式。 分析：由观察可知点A（-3，1）、B（1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线x??1是此抛物线的对称轴，所以点C（-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式为

y?a(x?1)?3（顶点式），所以

1y??(x?1)2?32。

21?a(1?1)2?3，a??12。从而可确定二次函数的解析式为

2y?ax?bx?c(a?0)经过点A（-3，-5），且b?2a。试求抛物线经过除 例9. 已知抛物线

A点以外的另一定点的坐标。

2y?ax?bx?c，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到 分析：按照常规思维写出解析式

b?2a，从而可知对称轴为x??1。根据结论3，A（-3，-5）关于对称轴x??1的对称点A’一

定在抛物线上，A’点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。

例10、已知，抛物线y?a(x?t?1)2?t2（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线

y?x2?2x?1的顶点是B。

2（1）判断点A是否在抛物线y?x?2x?1上，为什么？

（2）如果抛物线y?a(x?t?1)?t经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线y?a(x?t?1)?t的顶点A（t?1，t），而x?t?1当时，

22222y OBx问题图 y?x2?2x?1?(x?1)2?(x?1?1)2＝t2，所以点A在抛物线y?x2?2x?1上。

2222（2）①顶点B（1，0），a(1?t?1)?t?0，∵t?0，∴a??1；②设抛物线y?a(x?t?1)?t与

x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（2t?1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，

2过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，t?1?(t?1)，解得t??1或t?0（舍）；2当点C在点B的右边时，t?(t?1)?1，解得t?1或t?0（舍）。故t??1。

例11. 如图2所示，圆O的直径为2，AB、EF为互相垂直的两条直径，以AB所在直线为y轴，过点A作x轴，建立直角坐标系。

（1）写出E、F的坐标；

（2）经过E、F两点的抛物线从左至右交x轴于C、D两点，若|CD|?3，试判定抛物线的顶点是否在圆内。

（3）若经过E、F两点的抛物线的顶点恰好在圆O上，试求抛物线的解析式。

yBEOAFxCD 分析：（1）E点的坐标为（-1，1），F点的坐标为（1，1）；

（2）根据结论2可知，E、F关于对称轴对称，从而可知对称轴为x?0。C、D是抛物线与x轴的两个交

??1?a?b?c?3233?2点，根据结论1，易知C点坐标为(?，0)。设解析式为y?ax?bx?c，建立方程组?0?(?)a?b?c

222??b??0??2a 可得解析式为y??4299x?。易知顶点在线段AB上。因为?2，故知抛物线顶点在圆内。 55522 （3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为B点或A点，现分两种情况讨论。（1）当B点为顶点时，设解析式为y?ax?2（顶点式），所以1?a(?1)?2。解得a??1，所以解析式为

222（2）当A点为顶点时，设解析式为y?ax，所以1?a(?1)。解得a?1，所以解析式为y?x。 y??x2?2。

注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的

坐标来列方程。

二、二次函数a、b、c之间的关系题型及字母求值的题型

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是

A. ①② B.②③ C. ③④ D.①④

解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b2－4ac>0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.解答：选D．

2、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法中正确的个数为（ ） ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．

解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x=

=1，则有﹣

=1，即

2a+b=0；

③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0； ④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0． 故选C．

1 3、已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?上，点N在直线y=x+3上，设点

2xM的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x

99 A. 有最大值，最大值为 – B. 有最大值，最大值为

2299 C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 –

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