第二节课0715复习函数各种性质

海豚教育个性化简案

学生姓名： 授课日期： 月 日 年级： 科目： 上课时间： 时 分 ------ 时 分 合计： 小时 1、复习函数各种性质 教学目标 2、熟练掌握函数相关计算 3、理解函数类题的思想及解题方法 1、对于函数各个性质的理解运用 重难点导航 2、熟练利用函数单调性、奇偶性、对称性解决涉及到函数的零点、截距、最值的难题 教学简案： 一 求函数的值问题 二 求函数解析式 三 分段函数问题 四 函数的定义域问题 五 求函数的值域问题 六 函数的单调性问题 七 函数的奇偶性问题 八 函数的图像变换 九 函数与方程 授课教师评价： □ 准时上课：无迟到和早退现象 （今日学生课堂表 □ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握 现符合共 项） □ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 （大写） □ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象 审核人签字： 学生签字： 教师签字： 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效 （可另附教案内页） 大写：壹 贰 叁 肆 签章：

海豚教育个性化教案（真题演练）

真题演练: a?2x?a?21 设a?R，f(x)?是奇函数。 2x?1（1）求a的值。 （2）判断f(x)的单调性并用定义加以证明。 （3）当k?0时，解关于x的不等式f?1(x)?log2 2、设f(x)?(1?a)x2?2x?1 (a?1)在[1,4]上的最大值减去最小值的差为g(a)，求函数g(a)。 x?1 k 3、已知a、b、c?R，函数f(x)?ax2?bx?c，g(x)?ax?b，当?1?x?1时，f(x)?1。 （1）证明：c?1 （2）证明：当?1?x?1时，g(x)?2 （3）设a?0，当?1?x?1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。

海豚教育个性化教案（内页）

函数知识复习 一、求函数值问题 1、设函数y?f(x)，x?A，如果自变量x取值为a，则函数在x?a时的函数值为f(a) 常见的题目类型及方法： （1）先求出函数解析，然后代入求值 例1、已知f(?x)?2f(x)?x?3，则f(1)的值是 ?3x?1(x?1)【变式训练】已知f(x)??，则f[f(3)]= ?2x?4(x?1)? （2）整体代入法 111x2f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()= 例2、已知，f(x)?，则2341?x2 3【变式训练】已知f(x)?x?3x?1?a，则f(?x)= （3）赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法 例3 已知f(xy)?f(x)?f(y),若f(2)?2,求f(16)的值 二、求函数解析式 方法1：配凑法 此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可 例4.已知f(x?1)?x2?5x?3，求f(x)的表达式； 方法2：换元法 此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成t，等式的右边用t表示出来，求出f(t)的表达式，然后在把t换成x即可，注意t的范围 例5.已知f(x?1)?x2?5x?3，求f(x)的表达式； 方法3：待定系数法 如果已知到函数的类型，即已知f(x)是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参数即可 例6 已知函数f(x)是二次函数，且f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x?4，求f(x)的表达式； 方法4：方程法 若已知中含有f(x)和f(?x),f(x)和f()的关系式时，可构造出另一个方程，然后求出f(x) 例7 已知函数f(x)定义域为(1,??)，且f(x)?2f()x?1，求f(x)的表达式； 1x1x

三，分段函数问题 指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数 （2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集 ?x2?1,x?1例8、若函数f(x)??，则f(f(10))?（ ） ?lgx,x?1A、lg101 B、2 C、1 D、0 ?1?log3x,x?0【变式训练】已知函数f(x)??x，则f(f())?（ ） 9??2,x?0A、4 B、11 C、?4 D、? 44?3x?2,x?1,例9、已知函数f(x)＝?2若f(f(0))?4a，则实数a? ?x?ax,x?1, ??x,x?0,【变式训练】设函数f(x)??2若f(a)?4,则实数a=（ ） ?x,x?0.A、-4或-2 B、-4或2 C、-2或4 D、-2或22、 四、函数的定义域问题 例10求下列函数的定义域 （1）f(x)?3x?2（2）f(x)? 例11、函数f(x)?(x?1)0x?x（3）f(x)?1x2?2x?3?lg4?x x?43x21?x?lg(3x?1)的定义域是（ ） A.(?,??) B. (?,1) C. (?,) D. (??,?) 例12，函数y? 例13，函数f(x)?131311331316?x?x2的定义域是 . 1?lg(x?1)的定义域是 （ ） 1?xA．(??,?1) B．(1,??) C．(?1,1) (1,??) D．(??,??) 例14，已知函数y?f(x)定义域是(0,1)，则函数y?f(x?1)的定义域为____________ 例15函数f(x)? A、[?2,0) 1?4?x2的定义域为（ ） ln(x?1)12(0,2] B、(?1,0)(0,2] C、[?2,2] D、(?1,2] 五，求函数的值域问题 1、求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量x取不同值时对应的y值的集合； 2、函数的值域一定要用区间或集合表示； 3、函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同； 4、函数值域的求法 方法1：直接法 不复杂的函数，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握； x例16、函数f?x??log23?1的值域为（ ） ??A. ?0,??? B. ??1,??? ?0,??? C. ?1,??? D. ? 例17函数y?16?4x的值域是（ ） A．[0,??) B. [0,4] C.[0,4) D.(0,4) 方法2：分离常数法 ax?bax2?bx?c形如f(x)?(ac?0)或f(x)?2(ad?0)的函数，把其化为一个常数和另一个函数的cx?ddx?ex?f和（差）的形式， ax?bmax2?bx?cm?k?(k,m是常数)或f(x)?2即f(x)??k?2(k,m是常数)，cx?dcx?ddx?ex?fdx?ex?f即对那个函数进行求取值范围即可； 例18求下列函数的值域 x?21?x2 （1）f(x)? （2）f(x)? 2x?11?x 方法3：换元法 例19求下列函数的值域 （1）f(x)?x?1?2x （2）f(x)?x?1?x2 (3) f(x)?sin2x?2cosx?3(4)f(x)?32x2?8x?6 方法4：利用函数的单调性求值域 如：（1）在公共定义域内：简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。 （2）若k?0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k?0，则kf(x)与f(x)单调性相反； （3）函数f(x)与1单调性相反 f(x)11(x??) （2）f(x)?x?1?2x x2例20求下列函数的值域 （1）f(x)?x?2 方法5：利用判别式法求值域 ax2?bx?c形如y?f(x)?2(a,e不同为0)把函数转化为关于x的二次方程，通过该方程有实数根，判ex?dx?f别式??0可求，要检验等号能否成立； 例21，求下列函数的值域 x2?x（1）y?2 （2）y?2x2?x x?x?1 六 函数的单调性问题 （一）函数单调性的判断方法： 1方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤： 任取x1，x2?A，且x1?x2；若f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，则y?f(x)是增函数；若f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，则y?f(x)是减函数。 2方法二:图像法：体现属性集合思想，通过观察函数图象判断；从图像观察：若在区间A上沿x轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数y?f(x)在区间A上是增（减）函数 3性质法： （1）若f(x)，g(x)均为区间A上的增函数，则f(x)?g(x)也为区间A上的增函数； （2）若f(x)，g(x)均为区间A上的减函数，则f(x)?g(x)也为区间A上的减函数； （3）若f(x)为区间A的上的增函数，g(x)为区间A上减函数，则f(x)?g(x)为区间A上的增函数； （4）若f(x)为区间A上的减函数，g(x)为区间A上的增函数，则f(x)?g(x)为区间A上的减函数； 简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。 （5）若k?0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k?0，则kf(x)与f(x)单调性相反； （6）函数y?f(x)在公共定义域内与y??f(x),y?1的单调性相反； f(x)（7）函数y?f(x)（f(x)?0）在公共定义域内与y?f(x)单调性相同； （8）奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反； （9）若函数y?f(x)在某区间A上是增（减）函数，则y?f(x)在区间A的任一子区间上也是增（减）的 4复合函数单调性的判断方法：y?f[g(x)]单调性满足“同增异减”法则，即 f(t) 增 增 减 减 g(x) 增 减 增 减 y?f[g(x)] 增 减 减 增

七 函数的奇偶性问题 （一）函数奇偶性的定义： 如果对于函数y?f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么就称函数y?f(x)为奇函数； 对于函数y?f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么就称函数y?f(x)为偶函数； （二）函数奇偶性的判断方法： 1、图像法： 如果函数f(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)是奇函数； 如果函数f(x)的图像关于y轴对称，则函数f(x)是偶函数； 2、定义法： (1)先判断函数f(x) 的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数f(x) 是非奇非偶函数；否则做第（2）歩； (2)判断f(?x)与f(x)的关系，如果f(?x)?f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果f(?x)??f(x)，则函数f(x)为奇函数； （三）常见的结论： 1， 函数f(x)为偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?函数f(x)的图像关于y轴对称； 2， 函数f(x)为奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?函数f(x)的图像关于原点对称； 3， 函数f(x)为偶函数?f(x)?f(|x|)； 4， 若二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，则b?0； 5， 若奇函数的定义域为全体实数R ，则f(0)?0； 6， 在公共的定义域上，若f(x)，g(x)均为奇（或偶）函数，则f(x)?g(x)仍为奇（或偶）函数，简记为：奇?奇=奇、 偶?偶=偶； 7， 函数y?f(x)?g(x)的奇偶性满足：“同偶异奇”的法则，（1）若f(x)，g(x)奇偶性相同，即都是奇函数或都是偶函数时，则y?f(x)?g(x)为偶函数；（2）若f(x)，g(x)奇偶性相异，即一奇一偶函数，则y?f(x)?g(x)为奇函数。 简记为：同偶异奇 8， 奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反； 例22若f(x)?(x?a)(x?4)为偶函数，则实数a?__________________ 例23、设f(x)?ax7?bx?5，已知f(?7)??17，则f(7)的值是___________ 例24、已知函数f(x)?(m?1)x2?(m?2)x?(m2?7m?12)为偶函数，则m的值是（ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 八 函数的周期性问题 1、若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. f(x)（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 2、若a、b(a?b)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 3、若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 例25：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 例26：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 例27：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x???2,0?时，f(x)=－2x+1，则当x??4,6?时求f(x)的解析式 例28：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=?奇偶性. 例29：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x???2,0?时，f(x)是减函数，求证当x??4,6?时f(x)为增函数 例30：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. 例31：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？ 1，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的f(x) 九 函数的图像变换 （一）函数图像变换 1，平移变换 （1）左右平移：y?f(x)???????????y?f(x?k)（左加右减） （2）上下平移：y?2，对称变换 （1）y?（2）y?（3）y?关于y轴对称 f(x)???????y?f(?x）关于x轴对称 f(x)???????y??f(x）关于原点对称 f(x)???????y??f(?x）k?0向左平移|k|个单位k?0向右平移|k|个单位h?0向上平移|h|个单位?y?f(x)?h f(x)??????????h?0向上平移|h|个单位3，伸缩变换 （1）（2）横坐标不变，纵坐标变为原来A倍?y?Af(xy?f(x)??????????????） y?f(x)?????????????????y?f(ax） 保留y轴右侧图象，将右侧图象作关于y轴对称?y?f(|x|）y?f(x)??????????????????? 保留x轴上方图象，将x轴下方图象作关于x轴对称y?f(x)?????????????????????y?|f(x)| 纵坐标不变，横坐标变为原来1a4，翻折变换 （1）（2） 例32下列区间中，函数f(x)?lg(2?x)，在其上为增函数的是（ ） A、(??,1] B、 ??1,? C、 [0,) D、 [1,2) 2?3? 例33为了得到函数y?lg?4?3x?3的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有的点 （ ） 10 A、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

十 函数与方程 1．一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区间(m,p)中；若2f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 例34：已知二次函数y?f(x)的图象经过点(0,?8),(1,?5),(3,7)三点， （1）求f(x)的解析式 （2）求f(x)的零点 （3）比较f(2)f(4)，f(1)f(3)，f(?5)f(1)，f(3)f(?6)与0的大小关系． 例35：已知函数f(x)?kx?(k?3)x?1的图象与x轴在原点的右侧有交点，试确定实数k的取值范围． 2 海豚教育错题汇编

1、函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ． 2、若f(x)?1，则f(x)的定义域为( ) log1(2x?1)21111,0) B、 (?,??) C、(?,0)(0,??) D、 (?,2) 2222lg(4?x)3、函数y?的定义域是 ． x?32?xx24、设f(x)?lg，则f()?f()的定义域为（ ） 2?x2xA、(?A、(?4,0)5、函数y?(0,4) B、(?4,?1)(1,4) C、(?2,?1)(1,2) D、(?4,?2)(2,4) 1的定义域为（ ） log0.5(4x?3)B、(,??) A、 (,1) 6．直线y?kx?3434 C、 (1,??) D、(,1)34(1,??) 3与曲线y2?2y?x?3?0只有一个公共点，则k的值为（ ） 2111A. 0，?, B. 0，? 2441111C. ?, D. 0，,? 242427．函数f(x)?log2(x?4x?5)的图象与x轴交点横坐标为 （ ） A.1 B.0 C.2或0 D. 2 kx?78、已知函数f(x)?2定义域为R，则求k的范围是 kx?4kx?329、已知函数y?f(x?1)定义域为[?2,3]，求函数y?f(2x?2)的定义域 10、函数f(x)?lg(x?2)的定义域是 . 11．函数y?x2?6x?5与x轴交点坐标是 ，方程x?6x?5?0的根为 ． 12．已知方程x?kx?2?0在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k的取值范围为 13．判断方程x2?(2a?2)x?2a?5?0（其中a?2）在区间(1,3)内是否有解． 22海豚教育个性化作业

1．（1）已知x?x12?12?3，求x2?x?2?2x?x32?32的值 ?3（2）.幂函数y?f(x)的图象经过点(?2,?1)，则满足f(x)＝27的x的值是 . 8 2．计算 （1）(lg2)2?lg2?lg50?lg25 （2）(log32?log92)?(log43?log83)； lg5?lg8000?(lg23)2（3） 11lg600?lg0.036?lg0.122 ?2x?b3．已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数. 2?a （1）求a,b的值；（2）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围. 4．设a?R，若函数y?eax?3x，x?R有大于零的极值点，则（ B ） A．a??3 x?1??2e,x＜2，则f(f(2))的值为（ ） 5．设f(x)??2??log3(x?1)，x?2.22 B．a??3 C．a?? 13D．a?? 13A．0 B．1 C．2 D．3 ?1f(logx)?x?x(a?0,且a?1)试求函数f(x)的单调区间。 a6．已知 |1?x|?m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ） 7．若函数y?()12A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0

8 设函数f(x)?2|x?1|?|x?1|,求使f(x)?22x的取值范围。 9．设函数f?x???1?x??2ln?1?x?. (1)求f?x?的单调区间; 2(2)若当x???1,e?1?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的取值范围; (3)试讨论关于x的方程:f?x??x2?x?a在区间?0,2?上的根的个数. ?1?e??

课堂教学效果评估表V1.0（布氏教学法） 线索 认知准备状态 (背景知识) 25% 学生姓名： 年级： 所上课目： 上课时间段： 年 月 日 : ～ : 周 强化 情感准备状态 (动力/兴趣/毅力) 25% 教学质量 50% 参与 总分合计： 任课教师签字： 反馈矫正 课堂教学效果评估（在认为合适的选项前打圈选定） □5分（优）：学生针对本次课内容的背景知识结构完全掌握并能熟练运用 1. 认知准备状态 （背景知识） □4分（良）：学生针对本次课内容的背景知识结构基本掌握并能较熟练运用 □3分（中）：学生针对本次课内容的背景知识结构部分掌握并能基本运用 □2分（差）：学生针对本次课内容的背景知识结构小部分掌握并仅能部分运用 □1分（极差）：学生针对本次课内容的背景知识结构零掌握 □5分（优）：学生针对本次课内容的学习兴趣很高、动力很足，积极主动配合 25% 2. 情感准备状态 （动力/兴趣/毅力） □4分（良）：学生针对本次课内容的学习兴趣较高、动力较足，较积极配合 □3分（中）：学生针对本次课内容的学习兴趣一般、动力一般，基本配合 □2分（差）：学生针对本次课内容的学习兴趣较低、动力不足，有抵触情绪 □1分（极差）：学生针对本次课内容的学习兴趣全无、动力全无，有抵触行为 □5分（优）：本人对本次课教案设计及用学生可以理解的方式讲授方面的自评为：优秀 □4分（良）：本人对本次课教案设计及用学生可以理解的方式讲授方面的自评为：良好 □3分（中）：本人对本次课教案设计及用学生可以理解的方式讲授方面的自评为：中等 □2分（差）：本人对本次课教案设计及用学生可以理解的方式讲授方面的自评为：较差 □1分（极差）：本人对本次课教案设计及用学生可以理解的方式讲授方面的自评为：极差 □5分（优）：本次课学生参与发言（与教授知识有关）的时间不少于30分钟（1/4） □4分（良）：本次课学生参与发言（与教授知识有关）的时间不少于20分钟（1/6） 25% ①线索 ②参与 3.教 学 质 量 （50%） ③强化 □3分（中）：本次课学生参与发言（与教授知识有关）的时间不少于10分钟（1/12） □2分（差）：本次课学生参与发言（与教授知识有关）的时间不少于5分钟（1/24） □1分（极差）：本次课学生参与发言（与教授知识有关）的时间为零 □5分（优）：本次课中教师积极主动强化且教师感觉强化动作对学生积极影响很大 □4分（良）：本次课中教师较积极主动强化且教师感觉强化动作对学生积极影响较大 □3分（中）：本次课中教师有意识主动强化且教师感觉强化动作对学生积极影响一般 □2分（差）：本次课中教师偶尔主动强化且教师感觉强化动作对学生积极影响不大 □1分（极差）：本次课中教师基本无主动强化动作 备注：主动强化动作包括：赞许、认可、微笑、手势，以及物质奖励等 □5分（优）：课程中为把控学生的掌握情况而进行反馈提问（题目变形/角色互换）不少于12次 ④反馈—矫正 □4分（良）：课程中为把控学生的掌握情况而进行反馈提问（题目变形/角色互换）不少于8次 □3分（中）：课程中为把控学生的掌握情况而进行反馈提问（题目变形/角色互换）不少于4次 □2分（差）：课程中为把控学生的掌握情况而进行反馈提问（题目变形/角色互换）不少于2次 □1分（极差）：课程中为把控学生的掌握情况而进行反馈提问（题目变形/角色互换）0次

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