程序设计教案VB版第九章

第九章 解析交会定点程序设计原理

§9-1 概述

在地形测量及普通工程测量中，当用三角锁（网）或导线的方法布设的平面控制点密度不足时，还可用解析交会定点的方法进行加密。所谓解析交会定点的测量方法，就是根据几个平面已知点，测定一个或少量的几个未知点的平面坐标的测量方法。首先，在实地布设一个较为简单的图形，然后，用经纬仪测量水平角，或另外再用测距仪（或全站仪）测定某条（或某些）边，经过计算求得未知点的坐标。本章简要介绍交会定点的外业，重点介绍内业。 一、解析交会测量的外业概述

解析交会的图形很多，下面先介绍一些基本图形，较为复杂的图形将在本章后面介绍。 1、单三角形：如图9-1所示。已知点为A、B，未知点为P。分别在A、B、P三点上设站，观测水平角?、?、?。

2、前方交会：如图9-2所示。已知点为A、B、C，未知点为P。分别在A、B、C三点上设站，观测水平角?1、?1、?2、?2。

3、侧方交会：如图9-3所示。已知点为A、B、C，未知点为P。分别在A、P两点上设站，观测水平角?、?、?。

4、后方交会：如图9-4所示。已知点为A1(A2)、B1、C1(B2)、C2，未知点为P。只在P点上设站，观测各方向之间的水平夹角。

图9-1 单三角形 图9-2 测角前方交会

图9-3 侧方交会 图9-4 后方交会

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二、解析交会测量的内业概述

根据坐标计算原理可知，为了求得一点的坐标，必须知道从已知点到该点的边长及坐标方位角。对于解析交会定点的有些图形来说，只测定了角度，而没有测定边长，所需边长要通过解算三角形才能获得。坐标方位角则有的可以直接计算，有的也要解算三角形才能求得。 在实际工作中，为确保计算结果可靠，首先需要对外业观测资料进行认真、仔细地检查。在确认外业观测成果无误、且符合规范要求时，再抄录已知数据，然后，即可开始正式计算。 交会点的坐标，通常是按某种交会图形所对应的公式进行计算。一般说来，所有的计算公式，都是按照一定图形上点、角的代号和排列顺序推导出来的。因此，在计算之前，应根据所采用的公式的要求，对实测图形的点、角进行编号，否则，将导致错误的计算结果。 下面分别介绍各种交会图形的计算公式。 §9-2 单三角形

单三角形如图9-1所示，只有一种图形。其未知点P的坐标一般按余切公式进行计算。 一、三角形点及内角编号规则

为使下面的计算具有规律性，应首先对三角形点及内角按照一定的规则进行编号。 1、三角形点编号规则

先编已知点，后编未知点，将三个点按逆时针方向依次编为A、B、P。 2、三角形内角编号规则

按逆时针方向将三角形的内角依次编为α、β、γ。 角号与点号的对应关系是： Ａ ── α Ｂ ── β Ｐ ── γ 二、角度平差 1、三角形闭合差的计算 W???????180 W允??60?? 2、角度改正数的计算

0W 3W V???

3W V???

3 V??? 检核：[V]??W

改正数V?、V?、V?均取位至1??。因取位可能使得改正数产生凑整误差。 该凑整误差调整的原则是：在正弦变化较慢的大角上调整。

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3、平差角的计算 ?????V? ?????V? ?????V?

4、角度平差检核 图9-5 单三角形 ?????????180

角度平差之后，应采用平差角??、??、??按余切公式进行P点坐标计算。在下面推导余切公式的过程中，为了方便起见，一律将??、??、??写成?、?、?，请予以注意。 三、P点坐标计算（余切公式） 如图9-5所示，按坐标正算公式可写出：

0?XP?XA??XAP ?

Y?Y??YAAP?P 以上式中的第一个式子为例，推证XP的计算公式。YP的计算公式同理可证。 XP?XA??XAP

?XA?SAP?Cos(?AP) 因为： ?AP??AB??

所以： XP?XA?SAP?Cos(?AB??)

?XA?SAP(Cos(?AB)?Cos(?)?Sin(?AB)?Sin(?)) 由于： Sin(?AB)?YB?YA SABXB?XA

SABSAP((XB?XA)Cos(?)?(YB?YA)Sin(?)) SABSAP?Sin(?)((XB?XA)ctg(?)?(YB?YA))

SAB Cos(?AB)?所以： XP?XA? ?XA? 187

根据正弦定理可写出：

SAPSin(?)? SABSin(?)SAPSin(?)? SABSin(???)SAP?Sin(?)Sin(?)?Sin(?)1??

SABSin(???)ctg(?)?ctg(?)即：

则：

将上式代入前式，经整理得： XP?XA?ctg(?)?XB?ctg(?)?YA?YB

ctg(?)?ctg(?)这是计算P点纵坐标XP的余切公式。同理可证计算P点横坐标YP的余切公式为： YP?YA?ctg(?)?YB?ctg(?)?XA?XB

ctg(?)?ctg(?) 因此，计算P点坐标的余切公式为：

XA?ctg(?)?XB?ctg(?)?YA?YB?X??Pctg(?)?ctg(?)? ? （9-1）

?Y?YA?ctg(?)?YB?ctg(?)?XA?XBP?ctg(?)?ctg(?)? 四、计算检核

P点的坐标计算完后，应将B点当作A点，将P点当作B点，将A点当作P点，用余

切公式检核上述计算过程的正确性，即：

XB?ctg(?)?XP?ctg(?)?YB?YP?X??Actg(?)?ctg(?)? ? （9-2）

Y?ctg(?)?Y?ctg(?)?X?XPBP?Y?BA?ctg(?)?ctg(?)? 必须指出，公式（9-2）只能作为计算中有无错误的检核，并不能发现角度测错、用错

或已知数据抄错、用错等情况，也不能提高计算结果的精度。因此，观测者、计算者应保证外业、内业数据的精度与正确性。单三角形的计算示例见表9-1、表9-2。

§9-3 前方交会

本节所要介绍的前方交会，是采用余切公式计算交会点P的坐标的典型图形，如图9-2所示。关于利用其它公式计算交会点P的坐标的一些前方交会图形，将在本章后面介绍。 一、前方交会点P的坐标计算

如图9-2所示，首先，应用第一个三角形（已知点为A、B，观测角为?1、?1）、采用

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单 三 角 形 之 计 算

一、坐标计算 表9-1 计算者：谢建平 检查者：方 勇 点名 点号 角观测角值 号 ° ′ ″ 67 19 47 46 08 22 66 31 48 179 59 57 改正数 ″ +1 +1 +1 +3 改正后角值 ° ′ ″ 67 19 48 46 08 23 66 31 49 180 00 00 坐 标 X Y N11 N16 A6 A ? 1260.408 760.498 1348.740 1474.324 1804.930 912.693 B ? P ? ? 辅助 计算 W??3?? W允??60?? V???1?? V???1?? V???1?? 二、检核计算 表9-2 计算者：谢建平 检查者：方 勇 点名 点号 角号 改正后角值 ° ′ ″ 46 08 23 66 31 49 67 19 48 坐 标 X 1348.740 1804.930 1260.408 Y 1474.324 912.693 760.498 N16 A6 N11 B ? P A ? ? 余切公式可计算出P点的第一组坐标XP1、YP1；然后，应用第二个三角形（已知点为B、C，观测角为?2、?2）、采用余切公式可计算出P点的第二组坐标XP2、YP2；最后，取其平均值作为P点坐标的最或然值。即：

XP1?XP2?X???P2 ? （9-3）

Y?YP2?Y?P1P?2? 二、限差要求

?W?X?XXP2P1?? ?WY?YP2?YP1 （9-4）

?22W??W?W?SXY? WS允??0.2M(毫米)??

M （9-5） （米）5000189

22S12?SAB?S2对于图9-18中的第一个图而言，若按式Cos(?A)?用计算器的反余弦

2?S1?SAB函数功能求?A时，应注意?A?(0,180)，即求得的?A可能位于第一象限，也可能位于第二象限。当Cos(?A)的函数值为正时，?A位于第一象限，此时用计算器的反余弦函数功能计算所显示的结果就是?A的值，而且0??A?90；当Cos(?A)的函数值为负时，?A位于第二象限，此时用计算器的反余弦函数功能计算所显示的结果也是?A的值，而且90??A?180。若已知Cos(?A)的函数值为负，但用计算器的反余弦函数功能按其正值计算所显示的结果?x不是?A的值，此时?A的值应为：?A?180??x。同理，可按上述方法求得?ABP、?CBP、?C。然后，按余切公式用两组图形计算P点坐标。

§9-7 折线式前方交会（正切公式）

如图9-19所示，如果已知点A、B、C之间不通视，则可另外选择与A、B、C通视的已知点M、N、Q作为测角时的已知方向。将这种图形称为折线式前方交会。它多用于通视条件不好的隐蔽测区，例如城市、林区等。

这种图形解算待定点P的坐标的方法，也要用两组图形分别推算P点的两组坐标，然后，用公式（9-30）、（9-31）、（9-32）来计算P点的最后成果及进行检核计算。 一、编号规则

1、点的编号

待定点编号为P。自远离P点的某一个已知点开始，将其编号为M，与M、P在同一条折线上的另一个已知点编号为A；依顺时针方向，同理将其它四个已知点编号为N、B、Q、C。 2、角的编号 从M点开始，向A、P方向前进推算AP边的坐标方位角时，所经过的左折角编号为?；同

理，将另外两条折线上的左折角编号为?、?。 图9-19 折线式测角前方交会 3、计算P点坐标的第一组图形 折线M、A、P与折线N、B、P。 4、计算P点坐标的第二组图形

折线N、B、P与折线Q、C、P。

二、折线式测角前方交会公式（正切公式）的推导

下面，用第一组图形来推算P点的第一组坐标。所推得的公式可用于第二组图形来推算P点的第二组坐标。

根据坐标方位角推算公式，可知：

0???AP??MA???180 ? （9-33） 0???BP??NB???1800000000 根据坐标反算公式，可知： ??YP?YA?(XP?XA)tg(?AP) （9-34）

Y?Y?(X?X)tg(?)BPBBP?P 用（9-34)式的上式减去下式，得：

YB?YA?XP(tg(?AP)?tg(?BP))?XAtg(?AP)?XBtg(?BP)

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解上式，得： XP?XAtg(?AP)?XBtg(?BP)?YB?YA （9-35）

tg(?AP)?tg(?BP)将（9-35）式代入（9-34）式，得： YP?YBtg(?AP)?YAtg(?BP)?(XA?YB)tg(?AP)tg(?BP) （9-36）

tg(?AP)?tg(?BP)XAtg(?AP)?XBtg(?BP)?YB?YA?X??Ptg(?AP)?tg(?BP)?即： ? （9-37）

Ytg(?)?Ytg(?)?(X?Y)tg(?)tg(?)APABPABAPBP?Y?BP?tg(?AP)?tg(?BP)? 因为上式中除了用到已知点的坐标外，还使用了坐标方位角的正切，因此，在测量书上

通常将（9-37）式称为正切公式。 三、折线式前方交会的其它图形

实际工作中，折线式前方交会的图形可能布设的形式多种多样，例如图9-20、图9-21两种形式。它们用来交会待定点P的折线虽然只有两条，但另外观测了一条边长，因而，可以先用（9-37）式计算出P点的第一组坐标；再采用坐标正算的方法，用观测了边长的那条折线算出P点的第二组坐标。这样，也可以算出P点的两组坐标，达到对P点的观测精度及计算的正确性进行检核的目的。

图9-20 折线式边角同测前方交会 图9-21 折线式边角同测前方交会

§9-8 其它交会形式（旁点交会、双点后方交会）

在测量实践中，经常会遇到各种各样的困难，例如测区中已知的高等级控制点稀少或地物密集，以致不能充分利用已知的高等级控制点；有时在狭长的山沟中工作，沟的两侧是悬崖陡壁。在这些困难地区布设控制点，若应用前面所述及的几种方法可能较为困难。下面介绍两种比较实用的方法。

一、旁点交会法（参见文献[41]P226，文献[42]P339）

有时会遇到这种地形：一条狭长、坡度较大、不便于直接用钢尺量距（又无电磁波测距仪）的山沟，沟的两侧是耸立的、难以攀登的山岭，而且在一侧的山上布满了茂密的森林；在山沟一端两侧有A、B两个已知点，今要求在山沟中增设一个新的控制点P2。为此，可布设一个过度的控制点C，并选择几个从B、A、C、P2等点中至少有三个点都能够观测的明显

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地物点（如独立树、独立石、岩石角等）D、E、F，如图9-22所示，然后，从B、A、C、P2等点向D、E、F点作前方交会观测（只观测水平角）。

图9-22 旁点交会 图9-23 旁点交会

怎样计算P2点的坐标呢？首先，从已知边AB开始，通过?ABD求AD边长，再通过

?ADC求AC边长；同时，通过?ABE求AE边长，再通过?AEC求AC边长。这样，AC的

边长便求得两个值，可以计算其较差，与规范的规定限差相比较，若不超限，应取平均值作为AC边长的最后成果；若超限，应寻找原因，直至重测。

同理，CP2边长也可以求得两个：一个是通过?AEC和?CEP2算出来，另一个是通过

?AFC和?CFP2算出来。同样也应计算其较差，与规范的规定限差相比较，若不超限，应

取平均值作为CP2边长的最后成果；若超限，应寻找原因，直至重测。

下面，根据A和C点观测的水平角，就可以从已知边的坐标方位角?AB开始，推算出AC边和CP2边的坐标方位角?AC和?CP2；然后，再根据A点的坐标，以及上面算得的AC边和，坐标方位角?AC和?CP2，按坐标正算的方法（或者说是支导线的计算方法） CP2边的边长、计算P2点的坐标。

若在本节开始所述的山沟的一端有两个已知点A、B，在山沟的另一端也有两个已知点C、D，则可布设成如图9-23所示的旁点交会图形。这种情况下，首先，可按前面所述的前方交会方法计算得B1、12、23、3C边的边长及其坐标方位角；然后，对附合导线AB123CD进行近似平差计算；最后，可得各待定点1、2、3的坐标。

二、双点后方交会法（参见文献[41]P227 ，文献[42]P331）

有时可以用布设双点后方交会的办法解决测区中已知点不足的困难。图9-24中，A、B

?是两个用于计算后方交会点P1、P2所必需的已知点，K、K是双点后方交会图形中用于检

核计算的已知点。今在未知点P1、P2上分别设站观测得?1、?1和?2、?2。要求未知点

P1、P2的坐标，必须先求出已知点A、B到到P1、P2点的边长和坐标方位角，然后，用坐标

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正算的方法计算P1、P2点的坐标。 双点后方交会的计算与后方交会（即通常说的只有一个未知点的后方交会）存在同样的困难，即已知边和未知边之间没有现成的夹角可以利用，为此，必须先解出辅助角?1、?1和?2、?2。下面介绍双点

后方交会的计算公式。 图9-24 双点后方交会

如图9-24所示，左侧是两个未知点P1、P2分别布设在已知点A、B两侧的图形，右侧是两个未知点P1、P2布设在已知点A、B同侧的图形。为了使下面推导出的公式适用于各种图形，对各角的编号作如下规定：

未知点P1上的两个观测角按顺时针方向编为?1、?1，?1??P2P1A，?1??BP1P2。例如，?1??P2P从P1P2边起，依顺时针方向转到P（下同）。1A是以P1为测站，1A边间的角在未知点P2上的两个观测角按顺时针方向编为?2、?2，?2??AP2P1，?2??P1P2B。辅助角?1??ABP1，?1??P1AB，?2??P2BA，?2??BAP2。 求辅助角?1、?1和?2、?2的公式推导如下： ?1??1?180?(?1??1)

0?1??121?900?(?1??1) （9-38）

2 按正弦定理循两条路线求得边SP1P2为： SP1P2?SAP1Sin(1800?(?1??2)) （在?AP1P2中）

Sin(?2) ?SABSin(?1)Sin(?1??2)? （在?ABP1中）

Sin(?1??1)Sin(?2)Sin(1800?(?1??2)) （在?BP1P2中）

Sin(?2) SP1P2?SBP1 ?SABSin(?1)Sin(?1??2)? （在?ABP1中）

Sin(?1??1)Sin(?2) 203

将上面两式相除，整理得：

Sin(?1)Sin(?2)?Sin(?1??2)?

Sin(?1)Sin(?2)?Sin(?1??2)Sin(?2)?Sin(?1??2) （9-39）

Sin(?2)?Sin(?1??2)设： Q?则：

1Sin(?1)? QSin(?1)根据比例的合分比定理，可得：

1?QSin(?1)?Sin(?1)? 1?QSin(?1)?Sin(?1))22 ? （参见《中学生数学基本概念及公式?1??1?1??12Sin()?Cos()22手册》P234表中的和差化积公式）

?ctg(2Cos(?1??1)?Sin(?1??1?1??12)?tg(?1??12)

也可写成下面的形式： tg???111?Q(?1??1)??tg(1) （9-40） 21?Q2 按公式（9-39）式求Q，然后，将（9-38）式和（9-40）式联立方程组，可求出?1和?1。最后，用下式检核上述计算的正确性： Q?Sin(?1) （9-41）

Sin(?1) 从图9-24可以看出：

0???2?180?(?1??2??1) ? （9-42） 0???2?180?(?1??2??1) 求出辅助角?1、?1和?2、?2以后，就可以按前方交会的方法用?ABP（余1求P1点坐标切公式），用?ABP2求P2点坐标。

注意，在上述计算中，如果有任何一个参与计算的元素（观测角、已知坐标等）存在错

误（这个错误可能是测错的，也可能是转抄错的），最后均将导致P1、P2点坐标的错误，且在上述计算中无法发觉。所以，必须在实际工作中布设可进行有效检核的双点后方交会的图形。例如，在图9-24所示的图形中，另外观测了已知点K或K、K?，可以在计算出P1、P2

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点坐标后，采用坐标反算的方法计算?1、?2，记为?1计、?2计；实际观测得的?1、?2记为

?1测、?2测；计算较差：

???1??1计??1测 ? （9-43）

??????2计2测?2将（9-43）式所算得的较差与规范的限差相比较，若不超限，P1、P2点的计算坐标值可以采用；否则，应查明原因，直至重测。可见，双点后方交会的检核计算方法与侧方交会相同。

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点坐标后，采用坐标反算的方法计算?1、?2，记为?1计、?2计；实际观测得的?1、?2记为

?1测、?2测；计算较差：

???1??1计??1测 ? （9-43）

??????2计2测?2将（9-43）式所算得的较差与规范的限差相比较，若不超限，P1、P2点的计算坐标值可以采用；否则，应查明原因，直至重测。可见，双点后方交会的检核计算方法与侧方交会相同。

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