高中数学竞赛平面几何基本定理

篇一：个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

一、

1. 梅涅劳斯定理

平面几何

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，

(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1

逆定理证明：

证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

证明一

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'

有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似， 三式相乘得1

得证。如百科名片中图。

※ 推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是

λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1

即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

该形式的梅涅劳斯定理也很实用

证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。 第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)

梅涅劳斯球面三角形定理

在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，

弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1[

※意义

2.赛瓦定理

在△ABC内任取一点O，

直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

定理的内容 托勒密(Ptolemy)

定理指出，圆的内接凸四边

形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面

积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公

式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关

于共圆性的基本性质．

定理内容：指圆内接凸四边形两对对边

乘积的和等于两条对角线的乘积

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠

EAD,

所以△ABC∽△AED.

BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

篇二：高中数学竞赛平面几何基础圆幂定理

圆幂定理

篇三：高中数学平面几何拓展-数学竞赛知识

高中数学平面几何拓展

第一大定理：共角定理（鸟头定理）

即在两个三角形中，它们有一个角相等（互补），则它们就是共角三角形。它们的面积之比，就是对应角（相等角、互补角）两夹边的乘积之比。

内容：若两三角形有一组对应角相等或互补，

则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

即：若△ABC和△ADE

中，

∠BAC=∠DAE ，则S△ABC÷S△ADE=

第二大定理：等积变换定理。 1、等底等高的两个三角形面积相等；

2、两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。

3、在一组平行线之间的等积变形。

如图所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

第三大定理：梯形蝴蝶定理。

任意四边形中，同样也有蝴蝶定理。

上述的梯形蝴蝶定理，就是因为AD‖EC得来的

第四大定理：相似三角形定理。

1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；

2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！

图形：

第五大定理：燕尾定理。

性质：1.S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CE 2.S△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CF

3.S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD

这就是燕尾模型。

其他几何定理：

塞瓦定理

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则

(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

梅涅劳斯定理

当直线交

三边所在直线 于点 时，

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。[2]

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

托勒密定理

定理内容

指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积

推论

1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆

清宫定理

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、

W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、

F在同一直线上

射影定理 射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD2=AD·DC

AB2=AC·AD

BC2=CD·AC

面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。”

它们所在平面所成的二面角为 ) (平面多边形及其射影的面积分别是 和 ,

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