《概率论与数理统计》练习题1

《概率论与数理统计》练习题

一、单项选择题

1. A、B为两事件，则A?B=（ ）

A．A?B B．A∪B C．AB D．A∩B 2.对任意的事件A、B，有（ ）

A．P(AB)?0，则AB不可能事件 B．P(A?B)?1，则A?B为必然事件 C．P(A?B)?P(A)?P(B) D．P(A?B)?P(A)?P(AB) 3.事件A、B互不相容，则（ ）

A．P(A?B)?1 B．P(A?B)?1 C．P(AB)?P(A)P(B) D．P(A)?1?P(AB) 4．设A为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A．A与A互为对立事件 B．A与A互不相容 C．A?A??

D．A?A

5.任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为8的概率为（ ）

A．

336 B．436 C．5236 D．36 6.已知A、B、C两两独立，P(A)?P(B)?P(C)?112，P(ABC)?5，则P(ABC)等于（A．140 B．120 C．1110 D．4

7.事件A、B互为对立事件等价于（ ）

（1）A、B互不相容 （2）A、B相互独立

（3）A?B?? （4）A、B构成对样本空间的一个划分 8.A、B为两个事件，则P(A?B)=（ ）

A．P(A)?P(B) B．P(A)?P(AB) C．P(A)?P(B) D．P(B?A) 9.A1、A2、A3为三个事件，则（ ）

A．若A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3两两独立； B．若A1,A2,A3两两独立，则A1,A2,A3相互独立；

1

）

C．若P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，则A1,A2,A3相互独立； D．若A1与A2独立，A2与A3独立，则A1与A3独立

10．设A与B相互独立，P(A)?0.2，P(B)?0.4，则P(A　B)?（ ） A．0.2

B．0.4

C．0.6 D．0.8

11．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ） A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.5 12．设A、B为任意两个事件，则有（ ） A.（A∪B）-B=A B.(A-B)∪B=A C.(A∪B)-B?A D.(A-B)∪B?A 13．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（ ） ．．A．P（AB）=0

C．P（AB）=P（A）P（B）

B．P（A∪B）=P（A）+P（B） D．P（B-A）=P（B）

114．设事件A，B相互独立，且P（A）=，P（B）>0，则P（A|B）=（ ）

3A．C．

1 15B．

1 541 D． 15315．设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B) >0，则有（ ） A．P(AB)=l

B．P(A)=1-P(B)

C．P(AB)=P(A)P(B) D．P(A∪B)=1

16．设A、B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（ ） A．P(AB)=0

B．P(A-B)=P(A)P(B)

C．P(A)+P(B)=1 D．P(A|B)=0

17．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ） A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.50

18．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（ ）

A．A1A2 C．A1A2

B．A1A2 D．A1A2

19．某人每次射击命中目标的概率为p(0

A．p2 B．(1-p)2 C．1-2p D．p(1-p)

20．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A?B，则P(A|B)=（ ）

2

A．0 B．0.4 C．0.8 D．1

21．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ ）

A．0.20 B．0.30 C．0.38 D．0.57

22．X的密度为f(x)???2x,x?[0,A]?0,其它，则A=（ ）

A．14 B．12 C．1 D．2 23．离散型随机变量X的分布列为

X0 1 2

P 0.3 0.5 0.2 其分布函数为F(x),则F(3)?( ) A． 0 B．0.3 C．0.8 D．1

24．随机变量X的密度函数f(x)???cx4x?[0,1]?0其它 则常数c=（ ） A．

15 B．14 C．4 D．5 25．离散型随机变量X的分布列为

X0 1 2

P 0.2 0.4 0.4 其分布函数为

F(x)，则F(1)? ( )

A．0.4 B．0.2 C．0.6 D．1

26．设随机变量X服从参数为3的指数分布，其分布函数记为F(x)，则F(13)?（ ）

A．

1 B．e3e3

C．1?e?1

D．1?13e?1

27．设随机变量X的概率密度为f(x)???ax3,0?x?1,则常数a?（ ?0,其他, ）

A．

14 B．13

C．3

D．4

28．设随机变量X与Y独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为

14，34，则P?XY??1??（ 3

）A．116 B．

316 C．

14 D．38

29．设三维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,??)?（ ） A．0 B．FX(x) C．FY(y)

D．1

30．设随机变量X和Y相互独立，且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，则Z?3X?Y~（ ） A．N(7,21) B．N(7,27) C．N(7,45)

D．N(11,45)

?x0?x?1;31．设随机变量X的概率密度为f(x)=?,?2?x,1?x?2; 则P{0.2

??0,其它.A．0.5 B．0.6 C．0.66 D．0.7

32．某人射击三次，其命中率为0.7，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.027 B.0.081 C.0.189 D.0.216

33．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（ ）

Y X 0 1 2 -1 0.2 0.1 0.1 0 0 0.3 0 2 0.1 0 0.2

则F（0,1）=( )

A.0.2 B.0.6 C.0.7

D.0.8

34．设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=??k(x?y),0?x?2,0?y?1;?0,其它.则k=（ A.

14 B.13 C.12 D.23 35．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f （x）为（ ）?A．f(x)??1?,?1?x?2;B．f(x)???3,?1?x?2;?3 ?0,其他.?0,其他.

?C．f(x)???1,?1?x?2;

D． f(x)????13,?1?x?2;?0,其他.

??0,其他.36．设随机变量X ~ B??1??3,3??，则P{X?1}=（ ）

4

）

A．C．

1 27B．

8 271926 D． 272737．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y 1 2 X 1 2 则P{XY=2}=（ ） A．C．

3 1 103 102 101 103 102 101 101 5B．

13 D． 2538．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?4xy,0?x?1,0?y?1; f(x,y)??

0,其他,?则当0?y?1时，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY （ y ）= （ ）

1 2x1C．

2yA．

B．2x D．2y

39．设函数f(x)在[a，b]上等于sinx，在此区间外等于零，若f(x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a，b]应为（ ）

A．[?π,0] 2πB．[0,]

2D．[0,C．[0,π]

3π] 2?x?40．设随机变量X的概率密度为f(x)=?2?x?0?0?x?11?x?2，则P(0.2

41．设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19／27，则事件A在一次试验中出现的概率为（ ）

1 411C． D．

2342．设随机变量X，Y相互独立，其联合分布为 A．

B．

1 6 5

则有（ ）

12A．??,??

9912C．??,??

3343．设随机变量X的分布律为

21B．??,??

9921D．??,??

33X P 0 1 2 0.3 0.2 0.5 则P{X<1}=（ ）

A．0 B．0.2 C．0.3 D．0.5

44．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ ）

?100?,x?100,A．?x2

?x?100?0,?10?,B．?x??0,x?0,x?0

?1,0?x?2,C．? ?0,其他?13?1?，?x?,D．?222

?其他?0,

45.随机变量X服从二项分布B(10,0.2)，则（ ） A．EX?DX?2 B．EX?DX?1.6

C．EX?2，DX?1.6 D．EX?1.6，DX?2

46.X可取无穷多个值0,1,2,?，其概率分布为普阿松分布P(3)，则（ ） A．EX?DX=3 B．EX?DX=

1111 C．EX=3，DX= D．EX=，DX= 3339)

47.随机向量(X,Y)有DX?36,DY?25,协方差?XY?12，则D(X?Y)?( A．1

B．37 C．61 D．85

D(X)1?（ ） 48.设X~B(10, ), 则

E(X)3

1A. 3C.1

B.D.

2 310 3 6

?1?e?2xx?0;49．已知随机变量X的分布函数为F(x)=?则X的均值和方差分别为（ ）

其它.?0A.E(X)=2, D(X)=4 C.E(X)=

B.E(X)=4, D(x)=2 D.E(X)=

11,D(X)= 4211, D(X)= 2450．设随机变量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估计P(|X?E(X)|?3?)?（ ） A.C.

1 91B. 38 D.1 951．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y 0 X 0 1 则E（XY）=（ ） A．?C．

1 1 31 31 30 1 9B．0

11 D． 9352．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ ） A．-2 B．0

1C． D．2

253．设?n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的??0，均有limP{|n???nn?p|??}（ ）

B．=1 D．不存在

A．=0 C．> 0

54．设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y～B(6，A．?C．2

1)，则E(X-Y)=（ ） 25 21 2D．5 B．

55．设二维随机变量(X，Y)的协方差Cov(X，Y)=（ ）

A．C．

1，且D(X)=4，D(Y)=9，则X与Y的相关系数?XY为61 2161 6B．

1 36D．1

7

256.设总体X服从N(?,?)，X1,X2,?Xn为其样本，则Y?n(X??)服从（ ）

SA.x2(n?1)B.N(0,1)2C.t(n?1)D.t(n)

57.设总体X服从N(?,?)，X1,X2,…,Xn为其样本，则Y? A.x(n?1)21?2?(Xi?1ni??)2服从（ ）

B.x2(n)C.t(n?1)D.t(n)

58．设总体X的分布律为P?X?1??p，P?X?0??1?p，其中0?p?1.设X1,X2,?,Xn为来自总体的样本，则样本均值X的标准差为 （ ）

p(1?p) nA．B．

p(1?p) nC．np(1?p) D．np(1?p)

59．设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则X2?Y2~（ ） A．N(0,2) C．t(2)

B．?2(2) D．F(1,1)

60.记F1-α(m,n)为自由度m与n的F分布的1-?分位数，则有（ ）

11A.F?(n,m)? B.F1??(n,m)?

F1??(m,n)F1??(m,n)C.F?(n,m)?1

F?(m,n)D.F?(n,m)?1

F1??(n,m)61．设x1, x2, …, x100为来自总体X ~ N（0，42）的一个样本，以x表示样本均值，则x~（ ） A．N（0，16） B．N（0，0.16） C．N（0，0.04） D．N（0，1.6） 62．设总体X～N(?,?2)，X1，X2，…，X10为来自总体X的样本，X为样本均值，则X～（ ） 10?2) A．N(?，B．N(?，?2) D．N(?，?2C．N(?，)

10?210)

63．设X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则样本方差S2=（ ） 1A．

n?(Xi?1ni?X)

21B．

n?1?(Xi?1ni?X)2

1C．

n

?(Xi?1ni?X)

21D．

n?18

?(Xi?1ni?X)2

64．设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，?,?2均未知，则?2的无偏估计是（ ）

1A．

n?11C．

nn?(Xi?1ini?X)

21B．

n?1?(Xi?1ni??)2

?(Xi?1?X)

21D．

n?1?(Xi?1ni??)2

65．设总体X ~ N（?,?2），其中?未知，x1，x2，x3，x4为来自总体X的一个样本，则以下关于?的

1211111?2?x1?x2?x3，??3?x1?x2，??4?x1中，哪一个是无(x1?x2?x3?x4)，?7455566偏估计？（ ） ?1?四个估计：??1 B．??2 C．??3 D．??4 A．?66.总体X服从P(?)，其中??0为未知参数,X1,X2,?Xn为样本,则下面说法错误的是( ) A．X是EX的无偏估计量 B．X是DX的无偏估计量 C．X是EX的矩估计量 D．X是?的无偏估计量 67．矩估计必然是（ ）

(1)无偏估计 (2)总体矩的函数 (3)样本矩的函数 (4)极大似然估计

2?)??，则??是未知参数?的一个估计量，若E(??是?的（ ） 68．设?A．极大似然估计 B．矩估计 C．无偏估计 D．有偏估计

二、填空题

1. A、B为两事件，P(A?B)?0.8，P(A)?0.2，P(B)?0.4，则P(B?A)? 。

2.一小组共10人，得到3张电影票，他们以摸彩方式决定谁得到此票，这10人依次摸彩，则第五个人摸到的概率为 。

3．有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为_______。 4．某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为_______。

5．连续抛一枚均匀硬币6次，则正面至少出现一次的概率为___________。

6．设事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2, 则P(A∪B)= ___________。

7．某人工作一天出废品的概率为0.2，则工作四天中仅有一天出废品的概率为___________。 8．袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为___________。 9．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（AB）=__________。 10．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________。

9

11．将三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为______。

12．袋中有8个玻璃球，其中兰、绿颜色球各4个，现将其任意分成2堆，每堆4个球，则各堆中兰、绿两种球的个数相等的概率为______。

13．已知事件A、B满足：P(AB)=P(AB)，且P(A)=p，则P(B)= ______。

14．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________。

15．设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)= ________。 16．设事件A与B相互独立，且P(A∪B)=0.6，P(A)=0.2，则P(B)=________。 17．设P(A)?0.3，P(B|A)=0.6，则P(AB)=________。

18．10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________。

19．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________。

20．设离散型随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?1F(x)??,?1?x?2,

?3x?2,?1,则P?X?2??_______。

1??21．设随机变量X~U(?1,1)，则P?X???_______。

2??122．设随机变量X~B(4,)，则P?X?0??_______。

323．设随机变量X~N(0,4)，则P?X?0??_______。

24．已知当0?x?1,0?y?1时，二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)?x2y2，记(X,Y)的概率密

11度为f(x,y)，则f(,)?_______.

44?0?1??26．已知随机变量X的分布函数为F(x)=?22??3??1x?00?x?1 则P{2

1?x?3x?327．已知随机变量X的概率密度为f(x)=ce-|x|，-∞

28．设二维随机变量(X,Y)的分布律为 Y 0 5 X 0 2

1 41 61 31 410

则P{XY=0}=___________。

?e?x?y,x?0,y?0;29．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=?则X的边缘概率密度为fX(x)= ___________。

其它.?0,30．设X与Y为相互独立的随机变量，其中X在(0，1)上服从均匀分布，Y在(0，2)上服从均匀分布，则(X，Y)的概率密度f(x,y)= __________。

2??Ax,0?x?1;31．设随机变量X的概率密度f(x)?? 则常数A=_________。

?其他,?0, X -1 32．设随机变量X的分布律为 2C P

?0,?0.2,??33．设离散型随机变量X的分布函数为F（x）=?0.3,?0.6,???1,x??1;?1?x?0;0?x?1;1?x?2;x?2,0 0.4 1 C ,则常数C=_____。

则P{X>1}=_________。

x?10;?0,?34．设随机变量X的分布函数为F（x）=?10则当x?10时，X的概率密度（fx）=__________。

?1?x,x?10,?36．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y 1 2 3 X 1 2 则P{Y=2}=___________. 1 61 121 81 81 41 437．设连续型随机变量X～N(1，4)，则38．设随机变量X的概率分布为

X?1～______。 2

F(x)为其分布函数，则F(3)= ______．

39．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X≥1)=42．设连续型随机变量X的分布函数为

??0，x?0，?π?F(x)??sinx，0?x?,

2?π?1,x?,?2?

11

5，则P{Y≥1)= _ _。 9其概率密度为f (x)，则f (

π)=________。 649.设X服从二项分布B(10,0.3)，则E(2X?1)= 。 50.设X服从二项分布B(n,p)，则D(2X?1)? 。 51. 总体X服从N(2,2)，则EX2? 。 52．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y X 1 2 则E(XY)?_______。

X -1 1 0 1 21 62 62 61 621 2E(X)=_______。 53．设随机变量X的分布律为 ，则 P 33?1,X?0,?54.设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布。随机变量Y??0,X?0,则D(Y)?____ _。

??1,X?0,?55.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4。而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有估计PX?Y?6? _。

56.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计PX?EX?2?_ _。 57．设随机变量X与Y相互独立，且D(X)?0,D(Y)?0，则X与Y的相关系数?XY?_____。 58．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知， P?74?X?86??_______.(Φ(1.5)=0.9332)

????1，k=1,2,3,4,5，则D(X)= ___________。 560.若X~N(3,0.16)，则D(X+4)= ___________。 59.设随机变量X具有分布P{X=k}=?0,61.设Xi=??1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=

?Xi?1100i，

则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___________。

?1?62．设随机变量X ~ B?18,?，则D（X）=_________。

?3? 12

?2x,0?x?1;63．设随机变量X的概率密度为f(x)??则E（X）=________.

其他,?0,64．已知E（X）=2，E（Y）=2，E（XY）=4，则X，Y的协方差Cov（X,Y）=____________。

65．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X?24}=__________。 （附：Φ（1）=0.8413）

66．设X～N(0，1)，Y=2X-3，则D(Y)=______。 67．设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为

则E(XY)=________。

68．设X，Y为随机变量，已知协方差Cov(X，Y)=3，则Cov(2X，3Y)=________。 69.设随机变量X、Y的概率分布为

Y X 0 1 -1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 则X与Y的相关系数?=__ 。

70.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计PX?EX?2?_ _。 71.设随机变量X和Y的数学期望分别为―2和2，方差分别为1和4。而相关系数为―0.5，则根据切比雪夫不等式有估计PX?Y?6? _ 。

72．设随机变量F~F(n1,n2)，则

2????1~_______。 F73.设总体X~N(?,?)，X1，…，X20为来自总体X的样本，则的?2分布。

?i?120(Xi??)2?2服从参数为___________

?32?x,|x|?1;74．设总体X的概率密度为f(x)??2x1 , x2 , … , xn为来自总体X的一个样本，x为样本均

?0,其他.?值，则E（x）=___________。

75．设X1、X2、X3、X4为来自总体X～N（0，1）的样本，设Y=（X1+X2）2+（X3+X4）2，则当C=______时，CY～?2(2)。

76．设随机变量X～N(?，22),Y～?2(n)，T=

X??2Y13

n，则T服从自由度为______的t分布。

277．设总体X～N (?1,?12)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，设总体Y～N (?2,?2)，X为其样本均值；

Y1，Y2，…，Yn为来自总体Y的样本，Y为其样本均值，且X与Y相互独立，则D(X?Y)=________。

n178.X1,X2,?,Xn是均匀总体U[0,3?],??0的样本，?是未知数，X??Xi，则?的无偏估计

ni?1是 。

?是未知参数?的一个估计量，若E(??)___________，则??是?的无偏估计。 79.设?80．设总体X~N(?,?2)，其中?2未知，现由来自总体X的一个样本x1,x2,?,x9算得样本均值x?10，样本标准差s=3，并查得t0.025(8)=2.3，则?的置信度为95%置信区间是_______。

81．设总体X服从参数为?(??0)的指数分布，其概率密度为

??e??x,x?0, f(x,?)??0,x?0.??=_______。 由来自总体X的一个样本x1,x2,?,xn算得样本平均值x?9，则参数?的矩估计?82．设总体X服从参数为?（?>0）的泊松分布，x1 , x2 , … , xn为X的一个样本，其样本均值x?2，?=__________。 则?的矩估计值?83．设总体X为指数分布，其密度函数为p(x ;?)=?e??x，x>0，x1，x2，…，xn是样本，故?的矩法估计?=______。

84．由来自正态总体X～N(?，12)、容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间是______。(Z0.025?1.96,Z0.05?1.645)

85．假设总体X服从参数为?的泊松分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值为

?1n2(Xi?X)。已知??aX?(2?3a)S2为?的无偏估计，则a=______。 X，样本方差S=

n?1i?12

???e?(x??),x??86.设总体X的概率密度为f(x,?)??，而X1,X2,?,Xn是来自X的简单随机样本，

?0,x??则未知参数θ的矩估计为_ ___。

87.总体X服从N(?,?)，其中

2?未知，?2已知。X1,X2,?Xn为其样本，

(X?Z0.05?n,X?Z0.05?n)作为?的置信区间，其置信水平为 。

四、计算题、证明题

1. 设事件A、B互斥，且P(A)?0.6，P(A?B)?0.8。求P(B)。

14

2. 设A?B,A?C，P(A)?0.8，P(B?C)?0.6。求P(ABC)。

5. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为等，求P(A)

6. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，计算任取3个球恰好为一红、一白、一黑的概率。 7. 某地共发行3种报纸A、B、C。此地居民中，订购A报的占45%，订购B报的占35%，订购C报的占30%，同时订购A、B报的占30%，同时订购A、C报的占8%，同时订购B、C报的占5%，同时订购A、B、C报的占3%。求以下概率。（1）只订购A；（2）只订购A及B；（3）只订购一种报纸；（4）正好订购两种报纸；（5）至少订购一种报纸；（6）不订购任何报纸。

8．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；（2）该件次品是由甲车间生产的概率。

9．设A，B是两事件，已知P(A)=0.3，P(B)=0.6，试在下列两种情形下：（1）事件A，B互不相容；（2）事件A，B有包含关系；分别求出P(A | B)。

15

1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相9

10．某种灯管按要求使用寿命超过1000小时的概率为0.8，超过1200小时的概率为0.4，现有该种灯管已经使用了1000小时，求该灯管将在200小时内坏掉的概率。

11. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，则进行反击，击落甲机的概率为0.3，若甲机未被击落，则再进行反击，击落乙机的概率为0.4，求这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率？

12. 三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.5、0.3、0.4。问能将此密码译出的概率是多少？

13. 一批产品共20件，其中5件次品，现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：（1）在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品；（2）第三次才取到次品；（3）第三次取到次品。

14. 设A?甲市下雨，B?乙市下雨，由以往的气象记录知P(A)?0.3,P(B)?0.4，（1）说明两市下雨有牵连；（2）求P(AB),P(BA),P(A?B)。 P(AB)?0.28。

15. 某厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%、20%。各车间的次品率依次为4%、2%、5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试求它是由甲车间生产的概率？

16. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲。假设男人女人各占一半，现随机地抽选一人，求此人恰好是色盲患者的概率多大？

16

????

17. 某人决定去甲、乙、丙三国之一旅游，这三国在此季节下雨的概率分别为旅游的概率分别为旅游的概率。

121,,，他去这三国232111（2）他在旅游遇上下雨天时正好在乙国,,，求（1）他在旅游遇上下雨天的概率；

4421时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时停机概率0.3，加工零件B3时停机概率0.4，问这台机床的开机率是多少?

19. 若甲盒中装有三个白球，二个黑球；乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。（1）求从乙盒中取得一个白球的概率；（2）若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。

20. 已知甲、乙两箱装有同样的产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中只装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取1件产品是次品的概率。

18. 一台机床有

?0?221. 设连续随机变量X的分布函数为：F(x)??Ax?1?P(0.3?X?0.7)；（3）概率密度f(x)。

17

x?00?x?1，求(1)系数A；（2）

x?1

?Asinx,x?[0,?]22. 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求（1）常数A；（2）分布函数F(x)；

0,其它?（3）P?3????X???。

4??2

23. 某车间的10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。（1）求同时停车数目X的概率分布；（2）假设同时停车的机器超过两部就会影响车间的生产，求车间的生产正常运行的概率。

24. 为保证设备正常运转，必须配备一定数量的维修人员，现有同类设备180台，且各台工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理，问应配多少名维修人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99。

25. 设X~N(?1,16)求（1）P(X?2.44)；（2）P(X??1.5)；（3）P(X??2.8)；（4）P(X?4)；（5）P(X?1?1)；（6）P(?5?X?2)。

18

?1000?,x?100026. 某种元件的寿命X（小时）的概率密度为f(x)??x2，求5个元件在使用1500小

??0,x?1000时后，恰有2个元件失效的概率。

29. 设X~N(0,1)，求下列Y的概率密度函数：（1）Y?X2；（2）Y?e

?X

?1?1??,x?1,31．设随机变量X的概率密度为fX(x)??x2，（1）求X的分布FX(x)；（2）求P??X?3?；

?2???0,x?1.（3）令Y=2X，求Y的密度fY(y)。

19

32．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布N（72，?2），且96分以上的考生占考生总数的2.3%. 试求考生的数学成绩在60~84分之间的概率。（已知?0(1)?0.8413,?0(2)?0.977）

34．设有10件产品，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，取出的产品不放回，设X为直至取得正品为止所需抽取的次数，求X的分布律。

35．某气象站天气预报的准确率为0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p2 。

36．某地区年降雨量X（单位：mm）服从正态分布N（1000，1002），设各年降雨量相互独立，求从今年起连续10年内有9年降雨量不超过1250mm，而有一年降雨量超过1250mm的概率。（取小数四位，Φ(2.5)=0.9938，Φ(1.96)=0.9750）。

38.设离散型随机变量的分布列为

X -1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.3 0.4 求（1）X的分布函数F(x)；（2）P(?0.5?X?1.8)（3）DY。

20

?ax?39. 设随机变量X的密度函数为f(x)??bx?c?0?a,b,c。

0?x?232?x?4，EX?2，P(1?X?3)?，求

4其它?1?40. 设随机变量X~U[?1,2]，随机变量Y??0??1?

X?0X?0，求Y的分布律及DY。 X?0x?0,?0,?x0?x?8, 求：41．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??（1）X的概率密度f(x)；（2）8?x?8.?1,D(X)??（3）P?X?E(X)?E(X),D(X)；?。

8??

42．已知随机变量X，Y的相关系数为?XY，若U=aX+b, V=cY+d, 其中ac>0. 试求U，V的相关系数?UV。

21

43．设离散型随机变量X的分布律如下，且已知E（X）=0.3，试求：（1）p1,p2; （2）D（-3X+2）。

X 0 1

P p1 p2

45．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

?ax?b,46．设随机变量X的概率密度为f(x)???0,0?x?1,其他，，且E(X)=

7.求：(1)常数a,b；(2)D(X)。 12

47．设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975.

(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律； (3)求E(Y)。

49. 设X~B(10,0.2)，Y~N(1,2)，（1）已知X,Y相互独立，求E(2X?3XY?4X)；（2）已知?XY?0.3，求D(X?Y)。

22

22

50.设X服从普阿松分布，已知P?X?1??P?X?2?，求EX,DX。

51. 某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为

2，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子3弹用尽。求（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX,DX。

52. 设X~N(3,2)，试求常数C，使得P(X?C)?P(X?C)。

53. 设随机变量X~N(?,?)(??0)，且二次方程y?4y?X?0无实根的概率为

2221，求? 2

54. 某机器一天内发生故障的概率为0.2，一旦发生故障则全天停工，一周五个工作日内，如不发生故障可获利10万元，如只发生一次故障则可获利5万元，如果发生2次故障则不获利也不亏损，如发生3次或3次以上故障则亏损2万元。问一周内期望获利数为多少。

23

55. 某市的人口统计资料表明，该市一位40岁的健康者，在5年之内活着或自杀死亡的概率为0.998，在5年之内非自杀死亡的概率为0.002。保险公司开办5年人寿保险，参加者需交保险费100元，若5年之内非自杀死亡，则公司赔偿b元（b?100）。b应如何定才能使公司期望获益？

56. 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X（单位：吨），X~U[2000,4000]，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元。问应组织多少货源，才能使国家收益最大？

x?1?cos,0?x??57. 设随机变量X的密度为f(x)??2，对X独立地重复观察4次，用Y表示观察2?0,其它?值大于

60. 设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX?EY?0,EX

x?1????，63．设总体X服从指数分布，即密度函数p(x,?)???e,x?0，其中??0，求?的矩法估计???0,x?02?2的次数，求EY。 3?EY2?2，求E(X?Y)2

24

并说明它是否是?的无偏估计。

64. 总体X~U[0,?]，求?的矩估计和极大似然估计。

65. 总体X~U[?,2?]，求?的矩估计和极大似然估计。

??e??x,x?066. 设总体X的概率密度为f(x;?)??，X1,X2,…,Xn为样本，求参数?的矩估计和

?0,x?0极大似然估计。

1??1??,x?167.设总体X的分布函数为F(x;?)??，其中??1为未知参数，X1,X2,…,Xn为样本，x?x?1?0,求?的矩估计和极大似然估计。

25

??e??xx?068．设总体X服从指数分布，其概率密度为f(x,?)=?，其中??0为未知参数，x1, x2,…,xn

x?0?0为样本，求?的极大似然估计。

?1?x?e?,x?0,69．设总体X的概率密度为f(x,?)???其中??0，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本.

?0,x?0,?^（1）求E(X);（2）求未知参数?的矩估计?。

70. 某药品每片中有效成分含量X（单位：mg）服从正态分布N(?,0.3)。现从该药品中任意抽取8片进行检验，测得其有效成分含量为

26.2,24.1,26.3,25.7,27.0,25.1,26.8,25.6

分别计算该药品有效成分含量均值?的置信度为0.9及0.95的置信区间。（x?25.85）

71. 已知某市新生婴儿体重X（单位：kg）服从正态分布N(?,?)。其中?,?未知，试用该市新生婴儿体重的如下样本

3.5,2.9,3.1,4.2,2.8,3.2 求出该市新生婴儿平均体重?的置信度为0.95的置信区间。

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22

72. 某公司欲估计自己生产的电池寿命，现从其产品中随机抽取50只电池做试验，得X?2.266（单位：100小时），S?1.935，求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为95%的置信区间。

73. 自动包装机包装某食品，每袋净重X~N(?,?)。现随机抽取10袋，测得每袋净重xi（克），（i?1,2…，10），计算得

2?xi?110i?5020，?xi2?2520420，若?未知，求?2的置信度为95%的置信

i?110区间，求?的置信度为95%的置信区间。

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