2012年陕西高考试题（文数，word解析版）

2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

数学（文科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．集合M?{x|lgx?0}，N?{x|x2?4}，则M?N?（ ）

，2) A．(1，2) B．[1，2] C．(1，2] D．[1【解析】M?xx?1，N?x?2?x?2，则M?N?x1?x?2，故选C． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．y?x?1

B．y??x

3??????

C．y?

1

x

D．y?x|x|

【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D，故选D．

3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（ ）

A．46，45，56 C．47，45，56

B．46，45，53 D．45，47，53

【解析】根据图形，知共有30个数据，所以中位数是（45+47）÷2=46，众数是45，极差是 68-12=56．故选A．

4．设a,b?R，i是虚数单位，则“ab?0”是“复数a?A．充分不必要条件 C．充分必要条件

b为纯虚数”的（ ） iB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】“ab?0”则a?0或b?0，“复数a?b为纯虚数”则a?0且b?0，则 i “ab?0”是“复数a?b为纯虚数”的必要不充分条件，故选B． i5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）

N MMB．q?

NNC．q?

M?NMD．q?

M?NA．q?

【解析】根据程序框图，知M表示及格人数，N表示不及格人数．再由及格率的定义，得 及格率q?及格人数及格人数M．故选D． ==总人数及格人数+不及格人数M?N6．已知圆C:x2?y2?4x?0，l过点P(3,0)的直线，则（ ）

A．l与C相交 C．l与C相离

B．l与C相切 D．以上三个选项均有可能

【解析】点P(3,0)在圆内，则l必与C相交，故选A．

??cos?7．设向量a=（1，）与b=（-1， 2cos?）垂直，则cos2?等于（ ） 12 B． C．0 D．-1

22????2【解析】∵向量a与b垂直，∴a?b?0，即1???1??cos??2cos??0，∴2cos??1．

A．

∴cos2??2cos??1?0．故选C．

8．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）

2

【解析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线AD1可见，所以用实线表示；而割线B1C

不可见，所以用虚线表示．故选B． 9．设函数f?x??A．x?2?lnx，则（ ） xB．x?1为f?x?的极大值点 21为f?x?的极小值点 2C．x?2为f?x?的极大值点 【解析】f'?x???D．x?2为 f?x?的极小值点

21x?2??2，令f'?x??0，则x?2． 2xxx21x?2?0； 当x?2时，f'?x???2??2xxx21x?2?0． 当x?2时，f'?x???2??xxx2 即当x?2时，f?x?是单调递减的；当x?2时，f?x?是单调递增的． 所以x?2是f?x?的极小值点．故选D．

10．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a?b），其全程的平均时速为v，则（ ）

A．a?v?ab C．ab?v?

B．v?ab D．v?a?b 2

a?b 2【解析】设从甲地到乙地的全程为s，则v?2sss?ab?2ab． a?b2ab2ab2ab， ??2ba?b2ab ∵0?a?b，∴a?b?2b，a?b?2ab，所以 则a?2ab?ab，即a?v?ab．故选A． a?b二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

?x，x?0，?11．设函数f?x????1?x则f?f??4??= ．

???，x?0，??2?【答案】4

?1?【解析】根据题意，知f??4?????16，f?16??16?4．所以f?f??4???4．

?2??4

12．观察下列不等式

13?, 2221151?2?3?，

23311151?2?2?2?， 23431?……[来源:Z．xx．k．Com]

照此规律，第五个不等式为____________________． ．．．【答案】1?1111111????? 223242526261， 【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=1?1?1???22232?n?1? 右边=

11111112?n?1??1，所以第五个不等式为1?2?2?2?2?2?．

234566n?113．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a?2，B??6，

c?23，则b? ．

【答案】2

【解析】根据余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB?22?23 所以b?2．

14．右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0）， 设l与抛物线的交点为A、B，根据题意，知A（-2，-2），B（2，-2）． 设抛物线的解析式为y?ax， 则有?2?a???2?，∴a??．

2??2?2?2?23?3?4， 22121 ∴抛物线的解析式为y??x2．

2 水位下降1米，则y?-3，此时有x?6或x??6． ∴此时水面宽为26米．

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）若存在实数x使|x?a|?|x?1|?3成立，则实数a的取值范是 ． 【答案】?2?a?4

【解析】|x?a|?|x?1|?3表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即a?1?3， 则?2?a?4．

B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为

FD?B垂足为F，若AB?6，AE?1，则DE，EF?DB，? ．

【答案】5

【解析】∵AB?6，则圆的半径为3，连接OD，则OD?3． 又AE?1，则OE?2，

[来源学+科+网] 在直角三角形OED中，ED?OD?OE?5，

根据射影定理，在直角三角形EDB中，DF?DB?ED2?5．

C．（坐标系与参数方程）直线2?cos??1与圆??2cos?相交的弦长为 ．

222【答案】3

【解析】2?cos??1是过点?,0?且垂直于极轴的直线，

2?1??2??1? ??2cos?是以?1,0?为圆心，1为半径的圆，则弦长=21????3．

?2?三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．已知等比数列?an?的公比为q??（Ⅰ）若a3?1． 21，求数列?an?的前n项和； 4（Ⅱ）证明：对任意k?N?，ak，ak?2，ak?1成等差数列．

11及q??，得a1?1，

241n??1n?11??1?（?）2?(?)?2??2 所以数列?a1?的前n项和Sn?． ?131?(?)2 【解析】（Ⅰ）由a3?a1q?2

（Ⅱ）证明：对任意k?N?，

2ak?2?(ak?ak?1)?2a1qk?1?(a1qk?1?a1qk)?a1qk?1(2q2?q?1)， 由q??1得2q2?q?1=0，故2ak?2?(ak?ak?1)=0． 2 所以，对任意k?N?，ak，ak?2，ak?1成等差数列． 17．（本小题满分12分）

函数f(x)?Asin(?x?间的距离为

?6)?1（A?0，??0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之

?． 2（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设??(0，)，则f()?2，求?的值．

??22【解析】（Ⅰ）∵函数f?x?的最大值是3，∴A?1?3，即A?2．

?，∴最小正周期T??，∴??2． 2? 故函数f?x?的解析式为f(x)?2sin(2x?)?1．

6???1 （Ⅱ）∵f()?2sin(??)?1?2，即sin(??)?，

2662??????? ∵0???，∴?????，∴???，故??．

2663663 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为18．（本小题满分12分）

直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AA1，?CAB?（Ⅰ）证明CB1?BA1；

（Ⅱ）已知AB?2，BC?5，求三棱锥C1?ABA1的体积． 【解析】（Ⅰ）如图，连结AB1,

?ABC?A1B1C1是直三棱柱，?CAB=

?．

2?2，

，来源， ?AC?平面ABB1A1,故AC?BA1． 又?AB?AA1，?四边形ABB1A1是正方形，

?BA1?AB1，又CA?AB1?A， ?BA1?平面CAB1，故CB1?BA1．

（Ⅱ）?AB?AA1?2，BC?5，?AC?AC11?1． 由（Ⅰ）知，AC11?平面ABA1， ?VC1?ABA1?112?2?1?S△ABA1·=． AC1133319．（本小题满分12分）

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 甲品牌产品寿命小于200小时的概率为

5?201?，用频率估计概率，所以， 10041． 4 （Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品

7515?， 1452915 用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为．

29 是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是20．（本小题满分13分）

x2?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 已知椭圆C1:4（Ⅰ）求椭圆C2的方程；

????????（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程．

y2x2?1?a?2?，【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为2? a4a2?433a?4．? 其离心率为2，故a，则 2y2x2．

故椭圆C2的方程为16?4?1 （Ⅱ）解法一：A，B两点的坐标分别为?xA，yA?，?xB，yB?，

???????? 由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，

因此可设直线AB的方程为y?kx．

x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA 将y?kx代入， 1?4k24??y2x2162?+?1中，得?4?k2?x2?16，所以xB 将y?kx代入， 24?k164????????1622 又由AB?2OA，得xB，即?4xA4?k2?16．

1?4k2

解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x． 解法二：A，B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?，

由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y?kx．

x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA 将y?kx代入， 1?4k24??????????2 又由AB?2OA，得xB?2B2B16k2162，yB?， 221?4k1?4ky2x24?k2??1?1，即4?k2?1?4k2， 将x,y代入2中，得1?4k164 解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x 21．（本小题满分14分）

设函数fn(x)?x?bx?cn(n?N?,b,c?R)

（Ⅰ）设n?2，b?1,?1?c??1，证明：fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点；

?2?（Ⅱ）设n为偶数，f(?1)?1，f(1)?1，求b?3cb+3c的最小值和最大值； （Ⅲ）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有|f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当b?1，c??1，n?2时，fn(x)?xn?x?1 ?fn()fn(1)?(12111?)?1?0，?f(x)在（，1）内存在零点． nn222'n?1 又当x?(,1)时，fn(x)?nx ?fn(x)在（12?1?0，

11，1）上是单调递增的，?fn(x)在（，1）内存在唯一零点． 22???1?f??1??1，?0?b?c?2， （Ⅱ）解法一：由题意，知?即?

?1?f1?1，?2?b?c?0.????? 由图像，知b?3c在点?0，?2?取到最小值-6，在点?0，0?取到最大值0． ∴b?3c的最小值是-6，最大值是0．

解法二：由题意，知?1?f?1??1?b?c?1，即?2?b?c?0； ① ?1?f??1??1?b?c?1，即?2??b?c?0． ② ①×2+②，得?6?2?b?c????b?c??b?3c?0， 当b?0，c??2时，b?3c??6；当b?c?0，b?3c?0． ∴b?3c的最小值是-6，最大值是0．

??f??1??1?b?c， 解法三：由题意，知?

f1?1?b?c.????f?1??f??1?f?1??f??1??2 解得b?，b?．

22 ∴b?3c?2f?1??f??1??3．

又∵?1?f??1??1，?1?f?1??1，∴?6?b?3c?0． 当b?0，c??2时，b?3c??6；当b?c?0，b?3c?0．

∴b?3c的最小值是-6，最大值是0． （2）当n?2时，f2(x)?x2?bx?c．

对任意x1,x2?[?1,1]都有f2(x1)?f2(x2)?4等价于f2(x)在[?1,1]上的最大值 与最小值之差M?4,据此分类讨论如下： （ⅰ）当b?1，即b?2时，M?f2(1)?f2(?1)?2b?4，与题设矛盾． 2b?0，即0?b?2时， 2bb2 M?f2(1)?f2(?)?(?1)?4恒成立．

22b，即-2?b?0时， （ⅲ）当0?-?12bb2 M?f2(-1)?f2(?)?(-1)?4恒成立．

22 （ⅱ）当-1?- 综上可知，-2?b?2．

注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下：

用max{a，b}表示a，b中的较大者，当?1??b?1，即?2?b?2时， 2bM?max{f2(1)，f2(?1)，f2(?)}2f(?1)?f2(1)f2(?1)?f2(1)b?2??f2(?)222 2b?1?c?b?(??c)4b?(1?)2?4恒成立.2

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