2022年中考数学考点总动员第17讲特殊三角形(含解析)

第17讲特殊三角形

【考点梳理】

1．等腰三角形

(1)性质：

等腰三角形的两底角相等，两腰相等；

等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；

等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．

(2)判定：

有两角相等的三角形是等腰三角形；

有_两边相等的三角形是等腰三角形．

2．等边三角形

(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；

等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．

(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

3．直角三角形

(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.

(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．

4．等腰直角三角形

(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.

(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.

【高频考点】

考点1：等腰三角形的性质及相关计算

【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．

(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；

(2)连接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.若DE∥BC时，如图2.

①∠CDB ＝120°；

②求证：△ADE 为等腰三角形；

③在点D 的运动过程中，△ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．

【解答】 解：(1)证明：∵CA ＝CB ，CD 是△ABC 的中线，∴AD ＝BD.

∵BF ∥AC ，∴∠A ＝∠FBD.

∵∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD.∴AC ＝BF.

(2)②证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B.

∵DE ∥BC ，∴∠EDA ＝∠B.

∴∠A ＝∠EDA ，∴△ADE 为等腰三角形．

③△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：

Ⅰ.当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°.

∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ，

∴∠AED ＝60°.

Ⅱ.当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°，

∴∠CED ＝180°－∠CDE 2

＝75°.∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°. Ⅲ.当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB ＝120°，

∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．

综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.

归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系．

考点2： 等边三角形的性质及相关计算

【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC 和等边△ADP 中，AB ＝2，点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合)，点D 在点P 的左侧，连接BD ，ED.

(1)求证：BD ＝CP ；

(2)当点P 与点E 重合时，延长CE 交BD 于点F ，请你在图2中作出图形，并求出BF 的长；

(3)直接写出线段DE 长度的最小值．

【解析】：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，

∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.

∵△ADP 是等边三角形，

∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60°.

∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAP.

∴∠DAB ＝∠CAP.

∴△DAB ≌△PAC(SAS)．

∴BD ＝CP.

(2)如图2，∵△ADP 是等边三角形，

∴当点P 与点E 重合时，有AE ＝DE ，∠AED ＝60°.

∵CE ⊥AB ，

∴AE ＝BE ＝DE ，∠BCE ＝12

∠ACB ＝30°. ∴∠EBD ＝30°.∴∠DBC ＝90°.

在Rt △BCF 中，∵BC ＝2，tan ∠BCE ＝BF BC

， ∴BF ＝2tan30°＝233.

(3)DE 长度的最小值是12

，理由：如图3，由(1)知：△DAB ≌△PAC ，∴取AC 的中点F ，连接PF ，则PF ＝DE ，∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值，过点F 作FG ⊥CE 于点G ，垂足G 就是PF 最小时点P 的位置，此

时PF ＝12，故DE 长度的最小值是12.

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