高等数学 微分方程

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C 3、方程满足初始条件：y?=e2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）

1e2x?1A. e=e+1 B. y?ln C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C

22y

2x

4、已知y=y(x)在任一点x处的增量?y?高阶无穷小，y(0)=?,则y(1)=( )

y?x??，且当?x?0时，?是?x21?x?4

A. 2? B. ? C. e D. ?e?5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=

4?得：C?2特解为：2cosy=cosx 42dx22?4解：分离变量为tanydy=tanxdx，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC，cosy=ccosx代入初始条件：y|x=0=

6、求微分方程dy?cos1?x?y??cosx?y满足y(0)=?的特解。

yyx解：由dy?cosx?y?cosx?y?0得：dy??sinx，积分得：lncsc?cot?2cos?C

dx222x22siny22代入初始条件：y(0)=?，得C= -2 7、求微分方程yy?e/2x?y2?0满足y(0)=0的特解

解: 分离变量得?ye?ydy?e2xdx

2121两边积分?e?yd(?y2)??e2xd(2x)，得e?y?e2x?C，将y(0)=0代入得C=0

222特解：y2??2x

§3 齐次方程

1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.y??x?y, y|x=1=2，则特解为（ ）

yx A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+2

xx??x?y3.?1?2e?dx?2ey?1??dy?0的通解为（ ?????y???? ）

xy A. x=2y+C B. xye?2 C.x?2ye?C D.以上都不对 4、求y?x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。

y?y解：y??????,?x?x2xy2xdudxy，则解得： y??令?u21?xu(u?2)xx5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

22解：dy?x2?2xy?y2dxy?2xy?x,du?u?u?u?1y ?令u?，可得x2dxu?2u?1x32解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)，即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y

7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y?(X-x)

x?xdx又x2?y2?x?y，得??1??,???y?ydyy???2令u?x y整理得：?ydu?1?u2，解得：lnu?1?u2?lny?C，得通解dy??x?x2?y2?C

§4 一阶线性微分方程

1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ） A.

y?1?13? ?y?C?y?1?3?2 B.

x?1?131?13???y?C?；C. y?2?y?C? y?1?3x?1?3??2

D.

x?1?13?

?y?y?1?3?22、微分方程xy?+2y=xlnx满足y(1)=?A. y?xlnx?x， B. 1319y?1的解为（ ） 911 xlnx?x，39C. x2y?C?1x3lnx，. y?1lnx?1x

3393、y?+y=y2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Cex-sinx B.1=Cex-sinx C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C y4、求 通解 x解：xy?1dy3?y?x2.3y dx22?1323dz3dy33?z?x2，dz?1z?2x2 ?y?x2，令z?y3得x2dx2dxx3dx2122?xdx?，y3?1?2?1x3?C?，即3y2?1x2?C?xdx?????z?e?C??3xe?6xx?34???2，

5、求 通解 xdy-ydx=y2eydy

11???dy???dy?dx1解：整理得?x??yey，x?ey?C???yeyeydy???yey?C

??dyy??3x?t?9、已知连续函数f(x)满足方程f(x)??f??dt?e2x，求f(x)

0?3?解：原方程两边对x求导数f?(x)=3f(x)+2e2x

f?(x)-3f(x)=2e2x 解得：f(x)=Ce3x-2e2x 又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e3x-2e2x

2、数?(x)具有二阶连续导数，且?(0)=??(0)=0，并已知y?(x)dx+(sinx-??(x))dy=0是一个全微分方程，则?(x)=( ) A. C.x2ex D.xsinx?C1cosx?C2sinx

22xsinx B.x3?x 223、别下列方程的类型并求其通解 （1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0

解：是全微分方程u(x,y)??xP(x,0)dx??yQ(x,y)dy?a2x?x2y?xy2?1y3，

003通解为: a2x?x2y?xy2?1y3?C

3（2）(1+e2?)d?+2?e2?d?=0

解：是全微分方程d(?+?e2?)=0，通解为?+?e2?=C

4、f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,?yf(x)dx?(f(x)?x2)dy?0， 求?xf(x)dx

L01解：对任意闭曲线L有?yf(x)dx?(f(x)?x2)dx?0，知?Q??P，由此得f?(x)-2x=f(x)

L?x?y解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-2，

?xf(x)dx?014 3 §6 可降阶的高阶微分方程

1、yy?+y?2=0满足初始条件y|x=0=1，y?|x=0=

1的特解为（ ） 2 A. y2=x+C B.y?x?1 C. y?x?1?C D. y2=C1x+C2 2、方程xy?=y?lny?的通解为（ ）

A.y?1eCx?C2 B.y?C1ecx?C2 ， C.y?C1eC1x?C2x D.以上都不

11C1对

3、 (1) 求y?=y?+x的通解

x2解：令y?=p得p?-p=x p=-x-1+C1e y?C1e??x?C2

2x

x(2) 求xy?+y?=0的通解

解：令y?=p，则xp?+p=0，dp??dx 得 p?C1 y=C1lnx+C2

pxx

§7 高阶线性微分方程

1、证明：y?C1ex?C2e2x?15xe是方程y?-3y?+2y=e5x的通解 122、已知二阶线性非齐次方程y?+p(x)y?+q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y?(0)=3的特解。

解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y?+p(x)y?+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y?+p(x)y?+q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：ex-x,e2x-x，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).

非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).由y(0)=1，y?(0)=3代入得：C1= -1, C2=2，所以特解为y=2e2x-ex

§8 常系数齐次线性微分方程

1、设y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该方程为（ ）

A.y?+2y?+y=0 B.y?-2y?+2y=0 C.y?-2y?=0 D.y?+y=0 2、设y1=excos2x,y2=exsin2x 都是方程y?+py?+qy=0的解，则（ ） A. p=2,q=5, B.p=-2,q=5 C.p=-3,q=2 D.p=2,q=2 3、设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2= -1,r3,4=?i，则此方程通解为 （ ） A .y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinx B.y=C1e-x+C2cosx+C3sinx C. y=C1e-x+C2cosx+C3xsinx D.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx 4、求下列微分方程的通解

(1) y?-4y?+13y=0。解：r2-4r+13=0 ? r1,2=2?3i，y=e2x(C1cos3x+C2sin3x) (2) y?+25y=0 解：r2+25=0 ? r=?5i， y=C1cos5x+C2sin5x

22-t sds(3) d2?2?s?0。解：r+2r+1=0 ? r1,2=-1，y=(C1+C2t)e

dtdt(4) y(4)-2y??+5y?=0。 解：r4-2r3+5r2=0 ? r1,2=0,r3,4=1?2i，y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)

5、求下列初值问题的特解 y?+(?1+?2)y?+?1?2y=0 (?1??2且为实数)满足y(0)=0,y?(0)=1

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