第二章课后答案【khdaw_lxywyl】

中山大学 数学课后答案

习 题 二

1.列数列{xn}n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限： （1）xn

1a

( 1)

x 3 ; （2）(a 1) ;n1

n

1n

n

（3）xn 1g; （4）xn ( 1)n(1 ;

11 1 3 5 (2n 1)2（7）lim; （8）lim.

n n 2 4 6 2n1 22

1

x

解：1）收敛.因为当n 时,an (a 1) ;所以xn 0 ;所以lim xn limx

3)发散的.因为当n 时,4)因为xn

1 n为偶数 1 n为奇数

11

0;所以xn 1g ; nn

n

所以x是发散的;

5)收敛的.因为当n 时, 6)收敛的.当n 时,

11

0;所以xn 3 ( 1)n 3;即limxn 3;

x nn

n(1 2n 1)

1 3 5 (2n 1)n7)因为;

2 4 6 2n1 n

2

所以lim

x

n

1; 1 n

所以是收敛的;

ww

所以lim133

;

x 21 2 12

111 1 28)因为 n1 1 (221 2

.k

1

1

w

hd

11

0;sec 1;即limxn 1;

x nn

13

21 2aw

3 n为偶数

2)因为xn xn 1

n为奇数 3

所以x是发散的;

n

.com

1a 0 .

（5）xn 3 ( 1)n; （6）xn sec;

1n1n

中山大学 数学课后答案

所以是收敛的;

2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.

解：数列为1,, 2, , 所以通项为an

12

1122

12

n-1

;

x

3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：

x 0

x

（1）limx ( 0) ; （2）limx ( 0) ;

（3）limax(a 0 , 1) ; （4）limax(a 0 , 1) ;

x 0

x

（5）limlogax(a 0 , 1) ; （6）limarccosx ;

x 1

x 1

（7）limarctanx ; （8）limcosx .

x 1

x

解：1）当x 0时,limxu(u 0) 0 ;

x

2）limxu(u 0) lim

x

1x u

x

(u 0) 0 ;

x

4） 0

0 a 1 .

limax(a 0 , a 1) x 1 a 1 .

1 a 1 ;

x 1

6)limarccosx 所以cos 1 ;

x 1

w

（1）f(x)

xx

w

7)limarctanx .

x 1

8)limcosx的极限不存在

x

4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：

, x 0 ; （2）f(x)

13x, x

.k

4

0 ;

5)limlogax(a 0 , a 1) 0

w

hd

a 1 ;

3）limax(a 0 , a 1) 1

所以极限不存在

aw

.com

;所以liman 0;

中山大学 数学课后答案

（3）f(x) arctan, x 0 ;

1

, x 1

（4）f(x) 1g(1 x) , x 1 .

arcsin(x 1) , 1 x 2

1x

解：1)lim 1f(x) 1 lim f(x) 1 ;所以该点的极限不存在

x 0

x 0

x 0x 0

3)lim 1f(x) -x 0

2

limf(x)

x 0

2

;所以该点的极限不存在

4)lim f(x)

x 1

1

limf(x) 0 ; 所以该点的极限不存在 1g2x 1

5．用 或 N的方法陈述下列极限：

x a

x a

（1）lim f(x) A ; （2）lim f(x) A ;

（3）limf(x) A ; （4）limf(x) A .

x

x

解：1)当0 x a 时 f(x) A

2)当0 a-x 时 f(x) A 3)当x M时 f(x) A 4)当x -M时 f(x) A

6．用极限的严格定义（即 或 N的方法）证明下列极限： （1）lim

hd

1

.k

1

1

n n

0 ; （2）lim

（3）lim x 1 0 ; （4）lim10x 0 .

x 1

x

ww

解：1)对于任意给定的 ,要使 成立,只要使n

所以对于任意给定的 ,存在N

5 n23n 1

4

当n N时恒有

2)对于任意给定的 ,要使

1 3 1

成立 成立即lim n

x xof(x)39 w

aw

1

;

n 3n 13

2

5 n2

即n

1

1

成立

1

n

0 成立,故lim

.com

x 2)lim 1f(x) 0 lim f(x) ;所以该点的极限不存在

0

中山大学 数学课后答案

所以对于正数 ,存在N

16-3 9 成立

当n N时恒有

5 n2

2

5 n23n 1

1 3

1

成立 3

所以lim

x 3n 1

恒有f(x) 0 成立 故lim x 1 0

x 1

4)对于任意给定的正数 要使x 0 成立即x 1g 成立 所以存在X 1g .当x X时恒有x 1g 成立 即lim10x 0 .

x

（1）lim

(x h)3 x3xn 1

; （2）lim;

h 0x 1x 1h

1

(arctanx 2x) ;

（3）lim

x

（4）lim

（5）lim

x21 x2

hd

x x

x 0

; （6）lim

（7）lim

2x 1 3

x 4

x 2 2

; （8）lim(x2 x 1 x2 x 3) .

解：1）lim

2)lim

(x h)3 h3x3 3x2h 3xh2 h3 x3 lim lim(3x2 3xh h2) 3x2

h 0h 0h 0hh

w

4)lim(

x 1

w

5)lim

x2

x 0

xn 1

n

x 1x 1

1

3）lim arctanx 2x lim(arctanx 1) 1 x 2 x

1(x 1)(x 1)x 1x

2) lim lim

x 1x 1xx(x 1)x 1x x

w

1 x

.k

2

lim

x2(1 x2)

x

x 0

lim(1 x2) 2

x 0

aw

1 x

; x 1 x 1x x

x 32 x

;

7．求下列极限：

.com

3)由于f(x) 0 x 1所以对于任意给定的 0,存在 2当0 x 1 时

中山大学 数学课后答案

6)lim

x 32 x

x

1 x 9(2 x)( x 3)

(2 x)(x2 2x 4)(2 x)( x 3)

2 7)lim

x 1 3x 2 x 4

lim

(2x 1 3)(2x 1 3)x 2 2)(x 1 3)

2(x 4)x 2 2)(x 1 3)

x 4(

x 4(

lim

2(x 2 )(2x 1 3)

x 4

2 3

8)lim(x2 x 1 x2 x 3)

x

lim(

x

2x 4

x2 x 1 x2 x 3

2

lim(

x

1113

xxxx

8．求lim

5 4

n

n 1

5n 4n 1

n 5 3.

解：lim

n 5 314n

()4 1 lim

n 55 9(n5

1

.k

9．下列数列{xn}，当n 时是否是无穷小量？ （1）xn

10503

; （2）xn 1 ( 1)n

w

w

3)不是.

w

n

n

（3）xn n .

解：1)是无穷小量 因为limxn 0

2)是,因为limxn 0(n为奇数或者偶数)

10．当x 0时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？

hd

1;

aw

4) 1

.com

lim

中山大学 数学课后答案

（1）y 100x3 ; （2）y

110x;

（3）y log2(1 x) ; （4）y cot4x ; （5）y sec

解：1)是无穷小,因为limy 0

x 0

11

x ; （6）y sin.

xx 2

x 0

3)是无穷小量,因为limy 0

x 0

4)是无穷大量,因为limy

x 0

5)是无穷大量,因为limy

x 0

6)非大非小

11．已知lim

解：因为lim

2arctanx2x2

lim ,

x 0x 05x5x5

x x0

limf(x)f(x)x x0

存在 lim

x x0g(x)limg(x)

x x0

而limg(x) 0

x x0

所以limf(x) 0 ;

x x0

12．设lim

解：因为lim

w

w

w

所以a 1,b 2

x2 ax b

limx y 3

x 1x 1x 1

x2 ax b(x 1)(x 2)

所以

x 1x 1

x2 1

13．设lim ax b 0，求a，b . x x 1

.k

x2 ax b

3，求a，b.

x 1x 1

hd

aw

f(x)

存在，而limg(x) 0，证明limf(x) 0 .

x x0x x0g(x)

.c

om

2)是无穷大量,因为limy

中山大学 数学课后答案

解：lim(

x

x2 1 ax2 ax bx bx2 1

0 ax b) lim

x x 1x 1

所以即x2 1 ax2 ax bx b为一常数

所以a 1 b -1

14．当x 0时，下列变量中与3x2 x4相比为同阶无穷小的是（B）.

A．x B．x2 C．x3 D．x4

解：B． 因为lim

15．求lim 解：lim

3 9n

82

3

x2

x 03x x

lim

1x

x 03

1 3

9n2

8

n

.

5n n 2

1n 9

3

n

lim

5n n 2

n

16．设x a时f(x) ，g(x) ，则下列各式中成立的是（D）.

A．f(x) g(x) B．f(x) g(x) 0 C．

11

0 D． 0

f(x) g(x)f(x)

因为x a时f(x) ,g(x) ，所以

17．求下列极限 （1）lim

解：1)lim

(2x 1)10(3x 4)5

(2x 7)x

.k

(2x 7)

; （2）lim

hd

11

0， 0. f(x)g(x)

(2x 1)10(3x 4)5

(2x 7)x

解：D.

w

x

(2x 1)10(3x 4)5

lim

x

w

2)lim

x xx2 1 x

100 cosx) lim

(100 cosx)1

lim(100+cosx)=0=lim

x xx

w

18．求下列极限：

aw

x2 1 x

x x52 nn

210352

243

32

.com

(100 cosx) .

中山大学 数学课后答案

（1）lim（3）lim

sin2xx sinx

; （2）lim;

x 0sin3xx 0x sinx

2arctanx

; （4）lim nsin ;

x 0n 5xn

xsinx

; （6）lim;

x xx 0 cosx

cosx2tanx sinx

; （8）lim;

x 01 cosxx

（5）lim（7）lim（9）lim

x 0

解：1)lim

2x2sin2x

lim

x 0sin3xx 03x3

sinx

1

x sinx 0 2)lim lim

x 0x sinxx 01

x

3)lim

2arctanx2x2

lim

x 0x 05x5x5

sinn

4)lim(nsin lim

n

n

n

n limn

n n

5)lim

sinx(sinx)'cosx

lim lim 1

x xx ( x) ' x 1

x 0

cosx

x 0

7) 8)lim

tanx sinx(tanx sinx)'1

lim lim( cosx) 0

x 0x 0x 0cosxxx'

9)lim

10)lim

w

解：因为lim

x 1

w

w

19．设lim

x2 ax bsin(x 1)

x 1

x 1x所以x2 ax b (x 1)(x 5)

.k

sin(x 1) 5x 6

lim

3，求a，b .

x2 ax bsin(x 1)

lim

x2 ax b

3

x 1(x 1)(x 1)

x cosxx(1 cosx)

lim limcosx 1

x 0tanx sinxx 0x 0sinx(cosx

x 111

lim

x 1(x 1)(x 6)x 1x 17

hd

6)lim

x

lim

x

sin

2

lim

x 0

(x)'

(2sin2

aw

.com

sin(x 1)x xcosx

; （10）lim.

x 1x 5x 6x 0tanx sinx

中山大学 数学课后答案

所以a 4 . b -5

20．设xn

解：因为n

而limn

n

1n 11n2 11

22

1n 2

2

1n n

2

，用极限存在的夹逼准则求limxn .

n

xn n

1n2 n

n

1n n

2

1，limn 1

所以limxn 1

n

21．求下列极限：

3x

3 2 1

（1）lim 1 ; （2）lim(1 )3 ;

x x x x

（3）lim3 2x ; （4）lim(1 tanx)1 2cotx ;

x 0

x 0

x 1

1

2x 1 x

33

解：1)lim(1 3x lim[(1 3]9 e9 .

x x xx

x

x

2x

2 12 2

2)lim(1 3 lim[(1 2]3*(1 ) e3 .

x x xxx

3)lim 2x

x 0

312

2lim[(1 2x)x]3

x 0

4)lim(1 tanx)

x 0

1-2cotx

2x 1xxx

6)lim( lim(1 )

x 03x 1x 03x 1

w

=lim(1

x 0

=e .

x k

x x

2x

w

22．设lim

w

.k

1

1

2x 3x 12 5)lim( lim(1 x 2x 1x 2x 1

limxsin

x

hd

2

.e3

lim[(1 tanx)

x 0

2x 11

22x

1

tanx

1 e .

1

3x

1

3 3

x

2

，求k . x

aw

2

（5）lim

2x 3

x 2x 1

; （6）lim .

x 0 3x 1

] 2*(1 tanx) e-2 .

.com

x

n 1

中山大学 数学课后答案

解：因为limxsin

x

2

limxx

2sinx

2

x 2.

x

x k 2xk 2k

所以lim( lim(1 k e2k 2 .

x x xx

所以k n2 .

1

2

sinx1 2

, x 0 , xsin, x 0 ,

（1）f(x) （2）f(x) x x

1 , x 0 . 0 , x 0 ;

x 0

解：1)因为limf(x) 0，而f(0) 0.所以f(x)在定义域上是连续的。

2)因为limf(x)

x 0

1 , x 0

，而f(0) 1.所以f(x)在定义域上不连续.

1 , x0

（1）lim

ln(1 3x) tanx tanx; （2）lim;

x 0sin4xx sin2x

1

a x 1 sin()

（3）lim x ; （4）lim cos (a 0) ;

x x x x

（5）lim

x 1

3x 1 arccosxln(1 2x)

; （6）lim

hd

x 0

ln(ex ex)

2

(1 x)a (1 x)b

（7）lim; （8）lim(a , b 0) ;

x ln(1 4)x 0x

（9）lim

解：1)lim 2)lim

ln(1 3x)3x3

lim .

x 0sin4xx 04x4

w

x x

2tanx tanx tanx

lim

x xsin2x( tanx tanx)sin2x

lim

1

.k

x xcox

ln(1 x) ln(1 x)x2 1

; （10）lim.

xx 0x 1lnxe 1

x( tanx tanx)

w

1

1

2

1

w

3)lim

x

x 1sin()(x

=

1sin()

lim[1 ( )]x x

aw

x2

24．求下列极限：

tanx (x 2)

.com

arctan2x

;

23．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：

中山大学 数学课后答案

=lim[1 ( x

1x

1 x

=e 1

4)

x

lim(cos

2ax2a

lim(1 (cos 1))x

x xx

lim(1 )

x a2

2

x 2 2

1 a a

2

1 a

2x

2

x2

2 x

e5)lim

ln(ex ex)3 1 arccosx

x

2

x 1

ln(e1 e1)3 1 arccosl

1

=(1 ln2)

6)lim

arctan2xtan2x (x 2)cosx

lim

arctan20

1

2

x 0

x 0tan20 (0 2)cos0

= 7)lim

ln(1 2x)

lim

8

ln1*ln2xlnl*ln4x ln(1 4)

x

=lim = 8)lim

12

x*ln2

x 2x*ln2

(1 x)a (1 x)b

(a , b 0)

x 0x

=lim

[(1 x)a (1 x)b]'

x 0x'

=a b 9)lim

x2 1(x 1)

lim(x 1)

x 1lnxx 1ln[1 (x 1)]

w

=2

10)lim

ln(1 x) ln(1 x)

ex 1

x 0

w

=

w

.k

=1*(1 x)

lim

ln(1 x2)ex 1xa(1 x)a 1 b(1 x)b 1=lim x 01

hd

x 0

x2

= 1

aw

.com

中山大学 数学课后答案

25．设lim

解：因为lim[

x 0

f(x) 2sinx

limf(x) . 2，求x 0x 0 xx

f(x) 2sinxf(x) 3

] 2，所以可以推出lim[ 2 .

x 0xxx

所以f(x) 2x 3 . 所以limf(x) 3 .

x 0

26．对数列{xn}，设0 x1

0 xn

1

( n) .并求limxn .

n 2

1

，且xn 1 xn(1 2xn)(n 1, 2 , ) .证明：{xn}单调减少，且2

解：因为xn 1 xn 2xn2 0 .

所以xn 1 xn .所以数列{xn}单调减少。 当n 1时,x2 x1(1 2x1) 0,而且x2 .

假设当n k时也成立，即xk 1 xk(1 2xk) 0,且xk 1 .

12

12

那么当n k 1时，xk 2 xk 1(1 2xk 1) 0,所以0 xn x1即0 xn . 所以limxn 0 .

n

（1）当x

2

时，sin(2cosx)与sin x 是同阶无穷小；

2 32x . 4

（2）当x 0时， xsinx cosx~

（3）当x 1时ln(2 2x x2)~[arcsin(x 1)]2 .

解：1）lim

x

w

w

2

=limcos(cosx)

x

=2 .

所以当x

2

w

.k

sin(2cosx)sin(x

lim

2

2sin(cosx)cos(sinx)

cosxx

2

2

时sin(2cosx)与sin(x-是同阶无穷小；

2

hd

27．证明：

aw

12

.com

中山大学 数学课后答案

2)lim

x 0

xsinx cosx

2x4

1 xsinx cos2

x( xsinx cosx)4

1 cos

lim

x 0

lim(

x 0

2

x( xsinx cosx)4

xsinx

2

x( xsinx x)4

)

.

所以 xsinx xx2 . 3).lim 28．设

sinax

-π x 0

cosx

f(x) b , x 0

1

[lnx ln(x2 x)] , x 0 x

3

4

43

ln(2 2x x2)

x 1[arcsin(x-1)]

(x 1)2(x 1)

1 .所以ln(2 2x x2) [arcsin(x-1)]2

连续，求a，b . 解：因为lim

sinax cosx

x 0

lim

sinax cosx

b .

x 0sinx

而且limx-ln(x2 x)] lim[( ln(1 x)] -1 b .

x 0

1

x 0x

所以b 1 , a

. 2

29.对区间( 1 , 1)上的函数y x2下列结论错误的是（D）.

A．连续 B.有界

C.有最大值和最小值 D.有最大值无最小值

解:D.

因为函数y x2在区间( 1 , 1)上是连续的，所以Ymin y ymax .

w

w

w

30．证明下列方程在指定区间中必有根：

； （1）x2 x 1 0，区间（1，2）

（2）x 3x 1，区间（0，1）.

.k

hd

1x

aw

.com

中山大学 数学课后答案

解：1)设f(x) x3 x-1,那么f(x)在区间(1 , 2)上是连续的，所以 1 f(x) 5,即一定存在f(x) 0

的情况，所以x3 x-1 0,在区间(1 , 2)上一定有根.

2)设f(x) x 3x 1,那么f(x)在区间(0 , 1)上是连续的，所以 1 f(x) 2,即一定存在f(x) 0的情况，所以x 3x 1,在区间(0 , 1)上一定有根.

1

f( ) f(x1) f(x2) f(x3)]

3

解：设f(x)在区间(a , b)上的值在[c , d]上，即(c )f(x) d .则c f(x1) d,c f(x2) d,c f(x3) d.那么c f(x1) f(x2) f(x3)] d,则存在任意 (a , b), 使得f( ) [f(x1) f(x2) f(x3)] .

32．求下列函数的间断点，并说明其类型： （1）f(x)

x2 1x 3x 2

13

13

; （2）f(x)

1x2tan2x

（3）f(x) ; （4）y ( x ) .

lnx 1(e 1)sinx

解：1)f(x)

x2 1x 3x 2

点，x 2是无穷间断点； 2)f(x) 3)lim

babln(1 ax)

axln(1 ax)x , lim

x 0

去间断点；

lim

4）x 0(e 1)sinx

w

w

2 2 lim

x

w

.k

x2tan2x

0 , lim

x2tan2x

x x(e111

lim ,lim 0.所以x 2 , x 0是无穷间断点，x 1是可

x 0lnx 1x 2lnx 1x 1lnx 1

2 2x2tan2x

, lim

e 1x (e 1)sinxx2tan2x

, lim

e 1x (e 1)sinx

4

.

hd

1)sinx

(x 1)(x 1)(x 1)(x 1)

, limf(x) 2 , limf(x) .所以x 1可去间断

x 2(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)x 1

f(x) ab . (a , b 0),所以x 0是可去间断点；

xtan2x(ex 1)sinx

2

4

aw

b

ln(1 ax)x (a , b

.com

0) ;

31．设f(x)是区间(a , b)上的连续函数，a x1 x2 x3 b .证明至少有一ξ (a , b)，使得

中山大学 数学课后答案

所以x 0 , x 是可去间断点，x

4

是无穷间断点.

33．设函数y f(x)的图形如下图所示，说明有哪些间断点，属何种类型

.

（B）

1．单项选择题

（1）下列数列{xn}中收敛的是（B）. A．xn ( 1)nC．xn sin

1n 1

B．xn ( 1)n 1 nn

（2）lim xsin sinx （C）

x 0

1x1x

A．不存在 B．为0 C．为1 D．为2 （3）当x 0时下列变量中与x ln(1 x)是等阶无穷小量的是（C）.

（4）设f(x) g(x)( x (a , b)) , x0 (a , b) .且limf(x) A , limg(x) B，则必有（C）.

x x0

x x0

（5）若lim

16

x 0

.k

xf(2x)

（B）. 2 ,则lim

x 0f(3x)x

1

3

A．A B B．可能A B

C．当f(x) , g(x)均在x0点连续时A B

D．当f(x) , g(x)均在x0点连续时可能A B

hd

12

A．

x

B．x C．2x D．x2 2

aw

n

D．xn 3n 2

w

w

w

A． B． C． D． （6）下列命题中正确的是（A）.

A．若在点x0处f(x)连续而g(x)不连续，则f(x) g(x)在x0处必不连续 B．若在点x0处f(x)和g(x)均不连续，则f(x) g(x)在x0处必不连续 C．若在点x0处f(x)不连续，则f(x)在x0处不连续

D．若在点x0处f(x)连续，则f(x)必在x0处必连续

.com

43

中山大学 数学课后答案

（7）设f(x) 2x 3x 2，则当x 0时f(x)与x比是（B）.

A．等阶无穷小 B．同阶但非等价无穷小 C．更高阶无穷小 D．较低阶无穷小 （8）下列各式中正确的是（A）.

1 1

A．lim 1 1 B．lim 1 e

x x x 0 x 0 1 1

C．lim 1 e D．lim 1

x x x x

xx

x

x

e

（9）当x 0时，下列四个无穷小量中哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（D）.

A．x2 B．1 cosx C x2 1 D．x tanx （10）设对任意的x，总有 (x) f(x) g(x)，且

x

lim[g(x) (x)] 0

则limf(x)（D）.

x

A．limxn lim( 1)n ( 1)n

n

n

11

∵lim( 1)n不存在lim( 1)n 0 ∴xn没有极限,发散

n n nn

B．lim( 1)n 1 0

n

1

n

n

D．limxn ∴xn没有极限,发散

n

2．C．

x 0

lim(xsin

3．选C． ∵lim

ln(1 x)x ln(1 x)x ln(1 x)

1 lim 1 1 2 ∴lim 1

x 0x 0x 0xx2x

w

w

5．B．

x 0

w

x x0

∴2x与x ln(1 x)是等阶无穷小量

4．选C．

当f(x) , g(x)不均在x0点连续时，虽然f(x) g(x) ( x (a , b))，f(x0) g(x0)，但可使

x x0

limf(x0) limg(x0)

lim

f(2x)f(2x)2121

lim x 0x3233x

3

.k

111sinx sinx) limxsin lim 0 1 1

x 0xxxx 0x

hd

C．limxn

1 n 2k 1

k Z ∴xn没有极限,发散

0 n 2k

aw

A．存在且等于0 B．存在但不一定为0 C．一定不存在 D．不一定存在

解：1．选B

.com

中山大学 数学课后答案

6．A． B．f(x) 续

C．f(x)

1 x 0

在点0处不连续，但f(x)在0处连续

1 x 0

1 x 0

f(x)在0处连续，但在点0处不连续

1 x 0

1 x 0 1 x 0

, g(x) , 在点0处均不连续，但f(x) g(x)在0处连

1 x 0 1 x 0

D．反之f(x) 7．选B．

2

x

3x 2

lim2xln2 3xln3 ln2 ln3 x 0x

8．选A

1111

lim(1 x 1 lim(1 )x e lim(1 )x e lim(1 x e x x xxxxx 0x 0

C．lim(1 )x lim[(1 x] 1 e 1

x

x

1

x1x

D．lim(1 x lim[(1 )x] 1 e 1

x

x

1x1x

9．选D． ∵lim

1 cosxx 0

x 0

lim

x tanxx1 lim

x 0

2

cosx lim tanx 0

x 02x2x

1

∴x tanx是比其它三个更高阶的无穷小量 10．选D．

∵f(x)不一定连续， ∴如令f(x)

x

在，如令f(x) g(x)，则limf(x)存在

hd

aw

2k ] g(x) x [2k 、

(k z)，则limf(x)不存

xk 、 () x(22k)x

1 x2 11 x2 111

， lim limlim

x 0x 0 22 2x 0 x2 12x x 1 x

w

w

x, x 0 bx(1 )

（3）设f(x)在[a , b]上连续，且f(x) 0( x [a , b]) , f(a) 0，则f(b)的符号必为 .

（4）极限lim n 3n n n .

n

.c

om

中山大学 数学课后答案

sin . （5）lim

x 5x 3x

3x2 52

（6）lim[1 ln(1

x 0

1

x)]x

.

sinx

(cosx b) 5，则a ，b . （7）若limx

x 0e a

x

x 1

解：1．∵lim(f(x) ax) b ∴lim

x

x

f(x)(f(x) ax) ax

lim 0 a a x xx

1

sinax

a ,limf(x) lim(1 bx)x eb f(0) 3，f(x)在x 0处连续 2．∵lim f(x) lim

x 0 xx 0 x 0x 0

∴a eb 3 ∴a 3 , b ln3

3．若f(b)的符号为负， ∵f(x)在[a , b]上连续，f(a) 0，则必存在一点c [a , b],使

f(c) 0 ∵f(x) 0 ( x [a , b]) ∴f(b)的符号为正。

1

4．=lim[(sin

x x

x

122 cos]

x

=lim

n

n 3n n nn 3n n n

lim

n

3

n

5．lim

3x 52 2 lim 6 sin limx 5x 3xx 3xx 5

x22xx

6．e2 7．lim

sinx

.k

a

(cosx b) lim2x

x

x 0ex

x 0ex

8．limxsin

x

x 1

lim

x

w

3．设函数

w

w

问f(x)在x 1处是否连续？若不连续，修改函数在x 1处的定义使之连续.

hd

a

(1 b) 5则lim

x a

x 0ex

2

3 5

1

2x2

x 1

2

lncos(x 1)

, x 1

f(x) 1 sinx

2

1 , x 1

aw

4

1

4

2 2n

3 5

1

1，∴a 1 , b 4

2

lim 1 sin lim(1 2 1 x x x x

x

2 2

x

.com

（8）极限limxsin

2x

.

中山大学 数学课后答案

解：∵lim

lncos(x 1)1 sin

x 1

2

lim

sin(x 1)

x

x 1

2

cos(x 1)cos

2

limx

tan(x 1)2cos

x 12

x

lim

x 12cos

x 12

limx

1

x 1

4

sin

24

x

4

∴f(x)在x 1不连续，修改函数在x

w

w

w

.k

hd

aw

.com

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