云南省昆明市黄冈实验学校高三文科数学模拟测试卷一

昆明黄冈实验学校高三模拟测试卷一

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时l20分钟。 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题

(1)已知集合S={1，2}，T={1，3}，则ST=

(A){1} (B){2，3} (c){1，2，3} (D){1,2,1,3} (2)抛物线x2?2y的焦点坐标是

11(A) (，0) (B) (0，) (C) (1，0) (D) (0，1)

22(3)函数f(x)?tan(2x??)的最小正周期等于

??(A)2? (B) ? (C) (D)

24z12(4) 已知i是虚数单位，z1?2?2i,z2?1?3i，那么复数z?在复平面内对应的点位于

z2 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

1?x(5)如果函数y?在x=t时取得极小值，那么t=

3?x2 (A) 3 (B) 1 (C) -1 (D) -3 (6) 下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为l与3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于

(A)13343? (B) ? (C) ? (D) ?

2633S2012?S2009

32009(7)已知最是等比数列{an}的前行项和，al与a3的等差中项等于15．如果S4=120，那么

(A) 18 (B) 25 (C) 32 (D) 39

(8) 已知a?(0,1),b?(3,?4)，则向量a在向量b方向上的投影等于

44 (A)-4 (B)? (C) (D) 4

55x2y2??1的长轴的两个端点分别为A1、(9) 已知椭圆E: A2，点P在椭圆E上，如果?A1PA2的259面积等于9，那么PA1PA2?

1441448181(A) ? (B) (C) ? (D)

25252525(10) 已知?、?是两个互相垂直的平面，m、n是一对异面直线，下列四个结论：

[来源:Z.xx.k.Com][来源:Zxxk.Com]1

①m∥?、n??；②m??、n∥?；③m??、n??；

④m∥?、n∥?，且m与?的距离等于n与?的距离．其中是m?n的充分条件的为 (A)① (B) ② (C) ③ (D) ④

(11) 运行下图所示的程序，如果输出结果为sum=1320，那么判断框中应填 (A) i?9 (B) i?10 (C) i?9 (D) i?l0

(12) 某校对高三年级学生进行体检，并将高三男生的体重(豫)数据进行整理后分成五组，绘制成下图所示的频率分布直方图．如果规定，高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三个类型，超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦，已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0．25、0．2、0．1、0．05，第二小组的频数为400．若该校高三男生的体重没有55kg和65kg，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为 (A)1000，0.5 (B)800，0.5 (C)800，0.6 (D)1000，0.6

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

(13) 在一个水平放置的底面半径等于6的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径等于r的实心球，如果球完全浸没于水中且无水溢出，水面高度恰好上升，那么r= .

?logx,x?0,(14)已知f(x)??2计算f[f(1)]= 。

?3,x?0.1n?2an，那么a9= . (15) 设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1?,Sn?3335(16)如果直线ax?by?1?0被圆x2?y2?25截得的弦长等于8，那么2?2的最小值等于 ．

ab三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分l2分)

已知A、B、C是△ABC的三个内角，A、B、C对的边分别为a、b、c，设平面向量

2m?(cosB,?sinC),n?(cosC,sinB),mn?

3[来源学科网ZXXK]2

(I)求cosA的值；

(II)设a=3，△ABC的面积S=5，求b+c的值．

(18)(本小题满分12分)

盒子内装有4张卡片，上面分别写着数字l，1，2，2，每张卡片被取到的概率相等．先从盒子中随机任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中随机任取l张卡片，记下它上面的数字y． (I)求x+y=2的概率P；

318（x?y)t?在区间(2，4)内有且只有一个零点”为事件A，求A (II)设“函数f(t)?t2?55的概率以P（A）．

(19)(本小题满分12分) 如图，在空间几何体SABCD中，四边形ABCD为矩形，SD?AD，SD?AB，且AD=2, AB=4，SD=23．

(I)证明：平面SDB?平面ABCD；

(II)求SA与平面SDB所成角的正弦值．

(20)(本小题满分12分)

已知双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率

436e=，，直线3x?3y?5?0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．

32 (I)求双曲线S的方程。

(II)设经过点(-2，0)，斜率等于k的直线与双曲线S交于A、B两点，且以A、B、P(0，1)为顶点的?ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

(21)(本小题满分12分)

已知实数a是常数，f(x)?(x?a)2?7lnx?1．当x>1时，f(x)是增函数． (I)求a的取值范围；

11111（1+2+…+2)?(1???+)?ln(n?1)． (II)设n是正整数，证明：?72n2n

选考题(本小题满分10分) 。

请考生在第(22)、(23)、(24)三道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑。注意：所做题目必须与所涂题号一致。如果多做，则按所做的第一题计分。 (22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BD不经过点O，AC平分?BAD，经过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，且2

CD=AB·DF，证明： (I)△ABC∽△CDF;

(Ⅱ)EF是O的切线．

[来源学科网][来源学科网ZXXK]3

(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

?x?t2 在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(2，0)是两个定点，曲线C的参数方程为?（t

?y?2t为参数）．

(I)将曲线C的参数方程化为普通方程；

(II)以A(1，0)为极点，|AB|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

(24)(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已如实数a、b、c、d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5． 证明：

(I) (b?c?d)2≤2b2+3c2+6d2；

31(Ⅱ)|a?|?.

22一、试题分析

1.题型、题量

全卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为故选择题.第Ⅱ卷为非选择题.考试时间为120分钟，总分为150分.试题分选择题、填空题和解答题.其中，选择题有12个小题，每题5分，共计60分；填空题有4个小题，每题5分，共计20分；解答题有8个题，其中第17题～21题各12分，第22～24题（各10分）选答一题内容分别为选修4—1（几何选讲）、选修4—4（坐标系与参数方程）、4—5（不等式选讲），共计70分.全部试题都要求在答题卡上作答.题型、题量同教育部考试中心近几年命制的新高考数学文科卷相同. 2.试题考查内容

试题内容与考试要求都与2015年新课程高考《考试大纲》的要求相吻合，考查的知识内容与方法分布与高中数学新课标和考试大纲所规定的相同. 3.试题考查的知识和方法

题号 1 2 3 主要内容 集合 抛物线 三角函数 集合表示、并集 求抛物线的焦点坐标 求正切函数的最小正周期 4

知识与方法 4 5 6 7 8 9 10 11 12[来源:Zxxk.Com]复数 函数 三视图 数列 向量 解析几何 立体几何 算法 统计 立体几何 函数 数列 解析几何 三角函数 概率 立体几何 解析几何 函数 几何证明 坐标系 与参数方程 不等式 复数运算 导数研究函数极值 求体积、空间想像能力 等差、等比数列 向量的运算、向量投影概念及求法 椭圆的概念和性质，椭圆标准方程、 向量的数量积运算、运算能力 面面、线线位置关系、空间想像能力 选择结构、循环结构 频率分布 圆柱和球的几何性质及体积计算、等积思想 分段函数求值 递推数列、累乘消项法 直圆位置关系及计算、基本不等式、最值、运算能力 向量运算、解斜三角形、整体代换 随机事件、分布列、数学期望、分类思想 面面垂直、二面角、等体积法 双曲线、直线与双曲线位置关系、运算能力 导数研究函数性质、函数与不等式、数列累加相消法 圆、相似三角形、圆切线、证明方法、推理能力 参数方程化为普通方程、求曲线的极坐标方程 绝对值不等式、柯西不等式 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

二、各题质量分析

第1题：已知集合S??1,2?，T??1,3?，则ST?

（A）?1? （B）?2,3? （C）?1,2,3? （D）?1,2,1,3?

5

解：∵S??1,2?，T??1,3?，∴S故选（C）.

T??1，2,3?.

答题分析：这本是一道容易题，仅仅只涉及了集合的并运算.然而在抽样阅卷的过程中，发现选其他错误选项的考生大有人在，这一方面说明考生之间差异巨大，同时是否也暴露出我们的教学对后进生没有很好地照顾到，是否遗忘了后进生。 第2题：抛物线x2?2y的焦点坐标是

（A）(11,0) （B）(0,) （C）(1,0) （D）(0,1) 22解：∵x2?2y?2?1?y

∴x2?2y的焦点坐标是(0, 故选（B）.

答题分析：一些考生没有注意到抛物线的开口方向，错误地选择了A.关于抛物线的四种标准方程，务必注意它们的开口方向同方程结构的关系，关于这个知识点，历年来的各种大型考试多有所涉及，可出错的考生每次都不少！ 第3题：函数f(x)?tan(2x??)的最小正周期等于

（A）2? （B）? （C）解：∵f(x)?tan(2x??)?tan2x ∴f(x)?tan2x的最小正周期为 故选（C）.

答题分析：有的考生可能是错误地记成了正弦函数的周期，故得到了错误答案T?选（B）.实际上，f(x)?tan(2x??)的周期是T??22???，21). 2?? （D） 24? 2.需要强调的是：如果对三角函数的图象性

质有深刻地理解，y?tan(2x??)与y?tan(2x)之间只是一个平移变换，因此本题不必化简函数就可以直接得出答案.

z12第4题：已知i是虚数单位，z1?2?2i,z2?1?3i,那么复数z?在复平面内对应的点位于

z2（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

6

z1222(1?i)24解：∵z???(?3?i)

z21?3i5z12 ∴z?在复平面上对应的点位于第二象限.

z2 故选（B）.

答题分析：一些考生可能是复数运算有失误而导致出错.第5题：如果函数y?1?x在x?t时取得极小值，那么t? 23?x[来源:学,科,网]

（A）3 （B）1 （C）?1 （D）?3 解：∵y?1?x 23?x?3?x2?(1?x)?2xx2?2x?3 ∴y?? ?2(3?x2）(3?x2)2 ∵当x??1或x?3时，y??0，当?1?x?3时，y??0， ∴当t?3时，y取得极小值. 故选（A）.

答题分析：1.一些考生把f??x?求错，导致了错误. 2.有的考生是这样做的：把四个选项分别代回函数y?16121?x，即当x分别等于3、1、-1、3?x2-3时，计算y值分别为?、0、、.因为?最小，所以当t?3时，y取得极小值，选A.应该说，这样的答案是凑巧对的，但过程不对.因为尽管?是四个数中的最小的，但它并不一定是极小值！

3.本题也可以用均值不等式解决，但比较好的通用方法是用导数为工具研究函数的性质. 第6题：下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于

正视图

侧视图

7

131616俯视图

（A）（C）

33? （B）? 6343? 3

1（D）?

2解：∵在几何体的三视图中，正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，

∴此几何体是底面半径等于1，高等于3的半个圆锥. ∴该几何体的体积等于 故选（A）.

答题分析：1.一些考生到了最后关头，忘了是半个圆锥，没有把体积除以2，所以误选B. 2.由三视图还原立体图形，对学生的空间想象能力要求较高，也一直是近几年新课标高考的常考题型，在教学中要重点突破！

第7题：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1与a3的等差中项等于15. 如果S4?120，那么

S2012?S2009?

320093?. 6（A）18 （B）25 （C）32 （D）39

?a1?a1q2?30?解：设等比数列{an}的公比为q，由已知得q?1，?a1(1?q4)，

?120?1?q??a1?3?a1(1?q2)?30化简得?，解得. ?2?q?3?a1(1?q)(1?q)?120[来源学科网ZXXK]

3(1?3n)3(3n?1)? ∴Sn?. 1?32S2012?S2009332012?32009???39. ∴20092009323 故选（D）.

答题分析：本题考查基本量方法，考查方程的思想.一些考生在解方程组的时候不能整体消元，导致运算冗长甚至出错.对计算能力的考查，一直是高考数学的一个着眼点，教学中要加强对计算能力的培养，学生对常见的计算问题，如解方程组、解不等式组等要训练有素.

8

第8题：已知a?（3，?4)，则向量a在向量b方向上的投影等于 （0，）1，b?（A）?4 （B）?44 （C） （D）4 55解：∵a?，b?（0，1）（3，?4)， ∴a?b??4，b?5，

a?b4??.

5b4. 5 ∴向量a在向量b方向上的投影为? 故选（B）.

答题分析：1. 向量a在向量b方向上的投影，根据定义等于acos?a,b?.一些考生正是通过计算模长和两向量夹角的余弦值的积来获得答案，这无疑是正确的，但加大了运算量，思维也有来回重复之处.

2. 向量a在向量b方向上的投影等于

a?bb，由acos?a,b??a?bb可得，应理解该公式并牢牢

a?ba记清楚.另一方面还可结合点积的形方面进行记忆。一些考生把公式错记为??4，这是向量

b在向量a方向上的投影，从而误选A.

x2y2?1的长轴的两个端点分别为A1、A2，点P在椭圆E上，如果第9题：已知椭圆E:?259?A1PA2的面积等于9，那么PA1?PA2?

（A）?1441448181 （B） （C）? （D） 25252525x2y225y22??1，即x?25?解：由已知得A1A2?10，设P(x,y)，则. 2599 ∵?A1PA2的面积等于9 ∴

19A1A2?y?9，化简得y?. 25 ∴x2?25?9?16.

∵PA1?PA2?x2?25?y2?? ∴PA1?PA2??144. 259

144 25

故选（A）.

答题分析：正如上述解答，在计算过程中，务必注意整体代入和目标意识的培养，只有这样才能减少计算量.一些考生硬是解出点P的一个坐标?4,坐标，最后再计算PA1?PA2.

[来源:Z&xx&k.Com]??9?然否分别计算向量PA1、PA2的?，5?

第10题：已知?、?是两个互相垂直的平面，m、n是一对异面直线，下列四个结论：

① m//?、n??； ② m??、n//?； ③ m??、n??；

④ m//?、n//?，且m与?的距离等于n与?的距离. 其中是m?n的充分条件的为 （A）① （B）② （C）③ （D）④

解：∵?、?是两个互相垂直的平面，m??、n??， ∴m?n. 故选（C）.

答题分析：一些考生经常把必要不充分条件与充分不必要条件搞反了，这是学生学习逻辑知识中的一个难点，教学中要重点突破.

第11题：运行下图所示的程序，如果输出结果为sum?1320，那么判断框中应填

（A）i≥9 （B）i≥10 （C）i≤9 （D）i≤10

解：执行该程序，结合题目所给选项，不难发现应该选（B）. 故选（B）.

答题分析：有别于给定程序框图求最后结果的题型──那样学生只要照着流程正确地走就可以了，总体讲那还是一种线性思维.本题设计较为新颖，要求学生自行判断，程序到底应该怎

10

开始 i?12，sum?1 否 是 输出sum 结束 sum?sum?i i?i?1

么走，才能得出所给结果.这对思维和计算的要求提高了.

学生应该首先排除C、D，因为它们的输出结果为sum?12.接下来无非就是i≥9、i≥10这两种情况，因此只要照着程序走就可以得出正确答案了.

第12题：某校对高三年级学生进行体检，并将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组，绘制成下图所示的频率分布直方图. 如果规定，高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三个类型，超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.2、0.1、0.05，第二小组的频数为400. 若该校高三男生的体重没有55kg和65kg，则该校高三年级的男正常的频率分别为

（A）1000，0.5 （B）800， 0.5 （C）800， 0.6 （D）1000，0.6

解：由已知信息得第二小组的频率

1?0?.，设该校高三年级的男生总数为???n，则

50 55 60 65 70 75 生总数和体重

频率组距 体重(kg) 等于

400?0.4，解得n?1000.n体重正常的频率分别为1?0.25?0.1?0.05?0.6.

故选（D）.

答题分析：对于频率分布直方图问题，读懂题意、正确识图是解决问题的关键.

第13题：在一个水平放置的底面半径等于6的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径等于r的实心球，如果球完全浸没于水中且无水溢出，水面高度恰好上升r，那么r? .

4解:根据已知得36?r??r3，解方程得r?33. 3 ∴r?33. 答题分析：一些考生没能正确理解题意导致思维受阻.另一些考生可能是计算失误，得出错误答案r?3.

?log2x,x?0，第14题：已知f(x)?? 计算f3,x?0.??log2x,x?0解:∵f(x)??，

?3,x?0 ∴f(1)?0.

?f(1)??

11

∴f?f(1)??3.

第15题：设数列?an?的前n项和为Sn，如果a1?解:∵Sn?n?2an， 31n?2an，那么a9? . ，Sn?33 ∴an?1?Sn?1?Sn? ∴an?1? ∴an? ∵a1?n?2an. nn?3n?2an?1?an. 33n?1n??n?1n?23n(n?1)??a1?a1 n?2. 121n(n?1)，∴an? n?2. 36n(n?1). 6∵n?1时，上式也成立，∴an? ∴a9?9(9?1)?15. 6答题分析：1.累乘法是一种重要的求通项的方法，很多学生对此并不熟练，在计算中经常出错.

2.使用累乘法时应该注意的是，必须验证n?1，这一点，很多师生都没有引起重视. 第16题：如果直线ax?by?1?0被圆x2?y2?25截得的弦长等于8，那么于 ．

解:∵直线ax?by?1?0被圆x2?y2?25截得的弦长等于8， ∴225? ∵

1122a?b?，化简得. ?8229a?b35?的最小值等22ab351353522??9??(?)?9?(a?b)?(?) 222222ab9abab3b25a2?9?(8?2?2)?9?(8?215)?72?1815，“?”能取到，

ab ∴

35?的最小值等于72?1815. a2b2答题分析：原点到直线的距离d?1a2?b2，再利用垂径定理得到225?1?8，这里

a2?b212

不采用一般的弦长公式而是利用了几何模型（Rt?）减少运算。得到a2?b2?下均值不等式求最值的变形模型：?ma?nb??数），而正数

1后，还应掌握如9pnbmqa?pq????pm?nq??（此模型pm?qm?c（常

ab?ab?pnbmqapnbmqa相乘可消去变量a与b，且相等）.本题涉及到几何、代数模与与abab型，对形模与代数变形能力要求较高，这可能是学生不能得出正确答案的一个重要原因. 第17题：已知A、B、C是?ABC的三个内角，A、B、C对的边分别为a、b、c，设平面向量m??cosB,?sinC?，n??cosC,sinB?，m?n?（I）求cosA的值；

（II）设a?3，?ABC的面积S?5，求b?c的值.

解：（Ⅰ）∵m??cosB,?sinC?，n??cosC,sinB?，且m?n? ∴cosB?cosC?sinB?sinC?22，即cos?B?C??. 332, 32. 3 ∵A、B、C是?ABC的三个内角，∴B?C???A. ∴cos???A?? ∴cosA??2. 325，∴sinA?. 3322，即cosA??. 33（Ⅱ）∵A是?ABC的一个内角，cosA??15 ∵S?ABC?bc?sinA?bc?5 26 ∴bc?6.

由余弦定理得：a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?8. ∴b2?c2?12?b2?c2?2bc?(b?c)2?a2?4?13. ∴b?c?13. 答题分析：1.第（Ⅰ）问中，一些考生算出cos(B?C)?cosA?2. 32后，记错诱导公式，错误地得出32.第（Ⅱ）问是比较经典的题型，也有着成熟的解决套路.即根据正弦定理的面积公式，很

13

容易算得bc?6；再根据余弦定理，可以算出9?b2?c2?2bccosA?b2?c2?8；接下来用配方法，可以整体求得b?c?13. 但这里有个瑕疵，满足???bc?6的实数解是不存在的.但由于根与系数关系在复数范围仍

??b?c?13然成立，所以便可以形式地算出“结果”. 若在高考数学中碰到类似情况建议考生按照通常的典型方法求解，把问题得出结论，做到解题完整.而不必过多纠结题目本身存在问题，导致影响正常答题和后面的得分。

第18题：盒子内装有4张卡片，上面分别写着数字1，1，2，2，每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中随机任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中随机任取1张卡片，记下它上面的数字y.

（I）求x?y?2的概率P； （II）设“函数f(t)?求A的概率P(A).

解:（Ⅰ）先后两次放回取卡片，利用表格，可把总的情况表示如下：

(x,y) 3218t?(x?y)t?在区间(2,4)内有且只有一个零点”为事件A，55x 1 1 2 2 y 1 1 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (2,1) (2,1) (2,2) (2,1) (2,1) (2,2) 2 2 (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) (2,2) (2,2) 共有16种情况. 满足x?y?2的共有4种情况. ∴x?y?2的概率P?41?. 164（Ⅱ）∵x?y的值只能取2，3，4， 当x?y?2时，f(t)?32183218t?(x?y)t??t?2t?， 5555它没有零点，不符合要求. 当x?y?3时，f(t)?32183218t?(x?y)t??t?3t?，它的零点分别 555514

为2，3，在区间(2,4)内只有3这个零点，符合要求. 当x?y?4时，f(t)?为32183218t?(x?y)t??t?4t?，它的零点分别 555510?4610?46，，都不在区间(2,4)内，不符合要求. 331，同理可得x?y?4的概率也4∴事件A相当于x?y?3，由（Ⅰ）知：x?y?2的概率为为

1. 4∵x?y的值只能取2，3，4，

∴P(A)?P(x?y?3)?1?P(x?y?2)?P(x?y?4)?1?即函数f(t)?111??. 44232181t?(x?y)t?在区间(2,4)内有且只有一个零点的概率等于. 55212答题分析：1.第（Ⅰ）问也可如下计算：因为第一次抽到1的概率是，第二次抽到1的概率也是，并且这两次抽取是独立的，所以x?y?2的概率是??.

2.第（Ⅱ）问中，一些考生没有理解事件A的真实含义，没有把事件A转化为对x?y取值的讨论上.

如果没有注意到x?y的取值只有三个这一事实，而是泛泛地用数形结合的方式去讨论二次函数f?t?在区间(2,4)内有且只有一个零点的充要条件，将会面临繁琐的运算.这提示我们在解题时务必思维灵活，善于观察，善于选择和调整策略.

事实上由于x?y的取值只有2、3、4这三种情况，因此可以逐一验证是那些值使得f?t?在区间(2,4)内有且只有一个零点，进而计算A的概率即可.

第19题： 如图，在空间几何体SABCD中，四边形ABCD为矩形，SD?AD，SD?AB，

C

12112214AD?2，AB?4，SD?23．

B

（I）证明：平面SDB?平面ABCD； （II）求SA与平面SDB所成角的正弦值． 解:

（I）证明：∵SD?AD，SD?AB，AD∴SD?平面ABCD． 又∵SD?平面SDB，

15

S

D A

AB?A，

∴平面SDB?平面ABCD．

（II）由（I）知：SD?平面ABCD．∴SD?BD．

111∴SA?AD2?SD2?4，VS?ABD???AD?AB?SD，S?SBD??SD?DB．

322设点A到平面SDB的距离等于h，∵VS?ABD?VA?SDB，

1111∴??AD?AB?SD???SD?DB?h． 3232∴h?45． 5设SA与平面SDB所成角等于?，则sin??∴SA与平面SDB所成角的正弦值等于

1h5． ?SA55． 5答题分析：1.第（Ⅰ）问比较基础，学生容易上手.

2.第（Ⅱ）问中，部分学生致力于找出SA与平面SDB所成的角，但往往不得其法.本题中的线面角要作出来其实并不困难，但学生做的并不够好，可能是因为我们的教学中对此重视不够──事实上，一些老师认为文科立体几何大题，是不可能考线面角、二面角的，不知这种认识的理由究竟来自何方？

本题开创了一种求线面角的新方法：并不需要作出二面角的平面角，而是求出点A到平面

SDB的距离h，即可求出线面所成角的正弦值.而这个h，显然是三棱锥A?BSD的高，学生要牢

牢记住，等体积法是我们求四面体高的常用方法.

第20题：双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e?与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于（Ⅰ）求双曲线S的方程；

0)，P(0,1)（Ⅱ）设经过点(?2，斜率等于k的直线与双曲线S交于A、且以A、B两点，B、

6，直线3x?3y?5?0上的点243. 3为顶点的?ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值.

解：

x2y2（Ⅰ）根据已知设双曲线S的方程为2?2?1(a?0，b?0).

aba2c66222a，b?c?a?. ∵e??，∴c?2a2216

∴双曲线S的方程可化为x2?2y2?a2，右焦点为(6a,0). 243, 3∵直线3x?3y?5?0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于

3?∴6a?5223?43，解方程得a?2. 3∴双曲线S的方程为x2?2y2?2.

（Ⅱ）经过点(?2，0)，斜率等于k的直线的方程为y?k(x?2). 根据已知设A(x1,kx1?2k)，B(x2,kx2?2k) 则AB的中点为M(x1?x2k(x1?x2)?4k,). 22?ABP是以AB为底的等腰三角形?PM?AB.

（1）如果k?0，直线y?k(x?2)与双曲线S交于(?2,0)，(2,0)两点， 显然满足题目要求.

（2）如果k?0，由PM?AB得k?kPM??1. ∵kPM?k(x1?x2)?4k?2k(x1?x2)?4k?2， ∴k???1.

x1?x2x1?x2?x2?2y2?2 由?得(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0.

?y?k(x?2)?1?2k2?0 根据已知得?. 4222??64k?4(1?2k)(8k?2)?16k?8?0? ∴k??2. 28k2 ∵x1?x2?，

1?2k2 ∴kPMk(x1?x2)?4k?22k2?2k?1?. ?24kx1?x22k2?2k?12k2?2k?1?k????1，即2k2?6k?1?0， 24k4k ∴k?kPM 解方程得k1??3?11?3?11，k2?. 2217

综上得k??3?11?3?11，或k?0，或k?.

22答题分析：1.第（Ⅰ）问考查方程的思想方法，即列出关于a、b、c的三元方程组

???c?6?a2?222，接下来的任务就是解方程组，可惜的是很多考生没能得出正确答案，学?b?c?a??3?6a?5?243??323?生的运算求解能力有待提高.

2.一些考生混淆了椭圆和双曲线的离心率公式a2?b2?c2与c2?a2?b2，导致出错，从而影响了后面问题的解答.

3.第（Ⅱ）问中的关键点是如何运用条件“P(0,1)为顶点的?ABP是以AB为底的等腰三角形”.如果采用算出两边的长，并令它们相等的方法，运算将更为繁琐.如果巧妙地利用点P在线段AB的中垂线上，就能减少运算量.

4.很多考生忘了对直线斜率为0的讨论.值得注意的是：对特殊情况的讨论一方面是考生常常忘记，但另一方面这恰好又是比较容易得分的地方.学生经常容易忘记的地方还有对方程最高次项系数是否为零、?是否大于零的讨论等等.

5.圆锥曲线对运算能力的要求较高，很多考生只能算出地（Ⅰ）问.第（Ⅱ）问只是草草列了几个式子便结束了.

第21题：已知实数a是常数，f(x)?(x?a)2?7lnx?1. 当x?1时，f(x)是增函数.

（Ⅰ）求a的取值范围；

11（1?2?（Ⅱ）设n是正整数，证明：?72?11)?（1??2n2?1)?ln(n?1)． n解：

（Ⅰ）∵f(x)?(x?a)2?7lnx?1，∴f?(x)?2x?2a?∵当x?1时，f(x)是增函数， ∴f?(x)?2x?2a?7?0在x?1时恒成立. x7. x18

即a?7?x在x?1时恒成立. 2x7?x是减函数， 2x75?x?. 2x2∵当x?1时，∴当x?1时，∴a?5. 2（II）当a?55时，f(x)?(x?)2?7lnx?1. 22由（Ⅰ）知，当x?1时，f(x)是增函数. ∴当x?1时，f(x)?f(1)，即(x?∴当x?1时， (x?5249)?7lnx?1??1. 245249)?7lnx?. 24∴当x?1时，x2?5x?6?7lnx. ∵n是正整数， ∴1?1?1. n111（1?）∴(1?)2?5?(1?)?6?7ln，即

nnn111??ln（?1）?ln(n?1)?lnn. 27nnn∴(1111?)?(?)?7?1217?222?(11?)? 7n2n(ln2?ln1)?(ln3?ln2)??[ln(n?1)?lnn]?ln(n?1).

?(11?)?ln(n?1). 7n2n∴(1111?)?(?)?7?1217?22211（1?2?∴?72?11)?（1??2n2?1)?ln(n?1)． n答题分析：1.一些考生把f??x?求错了，考生的求导运算有待加强，因为求导几乎是高考的必考题.

2. 第（Ⅰ）问实际上是一个含参不等式f?(x)?2x?2a?常用分离参数、函数最值的方法加以解决.

19

7?0在x?1时恒成立的问题，x

3.第（Ⅱ）问难度较大，能做出来的考生寥寥无几.本问能较好地将高水平的学生筛选出来. 可以如下思考：要证关于n的不等式恒成立，并且右边还有对数ln(n?1)，似乎无法下手.注意观察不等式的左边，分母上有一个7，两边乘以7后，右边变为7ln(n?1).而条件

2中，也有7lnx，于是考虑借助第（Ⅰ）问来搭台阶. f(x)?(x?a)?7lnx?1由条件知当x?1时，f(x)是增函数，所以f?x??f?1?，即(x?a)2?7lnx?1?(1?a)2?1，化简得x2?2ax?2a?1?7lnx *.又*式对a?是考虑对a赋值.令a?5是恒成立的，但目标不等式里没有字母a，于25，*式化为x2?5x?6?7lnx，此时无论对x赋什么值，都不能直接得2到欲证的不等式，思维再次受阻.

考虑目标不等式的结构，可以令x?1?得答案.

第22题： 选修4?1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD不经过点O，AC平分?BAD，经过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，且CD2?AB?DF.

证明：

（Ⅰ）?ABC∽?CDF； （Ⅱ）EF是⊙O的切线.

证明：

（Ⅰ）∵AC平分?BAD，∴?BAC??CAD. ∴BC?CD.∴BC?CD.

∵CD2?AB?DF,∴CD?BC?AB?DF. ∴

BCAB?. DFCDE C F

B O D A 1，n[来源:学科网ZXXK]

111??ln（?1）?ln(n?1)?lnn，接下来采用类似于数列里常用的累加法，即可得出27nnn∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

20

∴?ABC??CDF. ∴?ABC∽?CDF.

（Ⅱ）连接OC，由（I）知?ABC∽?CDF.

ABEC ∴?BAC??DCF. 又∵?BAC??BDC， ∴?BDC??DCF. ∴EF//BD.

∵BC?CD，BD不经过点O， ∴OC?BD. ∴OC?EF. ∴EF是⊙O的切线.

ODF

答题分析：1. 第（Ⅰ）问中的关键是要看出BC?CD，从而把条件CD2?AB?DF转化为

CDAB?，进而把它看成是两个待证相似三角形的两组对应边成比例，接下来只需利用四点共DFBC圆的性质去证明一组对应角相等，即可完成证明.

2. 第（Ⅱ）问有一定的难度.实际上“切点圆心不忘连”，这里需要做辅助线OC.接下来还要利用圆的对称性得出OC?BD，再证明EF//BD即可. 第23题： 选修4?4：坐标系与参数方程

?x?t2A(1,0)，B(2,0)是两个定点，(t在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?y?2t?为参数)

（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；

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（Ⅱ）以A(1,0)为极点，AB为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．

解:

?x?t2（Ⅰ）由?消去参数t得y2?4x，

?y?2t∴曲线C的普通方程为y2?4x. （Ⅱ）∵曲线C的普通方程为y2?4x，

∴曲线C是抛物线，且A(1,0)是它的焦点.

在曲线C上任取一点M(?,?)，则MA与M到y2?4x的准线的距离相等， 即??2??cos?. ∴曲线C的极坐标方程为??2??cos?．

?x?t2答题分析：1.第（Ⅰ）问，学生很容易由?消去参数t得曲线C的普通方程y2?4x.

?y?2t2.接下来要求曲线C的极坐标方程，很多学生是这样做的：根据直角坐标与极坐标的互化

?x??cos?4cos?2，易得曲线C的极坐标方程为??sin???4?cos?，即??.但这是错误的！因为?2y??sin?sin??本题中极坐标系的极点和直角坐标系的原点并不重合，所以互化公式并不简单成立.

3.实际上第（Ⅱ）问要回到极坐标的定义、抛物线的定义上去考虑. 第24题： 选修4?5：不等式选讲

已知实数a、b、c、d满足a?b?c?d?3，a2?2b2?3c2?6d2?5. 证明：

（I）(b?c?d)2?2b2?3c2?6d2； （II）a?证明：

（Ⅰ）∵(b?c?d)2?(111?2b??3c??6d)2 23631?. 2211??1??()2?()2?()2?(2b2?3c2?6d2)，

36??2∴(b?c?d)2?2b2?3c2?6d2.

（Ⅱ）∵a?b?c?d?3，a2?2b2?3c2?6d2?5，

22

∴b?c?d?3?a，2b2?3c2?6d2?5?a2. 由（Ⅰ）知：(b?c?d)2?2b2?3c2?6d2.

∴(3?a)2?5?a2，化简得a2?3a?2?0，解得1?a?2. ∴?131?a??. 222 ∴a?31?. 22答题分析：1. 第（Ⅰ）问还是有些难度的，难在根据目标去适当配凑和调整系数. 2.有些学校只选修了4-5《不等式选讲》，但是又没有介绍柯西不等式的基本应用，导致三个选做题都是空白.

3.第（Ⅱ）问里只有字母a，因此解题的基本思想是消元.但怎么消元是难点.这里要充分运用条件和第（Ⅰ）问的结论进行整体消元.

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