顺义区2012届初三第二次统一练习数学试卷及答案

顺义区2012届初三第二次统一练习

数学试卷

考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．9的平方根是

A．3 B．-3 C．?3 D．

1 32．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表

示应为

A．9.1?10 B．9.1?10 C．91?10 D． 9.1?10 3．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ） ．．

A B C D

4．把4ab?16b分解因式，结果正确的是

2A．b(2a?4) B． b(2a?2)(2a?2)

25443C．4b(a?2)2 D．4b(a?2)(a?2)

5．北京是严重缺水的城市，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，小敏在某小

区随机抽查了10户家庭的5月份用水量，结果如下（单位：立方米）：5，6，6，2，5，6，7，10，7，6，则关于这10户家庭的5月份用水量，下列说法错误的是 A.众数是6 B.极差是8

BC.平均数是6 D.方差是4

6．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的

F尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．

在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位， OF=3个单位，则圆的直径为 A．7个单位 B．6个单位

AEOC．5个单位 D．4个单位

7．从1,-2, 3，-4四个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是

A．

1 4B．

11 C． 32 D．

2 38．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角

形．将纸片展开，得到的图形是

ABCD

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式

2x?6的值为0，则x的值等于 ． x?110．如图，□ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于

F，若BE?2，EC?3，则

2ADBF的值为 ． DFBFEC211．将方程x?4x?1?0化为(x?m)?n的形式，其

中m，n是常数，则m?n? ． 12．如图，△ABC中，AB=AC=2 ，若P为BC

的中点,则AP?BP?PC的值为 ； 若BC边上有100个不同的点P100， 1，P2，?，P2A(i?1，2，?，100)， 记mi?APPCi?BPi?i则m1?m2???m100的值为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1013．计算：()??32?2sin45??(3?2)．

BPiPC14

14．解不等式2(x?2)≤4(x?1)?6，并把它的解集在数轴上表示出来．

15．已知：如图，E，F在BC上，且AE∥DF，AB∥CD ，AB=CD．

求证：BF = CE ． A E16．解分式方程：

17．已知2x－3=0，求代数式5x(x?2)?(x?2)(x?4)?1的值．

18．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4

万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的关系如图所示．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑

料消耗量为多少?

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长

线上的点，且EB=AB，DE与AB相交于点F， AD=2，CD=1，求AE及DF的长．

FEABF3x2??3． x?2x?2CDDCB

20．已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O

于点C．

CB（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的

结论；

11（2）若BC=2，sin?APC?，求PC的长及

23点C到PA的距离．

OPA21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联

合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：

图书种类 科普常识 名人传记 中外名著 其他 频数 840 816 a 144 频率 b 0.34 0.25 0.06

（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比； （2）求表中a，b的值；

（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？

22．阅读下列材料：

问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．

小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．

请你回答：图2中∠APB的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．

（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画

图痕迹）；

（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等

于 ．

ADPADPAECBCBBPC

图1 图2 图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P

为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC=x，四边形OCPD的面积为S． （1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式； （2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x=

yBDP39时，S有最大值，求48OCAx直线AB的解析式；

（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y

轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．

24．已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，

BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．

（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系； （2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出

你的猜想并证明；

（3）若∠ACB=?，直接写出∠ECF的度数（用含?的式子表示）．

C ABAD EEF

图1 图2

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?CDBF12x?bx?c的2图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设D为线段OC上的一点，若?DPC??BAC，求点D的

坐标； （3）在（2）的条件下，若点M在抛物线y?12x?bx?c上，点2N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

顺义区2012届初三第二次统一练习 数学学科参考答案及评分细则

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 D 5 D 6 C 7 B 8 A 答 案 C B A 二、填空题（本题共16分，每小题4分，） 9．3； 10．

2； 11．7； 12．4，400． 5三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1013．解：()??32?2sin45??(3?2)

14 ?4?32?2?2?1 ???????????????????? 4分 2 ?3?22 ?????????????????????????? 5分 14．解：去括号，得 2x?4≤4x?4?6．????????????????? 1分

移项，得 2x?4x≤?4?6?4．????????????????? 2分 合并，得 ?2x≤-2 ． ???????????????? 3分 系数化为1，得 x≥1 ． ?????????????????? 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：

??????????????? 5分

15．证明：∵ AE∥DF，

∴∠1=∠2． ?????????? 1分 ∵ AB∥CD， AB∴ ∠B=∠C．?????????? 2分

F2在△ABE和 △DCF中， 1E??1??2,???B??C, ?AB?DC,?CD∴ △ABE≌△DCF．???????????????????? 4分 ∴ BE=CF． ∴BE-EF=CF-EF．

即BF=CE．???????????????????????? 5分

16．解：去分母，得 3x(x?2)?2(x?2)?3(x?2)(x?2)．???????? 1分

去括号，得 3x?6x?2x?4?3x?12． ?????????? 2分 整理，得 ?8x??8．???????????????????? 3分

解得 x?1． ???????????????????????? 4分 经检验，x?1是原方程的解．?????????????????? 5分 ∴ 原方程的解是x?1．

2217．解：5x(x?2)?(x?2)(x?4)?1

?5x2?10x?(x2?2x?8)?1 ?????????????????? 2分 ?5x2?10x?x2?2x?8?1

?4x2?12x?9 ????????????????????????? 3分 ?(2x?3)(2x?3) ??????????????????????? 4分 当2x－3=0时，原式?(2x?3)(2x?3)?0．????????????? 5分

18．解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b．??????????????? 1分

由题意，得??2008k?b?4,?k?1, 解得? ???????? 3分

2010k?b?6.b??2004.??∴y与x之间的关系式为y＝x－2004（2008≤x≤2012）． ????? 4分

（2）当x＝2012时，y＝2012－2004＝8．

∴该市2012年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为8万吨．??? 5分

19．解：∵四边形ABCD是矩形，且AD=2，CD=1，

∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC =∠C= 90°，AB∥DC．

∴EB=AB=1． ????????????????????????? 1分

AB2?BE2?2．????????????? 2分

在Rt△DCE中，DE?DC2?CE2?12?32?10．??????? 3分

在Rt△ABE中，AE?∵AB∥DC，

EFEB1??． ??????????????????????? 4分 DFBC2设EF?x，则DF?2x．

∴

∵EF?DF?DE， ∴x?2x?10． ∴x?10． 3210．?????????????????????? 5分 3∴DF?2x?20．解：（1）直线PC与⊙O相切．

BC证明：连结OC，

31∵BC∥OP，

2∴∠1 =∠2，∠3=∠4． PO4∵OB=OC， ∴∠1=∠3．

A∴∠2=∠4．

又∵OC=OA，OP=OP，

∴△POC≌△POA． ?????????????????? 1分 ∴∠PCO =∠PAO． ∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAO =90°． ∴∠PCO =90°．

∴PC与⊙O相切． ?????????????????? 2分

（2）解：∵△POC≌△POA，

1?APC． 211∴sin?5?sin?APC?．

23∴∠5=∠6=

∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°． ∴cos?2?sin?5?∵∠3=∠1 =∠2， ∴cos?3?1． 31． 3连结AC，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB =90°．

BC2??6．???????????????? 3分

cos?313∴OA=OB=OC=3，AC?AB2?BC2?42．

OC?9． ∴在Rt△POC中，OP?sin?5∴AB?∴PC?OP2?OC2?62．?????????????? 4分 过点C作CD⊥PA于D， ∵∠ACB =∠PAO =90°，

∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8． ∴cos?8?cos?3?B31C568O472P1． 3ADcos?8?42?在Rt△CAD中，AD?AC?∴CD?14?2． 33AC2?AD2?16．??????????????? 5分 321．解：（1）∵1-28%-38%=34%．

∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．??? 1分

（2）∵144?0.06?2400，

∴a?2400?0.25?600， ?????????????????? 2分

b?840?2400?0.35． ?????????????????? 3分

（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，

∴全校学生总人数为204?34%?600． ???????????? 4分 ∴该校学生平均每人读课外书：2400?600?4．

答：该校学生平均每人读4本课外书． ????????????? 5分

22．解：图2中∠APB的度数为 135° ．?????? 1分 （1）如图3，以PA、PB、PC的长度为三边长的

一个三角形是 △APM ．（含画图）???? 2分 （2）以PA、PB、PC的长度为三边长的

三角形的各内角的度数分别等于

60°、65°、55° ．?????? 5分

B23．解：（1）设直线AB的解析式为y?kx?b，

由A（4，0），B（0，6），得

AMPC图33?k??,?4k?b?0,? 解得2 ???b?6.??b?6.∴直线AB的解析式为y??∵OC=x，∴P(x,?∴S?x(?即S??3x?6．???????????? 1分 23x?6)． 23x?6)． 232x?6x（0< x <4）． ?????????????? 2分 2 （2）设直线AB的解析式为y?mx?n，

∵OC=x，∴P(x,mx?n)．

2∴S?mx?nx．

39∵当x=时，S有最大值，

483?n??,??m??2,?2m4∴? 解得?

?n?3.?9m?3n?9.?48?16∴直线AB的解析式为y??2x?3．????????????? 3分

3，0），B（0，3）． 23即a?，b?3．????????????????????? 5分

2（3）设点M的坐标为（xM，yM），

∴A（

由点M在（2）中的直线AB上， ∴yM??2xM?3．

∵点M到x轴、y轴的距离相等， ∴xM?yM或xM??yM．

当xM?yM时，M点的坐标为（1，1）． 过M点的反比例函数的解析式为y?1． x∵点N在y?1的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形， x∴点N的坐标为??32?,?．?????????????????? 6分 ?23?当xM??yM时，M点的坐标为（3，-3）， 过M点的反比例函数的解析式为y??∵点N在y??9． x9的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形， x∴点N的坐标为??3?,?6?．?????????????????? 7分 ?2??32??3?,?或?,?6?． ?23??2?综上，点N的坐标为?24．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF．

证明：∵D是AB中点，

C ∴AD=BD，

又∵AE=BD，BF=AD， ∴AE=BF． ∵CD⊥AB，AD=BD， ∴CA=CB．

2∴∠1 =∠2． A14B3D∵AE⊥AB，BF⊥AB， ∴∠3 =∠4=90°．

EF∴∠1+∠3 =∠2+∠4．

即∠CAE=∠CBF． ∴△CAE ≌△CBF．

∴∠ACE=∠BCF．?????????????????? 2分

C（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．

证明：连结BE、AF．

∵CD⊥AB，AE⊥AB， ∴∠CDB=∠BAE=90°． 又∵BD = AE，CD = AB ，

△CDB≌△BAE．?????? 3分

ABD∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．

在Rt△CDB中，∵∠CDB =90°，

E∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°．

F即∠CBE =90°．

∴△BCE是等腰直角三角形．

∴∠BCE=45°． ?????????????????? 4分

同理可证：△ACF是等腰直角三角形．

∴∠ACF=45°． ?????????????????? 5分 ∴∠ACF=∠BCE．

∴∠ACF-∠ECF =∠BCE-∠ECF．

即∠ACE=∠BCF．?????????????????? 6分

（3）∠ECF的度数为90°-?．?????????????????? 7分 25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入y?12x?bx?c中，得 2?9?3b?c?6,??2 解得 ?1??b?c?0.??2∴二次函数的解析式为y?（2）令y?0，得

?b??1,??3 c??.??2123x?x?．??????????? 2分 22123x?x??0，解得 x1??1，x2?3． 22∴点C的坐标为（3，0）． ∵y?1231x?x??(x?1)2?2， 222∴顶点P的坐标为（1，-2）．????????????????? 3分

过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F． 易得 ?ACB??PCD?45?．

AC?AE2?CE2?62，PC?PF2?CF2?22．

又?DPC??BAC，

∴△ACB∽△PCD．???????? 4分 ∴

BCAC?． CDPC∵BC?3?(?1)?4，

BC?PC4?． AC345∴OD?OC?CD?3??．

335∴点D的坐标为(,0)．?????????????????? 5分

38 （3）当BD为一边时，由于BD?，

3885811∴点M的坐标为(?,)或(,?)． ?????????? 7分

318318235当BD为对角线时，点M的坐标为(,?)． ???????? 8分

318∴CD?

各题的其他解法请老师们参照给分，如有问题，自行解决！

同理可证：△ACF是等腰直角三角形．

∴∠ACF=45°． ?????????????????? 5分 ∴∠ACF=∠BCE．

∴∠ACF-∠ECF =∠BCE-∠ECF．

即∠ACE=∠BCF．?????????????????? 6分

（3）∠ECF的度数为90°-?．?????????????????? 7分 25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入y?12x?bx?c中，得 2?9?3b?c?6,??2 解得 ?1??b?c?0.??2∴二次函数的解析式为y?（2）令y?0，得

?b??1,??3 c??.??2123x?x?．??????????? 2分 22123x?x??0，解得 x1??1，x2?3． 22∴点C的坐标为（3，0）． ∵y?1231x?x??(x?1)2?2， 222∴顶点P的坐标为（1，-2）．????????????????? 3分

过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F． 易得 ?ACB??PCD?45?．

AC?AE2?CE2?62，PC?PF2?CF2?22．

又?DPC??BAC，

∴△ACB∽△PCD．???????? 4分 ∴

BCAC?． CDPC∵BC?3?(?1)?4，

BC?PC4?． AC345∴OD?OC?CD?3??．

335∴点D的坐标为(,0)．?????????????????? 5分

38 （3）当BD为一边时，由于BD?，

3885811∴点M的坐标为(?,)或(,?)． ?????????? 7分

318318235当BD为对角线时，点M的坐标为(,?)． ???????? 8分

318∴CD?

各题的其他解法请老师们参照给分，如有问题，自行解决！

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