2010年美国数学建模A题论文连续犯罪 - 图文

连环罪犯居住地及作案时间地点的预测

摘要 本文主要通过“圆周假设理论”的改进行地理轮廓预测，根据Rossmo公式预测

出了罪犯居住地的可能范围。对时间和地点运用灰度预测方法预测了下次案发时间地点。

对于发展一种辅助警察调查方法，并运用这种方法生成地理轮廓，讨论引入了“圆周假设理论”。在“圆周假设理论”的基础上，对该理论进行不同角度的改进，最后总结出三个确定地理轮廓的方案：改进圆周假设理论，中心图解法，最匹配圆改进方法，对Peter Sutcliffe的案例进行检验得到三个可能居住地坐标为：(0.9062,0.4051),(0.8872,0.3390),(0.8930,0.3460)都接近实际居住坐标(0.88,0.45)。然后运用Rossmo公式求的概率分布矩阵并生成二维伪彩色图和灰度图，以此预测出最可能的居住范围，预测范围准确并且很小，可以很有效的缩小警察的排查范围。

通过对已有案例的时间和地点分析预测下一次案例的发生时间和地点。通过GM(1,1)模型对案发的时间间隔以及案发地与居住点的距离进行预测，以Peter Sutcliffe的案例进行检验，最后一次作案实际时间间隔为46，预测的时间间隔为63，误差17天，准确性为63%。预测最后5次案发地与居住点的距离，与实际情况比较后，发现准确度为60%左右。已经可以很有效的缩小警察的搜索预警范围。

关键词 犯罪地理分析 Rossmo模型 GM（1,1）

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一、问题重述

在Peter Sutcliffe13起谋杀案中，一种用来缩小搜索罪犯所在范围的方法是找到这些罪犯的点的“重心”。从那时开始更多更复杂的的技术被发展起来通过系列犯罪的地点用来确认罪犯的“地理轮廓”。

为一个地方警署发展一种辅助他们调查连环犯罪的方法。这种方法至少用两种不同的方案生成“地理轮廓”运用一种方法结合其他方法的结果生成一个对警察有用的预测。根据以前的作案时间和地点对下一次可能的作案时间地点进行预测。将除时间和地点以外的运用到模型中证据写出整合到模型的具体细节。说明模型在实际运用中的可依赖度和合适的警告。

除了要求的一页摘要外，你的报告应该包括一个额外的2页纸的实施概要。这个概要应该对潜在的问题进行综述。概述你的方法，描述你的方法合适以及不合适的情况。概要中应包括适当的技术细节。

二、问题分析

我们的目标是制定一种方法，其中包含至少两种不同的方案来产生一个地理轮廓。由于该方法是用来帮助调查，它必须简单，实用和方便，普适性要强。影响罪犯进行作案的因素有很多，产生的结果会出现不同的误差，所以我们要从不同的角度出发，结合不同方案的结果可以缩小预测范围并且产生一个相对合理精确的预测。

要解决这个问题，要按照如下步骤来进行：

步骤一：进行信息的查询和搜集。由于本题中不存在完全有效的数据，我们必须寻找连环犯罪地点的资料。资料数据必须包含具体的犯罪地点，受害者的身份，案发时间，以及关于犯罪地区的信息。与犯罪心理学的资料也需要进行参考。

步骤二：开发至少两种方案来定位连环杀手的居住地点，综合两种这些方案对居住地点进行预测，之后对方案和最后的结果进行评价和改进。

步骤三：预测下一个案发地点的可能地理位置和可能的案发时间。在这一步中，我们可以使用步骤2或原始数据的结果并且对预测的可靠性必须要有相关数据验证。进行方案的评价和改进也是需要完成的。

步骤四：总结全文，结合论文中得到的所有预测和可靠性验证，写一个2页的概要。它将提供一个广阔的潜在问题的概述和方法，该方法的适用条件必须明确界定而且还应该提供适当的警告。概要中要有适当的技术细节来满足不同读者的需要。

三、模型假设

1、假设一般罪犯作案范围不会很大，基本控制在一两个城市之间。 2、假设连环案作案是单人行动，不考虑团伙作案。 3、假设罪犯作案地点基本选择在自己的居住地附近。 4、假设罪犯居住地不会改变且只有一个居住地。 5、假设罪犯活动不受地势和交通影响。

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四、符号及变量说明 Xn(xn,yn) 第n次案发地点坐标 案发地点总数 假设居住地坐标 居住地在区域ij的可能性 缓冲半径 N X(x,y) Pij B 五、模型建立

已知的一种预测罪犯居住地的可靠手段为“圆周假设”理论，该理论的基本内容为： 假设一个犯罪嫌疑人连续作案，及作案地点分布广泛，若找出两个最远的犯罪位置，将二者连接起来并以此直线为直径，画出一个包括所有犯罪地点的圆周，多数情况下，犯罪嫌疑人就住在圆周里，而且可能就住在靠近圆周中心的地区。统计得知，有80%的强奸犯居住在圆周内；60%以上的犯罪嫌疑人就居住在大圆半径的中心地区。这里的居住地包括其父母的居住地，也包括其女友和亲密朋友的居住地，是犯罪嫌疑人第一次实施犯罪的出发地和基地。

犯罪圆周假设的根基是基于犯罪人的行为、生理、心里以及期活动期间地理背景的根基，也就是说，它是犯罪嫌疑人的行为结构、心里结构域地理时空结合形成的深层结构关系。这就使得犯罪圆周假设有如此高的准确度。也足以说明他的重要实战价值。 基于上面理论，地图分析法之“犯罪圆周假设”也就有了合理的解释：犯罪分子首次作案，由于缺乏经验，加上心理恐惧的作用，极有可能选择离自己居住地比较近比较熟悉的地方作案。但随着作案次数的增多，作案经验的丰富，第二次作案会比第一次作案远，第三次作案比第二次远。总会潜意识逃避自己藏匿地点。但是有意识逃避终归要有一个限度，到了其不愿去或过于偏远的地方，出于自身考虑犯罪分子只能改变方向，以其所住为中心，向周边扩展。这样作案轨迹就由“直线”变为“扇形”最后变为“圆周”型。

图1 犯罪圆周假设

模型一 圆周假设理论改进模型：

通过matlab构造关于案发地点的直角坐标系，并使案发地点全部落在第一象限，求出每个案发地的坐标(xi,yi)（i=1,2,3……）。以x，y轴为边做一个最小的矩形S使得所

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有案发地点都被包含在S内。

此模型主要利用遍历搜索最小半径的方法，使得尽可能多或者全部的案发地落入以R为半径的圆内或者圆上（此时R的取值最小）

设罪犯的居住坐标X(x,y)，历次案发位置坐标Xn(xn,yn)(n?1,2,3......)。以R为搜索半径，得到改进的“圆周假设”模型：

minR

s.t. (x?xn)2?(y?yn)2?R2n?1,2,3.......

但是，如果罪犯为了避免在居住地附近作案而故意到距离居住地很远的地方作案，就会导致该模型偏差较大，因此，在实际操作中应先剔除这些作案地点使得模型更为准确。

模型二 中心图解法

按地图将连环杀人案发地点在坐标图中中标出，这时就可得到每个案发地点的坐标(xn,yn)。求所有横坐标之和，除以案件地点总数；求所有纵坐标之和，除以案件地点总数即可得到空间平均值，即罪犯极可能就藏匿在空间平均值附近。 空间平均值计算公式为：

(SMx,SMY)

在此：

SMx?[?xn]/N

n?1ccSMy?[?yn]/N

n?1SMx 是空间平均值x轴坐标； SMy 是空间平均值y轴坐标；

N 是指案发地点总数；

xn,yn 是指第n个犯罪地点的坐标。

得到的(SMx,SMY)即为所有犯罪地点通过中心图解法算出的中心，也就是预测的可能居住地。

模型三 改进最匹配圆模型

确定居住地范围的一种可行方法为最匹配圆法，通过三个点确定的最匹配圆很不稳定，只要其中一点稍微有变动就可能造成最匹配圆划定的范围变化很大，如图2，当a点稍微变动到a,点就会导致最匹配圆半径变化巨大。

a

a,

图2

因此，需要对最匹配圆模型进行改进得到改进最匹配圆模型。

通过matlab构造关于案发地点的直角坐标系，并使案发地点全部落在第一象限，求出每个案发地的坐标(xi,yi)（i=1,2,3……）。以x,y轴为边做一个最小的矩形S使得所有

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案发地点都被包含在S内。

设S内任意一点A (x,y),求A到所有案发地点的距离之和L。遍历S中所有点找出使得L最小的点A(x,y)。即：罪犯极可能居住在A点附近。

L??(x?xn)2?(y?yn)2(n?1,2,3.......)

i?1Nr?L/2.5N

N 是案发地点数目；

r 是最匹配圆的半径，也是下面Rossmo公式的缓冲半径。

模型四 Rossmo公式预测犯罪人居住地模型 根据参考文献【1】，Rossmo公式构造的模型是一种被普遍用来预测罪犯居住地的方法。首先将需要处理的地区划分为i?j个小区域，运用Rossmo公式求得罪犯居住地在第ij个小区域的可能性，以此来确定罪犯的最可能的居住地范围。 Rossmo 公式：

N???(1??)(Bg?f)Pij?k??? fg?(2B?|xi?xn|?|yi?yn|)?n?1?(|xi?xn|?|yi?yn|)?0????1B=r?L/2.5n

|xi?xn|?|yi?yn|?B|xi?xn|?|yi?yn|?B

Pij 是居住地在区域ij的可能性；

N 是案件发生总数； xi,yi 是区域ij的坐标；

xn,yn 是第n个犯罪地点的坐标；

B 是缓冲区域的半径，即最匹配圆半径； ? 是一个权重系数；

k 是一个经验决定的常数；

f，g 是一个经验决定的指数，用来调节距离影响； r 是最匹配圆半径。

通过Rossmo公式，可以得到罪犯居住地在各个小区域的可能性矩阵Pij，

令k?1得到Pij矩阵，但是对于不同案件Pij的最大值不同导致Pij元素范围不同，这会使得最后得到的概率分布图差别很大，因此需要将Pij中的元素统一变换到[0,1]区间内。具体过程如下

令：h?1

maxPij??0,1?

则：Pij=Pij?h?1 即：Pij=

Pij?minPij1?minPij根据处理后的Pij矩阵通过malab画出概率分布图

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