湖南工业大学2014年电磁场与电磁波考试试卷

湖南工业大学2014年电磁场与电磁波考试试卷

（考后整理）共八道大题，每题14分左右

1 给定三个矢量A、B和C如下：

A ex ey2 ez3

B ey4 ez

C ex5 ez2

求：（1）A B；（2） AB；（3）A B ；

（1）

A B (ex ey2 ez3) ( ey4 ez) ex ey6 ez4 AB 1

cos （2）由 ，得 AB cosAB

AB( 135.5

exeyez

（3）A B 12 3 ex10 ey1 ez4

0 41

1 2E

2、 证明：在无源的真空中，以下矢量函数满足波动方程

E 22 0，其

c t

12

c 中，E0为常数。

2

0 0

（1）

E exE0cos( t

2

c

z)

；

2

2

解 （1） E exE0 cos( t z) exE02cos( t z)

c zc

ex()2E0cos( t z)

cc

2 2 2

E eEcos( t z) e Ecos( t z) x0x0 t2 t2cc

故

1 2E 1

E 22 ex()2E0cos( t z) 2[ ex 2E0cos( t z)] 0

c tcccc

1 2E2

即矢量函数E exE0cos( t z)满足波动方程 E 22 0。

cc t

2

2

3、 已知标量函数

xyz，求u在点(2,3,1)点处沿指定方向

el exey ez的方向导数。

2 2 2

e(xyz) e(xyz) e(xyz) 解 xyz

x y zex2xyz e

yx2z ezx2y

e

y ez故沿方向el ex的方向导数为 2

2

el

l点(2,3,1)处沿el

的方向导数值为

l

4、 电荷Q均匀分布在半径为a的导体球面上，同样以匀角速度 绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解 导体球面的上电荷面密度为

Q

4 a2

以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为 ，则P点的线速度为

v r e asin

故导体球面上的面电流密度为

QQ

asin esin JS v e

4 a24 a

5、 一个半径为a的导体球带电荷量为q ,当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时（如题2.16图所示），试求球心处的磁感应强度B

q

解 导体球面上的面电荷密度为 S ，当球体以均匀

4 a2

角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r era点处的电流面密度为

JS Sv Sω r Sez era

q

e Sasin e sin

4 a

将球面划分为无数个宽度为dl ad 的细圆环，则球面上任

一个宽度为dl ad 细圆环的电流为

q

dI JSdl sin d 题2.16图

4

该细圆环的半径为b asin ，细圆环平面到球心的距离d acos ，利用电流圆

环的轴线上任一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为

dB ez

0b2dI

2(b2 d2) 0 qa2sin3 d 0 qsin3 d

ez ez 22222

8 (asin acos )8 a

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

0 qsin3 q

B dB ezd ez0

08 a6 a

6、 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l0。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位 ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场

E

。

解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为

LL2

(r,0)

L

l0ln(z

4 0L2

L r

l0 l0

4 0

2 0

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元

题3.8图

l0dz 在点P的电场为

dE erdEr er

l0rdz

e r

2 0(r2

z 2)故长为L的线电荷在点P的电场为

L2

E dE e

r

2

l0rdz

2

20(r z)

l0

er2 0r

L2

er

只求了第一份

6.2 一均匀平面波沿+z方向传播，其电场强度矢量为

Ei ex100sin( t z) ey200cos( t z)V/m

（1）求相伴的磁场强度 ； 解：(1) 电场强度的复数表示 则

j j z2

Ei ex100ee ey200e j z

j 1 1 Hi(z) ez Ei ( ex200ej z ey100ej ze2)

0 0

写成瞬时表达式

Hi(z,t) Re[Hi(z)ej t]

1 [ ex200cos( t z) ey100cos( t z )] 021

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