1.1探索勾股定理教案

1.1探索勾股定理

教材

义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。教学目标

1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点

重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

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难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 教学方法

选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。 教具准备

多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程

一、创设情境，引入新课

（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。

（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以

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景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。） 二、师生互动，探究新知

活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？

（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多 媒体演示）

（过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于 下面图2中的正方形C， “数方格子”的方法还行得通吗？下面我们 一起来研究。

活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？ 你是怎样得出结果的呢？

（师）我们用数方格子的方法能算出正方形C的面积吗？参考弦图，你想到什么好方法了吗？（引出“割”法）

大家想一想还有没有其它方法呢？受“割”法的启示，我们能通过“补”的方法得出结论吗？

（生）独立思考，在预先准备的方格纸上将图形剪一剪、拼一拼，用分割成四个全等直角三角形的方法或将正方形C补成边长为整数的大正方形的方法求出斜边上的正方形C的面积。接着将成果与同伴交流，学生代表发言。

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活动3：

分工1：（如图3）请每个小组两名组员试着将手中的已剪好的四个全等的四边形拼成正方形B。

分工2：（如图4）另两名组员再将同样的四个四边形和正方形A一起拼成一个大正方形C。

图3 图4 思考：

1、等腰直角三角形

（师）观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和已计算的正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系？

[来源:Z,xx,k.Com]②

② ③

①

A

④

③

①

④

正方形

三角形 A 的形状 面积 一般直角 三 角 形 正方形 B 面积 正方形C 面积

结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积

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2、直角边长为整数的一般直角三角形

（师）观察图6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？

[来源:学科网]正方形 三角形 的形状 等腰直角 三 角 形 正方形A B 面积 面积 面积 正方形C

结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积

3、任意直角三角形

（师）那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗？（出示图7）

生合作：试着将已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如图7所示的图形。

C

A

B

A

② ③

① ④

C

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图7 图8

（师）同学们从活动中都得出正方形A、正方形B、正方形C面积有什么关系？ （生）小组交流，学生代表发言。

结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积

师点拨：这里的四个全等的四边形是正方形B按如图8所示的方法分割的。

师小结：通过以上活动，我们发现以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积。

（师）下面我们运用几何画板进一步验证上面的结论（改变直角三角形的三边长度，同学们发现结论仍然成立）。

4、正方形面积与直角三角形三边关系

（师）若我们设两条直角边长分别为a、b，斜边为c，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？（将正方形的面积和三角形的边长联系起来） （生）正方形A面积为a，正方形B面积为b，正方形C面积为c。 （师）你发现直角三角形三边长度之间有什么联系？ （生）分组讨论，交流并发言。

结论：由于 正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积，所以 a+ b= c即

两条直角边的平方和等于斜边的平方。 5、认识直角三角形三边关系

（师）利用几何画板展示任意直角三角形，我们发现：无论三边长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边平方。

（师）请将上述结论用数学语言表述并符号化。

（生）学生讨论，交流并发言。

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a + b = c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（师）在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为\勾\，下半部分称为\

股\。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理”。再请学生看一看，读一读：早在三千多年前周朝数学家商高就提出勾三、股四、弦五，并在后来被记载在中

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