四边形动点问题+图形的相似+函数与图形

教育学科教师辅导讲义

学 授课类型 教学目的 T：四边形的动点问题 T：图形的相似 T：函数与图形 掌握规律探讨型问题一般思路与压轴题的解题方法 教学内容 四边形动点问题 对于动点问题，分析点的运动过程，用时间t表示每个线段，结合相似或全等去求解。 例：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒). （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形． （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？ （3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． - 1 -

1.如图2已知正方形ABCD的边长为8M在DC上且DM=2N是AC上的一动点 DN+MN的最小值

2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问： （1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？ （2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？ （3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？ （4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． (1)当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC； （3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式； 4.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的 - 2 -

直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． （1）在图1证明：BF=CG； （2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由． 5.如图①,在Rt△ABC中，∠C=90o,AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）. (1)直接用含t的代数式分别表示：QB=__________,PD=___________. (2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度; 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D

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B Q D C P 第21题图① A 运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长． （2）当MN∥AB时，求t的值． （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． A D N B C M 7.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．

图形的相似 - 4 -

遇到等积式的证明一般都从相似去入手，要善于寻找题目中隐藏的条件，特别是角的转化。 例题1：如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ； （2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ 1如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. - 5 -

(1) 求证：AMHG?; ADBC(2) 求这个矩形EFGH的周长. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12． 13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； （2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 3（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：DPPE． ?BQQC（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； 2 ②如图3，求证MN=DM·EN． - 6 -

4（本题满分12分，其中第（1）小题2分，第（2）小题5分，第（2）小题5分） 如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外侧作Rt△ABE和Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q， （1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形， 直接写出EP与FQ有怎样的数量关系； （2）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB=k AE，AC=k AF时， EQAPF（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立， 请探究EP与FQ有怎样的数量关系？ （3）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB=k AE，AC=mAF时， B GC联结EF交射线GA于点D，试探究ED与FD有怎样的数量关系？ E Q A P F B G C 函数与图形 - 7 -

函数与图形的到题目综合性较高，一般以压轴题的形式出现，要求学生要注意小知识点之间的联系，例如韦达定理与二次函数，面积与高、底的关系，一次函数与圆的位置关系。 例一：使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数说1是函数y?x?1，令y?0，可得x?1，我们就y?x?1的零点．请根据零点的定义解决下列问题： ． y?x2?2mx?2(m?3)（m为常数）已知函数（1）当m=0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且1?1??1，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），x1x24点M在直线y?x?10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式． 1、已知m?0，点E的坐标为??3，0?，关于x的二次函数y??3?x?m??x?3m?图象的顶点为M，图象交3m- 8 -

x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，其圆心为C． （1）写出A、B、D三点的坐标（可用含m的代数式表示）； （2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系？ （3）连接ED，当m变化时，试用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图． y S M D A B O C x m O E 图14 图15 222.已知抛物线Y=x+mx一2m(m≠0)． (1)求证：该抛物线与X轴有两个不同的交点； (2)过点P(0，n)作Y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由． 3、如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 （1）当t=4时，求S的值 （2）当4?t???，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

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4、如图13，二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为2图11 5。 4（1）求该二次函数的关系式； （2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 5、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C1x＋b交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； 不重合），过点D作直线y＝－（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. y C O D B E A x - 10 -

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