海淀区高三年级第二学期期中练习（理）答案

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（理）

答案及评分参考 2011．4

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70?； 3 12.

12 13. ① ③ 14. (2,4); 3

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15.（共13分） 解：（I）因为tanB?12，tanC?13,tan(B?C)?1?1213?13tanB?tanC1?tanBtanC, ???????1分

代入得到，tan(B?C)?21??1 . ???????3分

因为A?180??B?C , ???????4分 所以tanA?tan(180?(B?C))??tan(B?C)??1. ???????5分 （II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB?12?tanC?13?0，所以0?C?B?90??? . ????8分

所以sinB?由

asinA?c55,sinC?1010. ????9分

sinC得a?5， ???????11分

所以?ABC的面积为：

16. （共14分）

12acsinB?12. ??????13分

AD解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC，

∴AD//BC.

又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，

∴四边形ADGB是平行四边形，

∴ AB//DG. ?????2分 ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，

∴AB//平面DEG. ???????4分

(Ⅱ) 解法1

证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB， ∴EF?AE， 又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，

∴AE?平面BCFE. ?????????5分

过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.

∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分 ∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形， ∴EH?AD?2，

∴EH?BG?2，又EH//BG,EH?BE，

∴四边形BGHE为正方形，

∴BH?EG， ?????????7分

又BH?DH?H,BH?平面BHD，DH?平面BHD,

∴EG⊥平面BHD. ?????????8分 ∵BD?平面BHD,

∴BD?EG. ?????????9分 解法2

∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF?AE，EF?BE，

又AE?EB,

∴EB,EF,EA两两垂直. ????????5分 以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2）， G（2，2，0）. ??????????6分 ????????∴EG?(2,2,0)，BD?(?2,2,2)，???7分

xBEEHFBGCzADFyGC

????????∴BD?EG??2?2?2?2?0, ???8分

∴BD?EG. ??????????9分

(Ⅲ)由已知得EB?(2,0,0)是平面EFDA的法向量. ??????????10分

????????设平面DCF的法向量为n?(x,y,z)，∵FD?(0,?1,2),FC?(2,1,0)，

????????y?2z?0?FD?n?0∴??????，即?，令z?1,得n?(?1,2,1). ??????????12分

?2x?y?0??FC?n?0????设二面角C?DF?E的大小为?， 则cos??cos?n,EB???????226??66， ??????????13分

∴二面角C?DF?E的余弦值为?17. （共13分）新 课标 第 一网

66. ??????????14分

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ??????????1分

事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2分

p(A)?610?410?23?1315 ??????????4分

(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.

P(X?0)?C4C6C10C4C6C31012330?13012,P(X?1)?C4C6C10C4C6C31003321?31016,

P(X?2)??,P(X?3)??. ??????8分

X P 0 1301 3102 123 16 ?????9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ?????10分 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，P(B)?

18. （共13分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)， ?????????1分

131?()?. ?????13分 3038101

当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?x f?(x) f(x) (0,1) 1x?x?1x ， ?????????2分

1 0 极小 (1,??)

?????????3分

— +

所以f(x)在x?1处取得极小值1. ?????????4分 （Ⅱ）h(x)?x?h?(x)?1?1?ax21?ax2?alnx，

?(x?1)[x?(1?a)]x2?ax?x?ax?(1?a)x2?????????6分

①当a?1?0时，即a??1时，在(0,1?a)上h?(x)?0，在(1?a,??)上h?(x)?0， 所以h(x)在(0,1?a)上单调递减，在(1?a,??)上单调递增； ?????????7分 ②当1?a?0，即a??1时，在(0,??)上h?(x)?0，

所以，函数h(x)在(0,??)上单调递增. ?????????8分 （III）在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，即

在?1,e?上存在一点x0，使得h(x0)?0，即 函数h(x)?x?1?ax?alnx在?1,e?上的最小值小于零. ?????????9分

由（Ⅱ）可知

①即1?a?e，即a?e?1时， h(x)在?1,e?上单调递减， 所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)?e?因为

e?1e?121?ae?a?0可得a?e?1e?12，

?e?1，所以a?e?1e?12； ?????????10分

②当1?a?1，即a?0时， h(x)在?1,e?上单调递增，

所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)?1?1?a?0可得a??2； ?????????11分 ③当1?1?a?e，即0?a?e?1时， 可得h(x)最小值为h(1?a)， 因为0?ln(1?a)?1，所以，0?aln(1?a)?a 故h(1?a)?2?a?aln(1?a)?2

此时，h(1?a)?0不成立. ?????????12分 综上讨论可得所求a的范围是：a?

19. （共14分）

e?1e?12或a??2. ?????????13分

解：（Ⅰ）由已知可得e?322a?ba222?141，所以3a2?4b2 ① ?????1分

94b2 又点M(1,)在椭圆C上，所以

a2??1 ② ?????2分

由①②解之，得a2?4,b2?3.

x2 故椭圆C的方程为

4?y23?1. ?????5分

(Ⅱ) 当k?0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m??32，所以|OP|?3. ??6分

?y?kx?m,当k?0时，则由?2 2?xy??1.?3?4消y化简整理得：(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0，

??64km?4(3?4k)(4m?12)?48(3?4k?m)?0 ③ ?????8分 (x2,y2)、(x0,y0)，则 设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、x0?x1?x2??8km3?4k2222222,y0?y1?y2?k(x1?x2)?2m?6m3?4k2. ?????9分

由于点P在椭圆C上，所以

x042?y032?1. ?????10分

从而

16km2222(3?4k)?12m222(3?4k)?1，化简得4m?3?4k，经检验满足③式. ???11分

22 又|OP|?x?y?202064km2222(3?4k)?36m222(3?4k)

?4m(16k?9)(3?4k)34k?31222222?16k?94k?322 ?4?. ?????????12分

3434k?32 因为0?k?，得3?4k?3?4，有

2??1，

故3?OP?132. ?????????13分

综上，所求OP的取值范围是[3,132]. ?????????14分

(Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，

?3x12?4y12?12①由A,B在椭圆上，可得? ?????????6分 22?3x2?4y2?12②①—②整理得3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0③ ?????????7分 ?????????????x1?x2?x0④由已知可得OP?OA?OB，所以? ????????8分

y?y?y⑤20?1由已知当k?y1?y2x1?x2 ,即y1?y2?k(x1?x2) ⑥ ?????????9分

把④⑤⑥代入③整理得3x0??4ky0 ?????????10分

22与3x0?4y0?12联立消x0整理得y0?294k?32 ????????11分

22由3x0?4y0?12得x0?4?2432y0，

22所以|OP|?x0?y0?4?因为k?12222243y0?y0?4?34?13y0?4??1，

234k?32 ????????12分

，得3?4k?3?4，有

13234k?32故3?OP?. ?????????13分

所求OP的取值范围是[3,20. （共13分）

132]. ?????????14分

解：（1）根据题设中有关字母的定义，

k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)

b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)

g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.

（2）一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm?1?n， 故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1) ① ???????7分 另一方面，设整数M?max?a1,a2,?,an?，则当m?M时必有bm?n， 所以g(1)?g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)??

所以g(m)的最小值为g(M?1). …………………9分 下面计算g(M?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)

?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)

?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM) ??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM) ??(a1?a2?a3???an)?bM ??(a1?a2?a3???an)?n

…………………12分

∵a1?a2?a3???an?n?100 ， ∴g(M?1)??100,

∴g(m)最小值为?100. …………………13分

说明：其它正确解法按相应步骤给分. 新 课 标第 一网

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