配套K12高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得|b|=|a|-2a·b+|b|, ∴a·b=

12

|a|. 22

2

2

2

而|a+b|=|a|+2a·b+|b|=3|a|, ∴|a+b|=3|a|.

设a与a+b的夹角为θ，则

1|a|2a(a?b)32??cosθ=. |a||a?b|2|a|?3|a||a2|?∴θ=30°

解法2：

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 教案试题

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∵|a|=|b|,∴x1+y1=x2+y2. 由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=即a·b=

2

2

2

2

2

122

(x1+y1). 2122

(x1+y1). 22

2

由|a+b|=2(x1+y1)+2×

1222222

(x1+y1)=3(x1+y1),得|a+b|=3x1?y1. 212222(x1?y1)?(x1?y1)a?(a?b)32设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=. ??2222|a||a?b|2x1?y1?3?x1?y1∴θ=30°.

解法3：根据向量加法的几何意义，作图如右图

在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB. ∵|a|=|b|,即|OA|=|OB|，

∴平行四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB. 这时OC=a+b，BA=a-b. 而|a|=|b|=|a-b|, 即|OA|=|OB|=|BA|.

∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°.

于是∠AOC=30°,即a与a+b的夹角为30°. 温馨提示

基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解. 3.平面向量数量积坐标表示的综合应用 【例3】已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）. （1）求证：AB⊥AD；

（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值. 思路分析：本题主要考查向量垂直的等价条件及夹角公式.要证明AB⊥AD，只需证

AB·AD=0.在AB⊥AD的前提下，只要找点C使AB=DC.

(1)证明：∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴AB=(1,1),AD=(-3,3), 又AB·AD=1×(-3)+1×3=0, 教案试题

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∴AB⊥AD.

(2)解：∵四边形ABCD为矩形且AB⊥AD， ∴AD=BC.

设点C的坐标为（x,y）, 则（-3，3）=（x-3,y-2）, ∴???3?x?3,?x?0,∴?

?3?y?2,?y?5.∴点C坐标为（0,5）.

又∵AC=（-2，4），BD=（-4，2）， ∴AC·BD=（-2）×(-4)+4×2=16, 而|AC|=(?2)?4?25， |BD|=(?4)?2?25. 设AC与BD的夹角为θ，则 cosθ=2222AC?BD|AC||BD|?1625?25?4. 5∴该矩形两对角线所成锐角的余弦值为

4. 5温馨提示

(1)注意区分两向量平行与垂直的条件.

(2)向量的运算可以用坐标表示，向量中的位置关系（平行和垂直）也可用坐标表示，向量中的度量（模长和夹角）也可用坐标表示，而且使用起来非常方便，所以同学们要熟练掌握利用坐标法解决有关问题. 各个击破 类题演练1

已知a=(k,-2),b=(2k,k+1),求实数k的值,使a⊥b. 解：(1)∵a⊥b,∴a·b=0. ∴k·2k+(-2)(k+1)=0, 2

k-k-1=0. ∴k=

1?5. 2变式提升1

（2005重庆文，4）设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则（a·b)(a+b）等于（ ）

A.（1，1） B.（-4，-4） C.-4 D.（-2，-2） 解析：（a·b)(a+b） 教案试题

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=［-1×2+2×（-1）］（-1+2，2-1） =-4（1，1）=（-4，-4）. 答案：B 类题演练2

已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π),求证：a+b与a-b互相垂直. 证法1：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴(a+b)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ), (a-b)=(cosα-cosβ,sinα-sinβ). 又（a+b)·(a-b）

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+ (sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

2222

=cosα-cosβ+sinα-sinβ=0, ∴(a+b)⊥(a-b).

证法2：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

222

∴|a|=cosα+sinα=1,

222

|b|=cosβ+sinβ=1.

22

∴|a|=|b|.

2222

∴(a+b)(a-b)=a-b=|a|-|b|=0, ∴(a+b)⊥(a-b). 变式提升2

（1）已知向量a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb与b的夹角为45°，求实数t的值. 解：a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5. |a+tb|=(4?2t)?(t?3)?225(t?1)2?20

由（a+tb）·b=|a+tb||b|cos45°,得 5t+5=

2

52(t?1)2?4, 2即t+2t-3=0,∴t=-3或t=1.

经检验知t=-3不合题意，舍去,∴t=1.

（2）如右图所示以原点和A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠OBA=90°,求点B和向量AB的坐标.

解：设B点坐标为(x,y),则OB=（x,y）,AB=(x-5,y-2). ∵OB⊥AB, ∴x(x-5)+y(y-2)=0. 教案试题

最新K12教育 x+y-5x-2y=0① 又∵|OB|=|AB|, ∴x+y=(x-5)+(y-2),② 即10x+4y=29. 由①②，得

2

2

2

2

2

2

73??x?,x?,???12?22或? ??y??3.?y?7.12??22??7337，?）或（，）. 22223773∴AB=(?,-)或AB=（-，）.

2222∴B点坐标为（

类题演练3

已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.

解：建立如右图所示的坐标系，则A（4，0），B（0，6），E（2，0），F（0，3）.

AF=(-4,3),BE=(2,-6),|AF|=5,| BE|=210,

cos∠AO′B=AF?BE|AF||BE|??261010??1310. 50∴两中线所成钝角的余弦值为变式提升3

1310. 50（1）直角坐标平面xOy中,若定点A（1，2）与动点P（x,y）满足OP·OA=4，则P点的轨迹方程是______________________. 解析：OP·OA=（x,y）·(1,2)

=x+2y=4. 答案：x+2y=4

(2)已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则△ABC的形状为（ ）

A.直角三角形 B.等腰三角形 教案试题

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C.等腰直角三角形 D.A、B、C均不正确 解析：AB=（3，-1），AC=（-1，-3）,

∵AB·AC=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴AB⊥AC, 又∵|AB|=|AC|=10, ∴△ABC为等腰直角三角形. 答案：C

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