2016届浙江省杭州高级中学高三上学期第三次月考理数试题 解析版

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项

是符合题目要求的.

1.设集合A?yy?sinx,x?R，集合B?xy?lgx，则(CRA)?B为（ ） A .(??,?1)?(1,??) B. [?1,1] C. (1,??) D. [1,??) 【答案】C 【解析】

试题分析：根据题意可以求得A?[?1,1]，B?(0,??)，从而求得(CRA)?B?(1,??)，故选C.

考点：函数的定义域，值域，集合的运算.

2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

????

313A.1 B.2 C.2 D.4

【答案】C

考点：根据几何体的三视图，还原几何体，求其体积.

3.已知a,b?R，条件p：“a?b”，条件q：“2a?2b?1”，则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

考点：充要条件的判断. 4.函数y?xaxx(a?1)的图像的大致形状是（ ）

A B C D 【答案】B 【解析】

x??a,x?0试题分析：化简函数解析式可得y??x，结合底数a?1，可以判断正确结果是B，

???a,x?0故选B.

考点：函数图像的选取.

【方法点睛】该题考查的是有关图像的选取问题，在做题的过程中，需要先化简函数解析式，式子中含有绝对值符号时，需要先将绝对值符号去掉，对自变量的范围进行讨论，将式子化

x??a,x?0为y??x，结合底数的取值范围，利用指数函数的图像，可以确定出该函数的图

???a,x?0像，从而找到正确的答案，在选择函数图像时，一般把握住函数的定义域，对称性，单调性，周期性，以及所过的特殊点，就可以选出正确的结果. 5.将函数y?2sin(?x??4)(??0)的图像分别向左、向右各平移

?个单位长度后，所得的4两个图象对称轴重合，则?的最小值为（ ）

1A.2 B.1 C.2 D.4

【答案】C 【解析】

试题分析：根据题意，可以断定该函数的周期最大为2?考点：函数图像的变换，函数的性质.

?2??，此时有??2，故选C.

g(x?3)?1(a?0,且a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线6.函数y?loamx?ny?1?0上，其中m，n均大于0，则

12?的最小值为（ ） mnA.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C

考点：基本不等式.

????????????????????A,B,CAB?2CA?3CB7.若三点不共线，，，则CA?CB的取值范围是（ ） 3131(,3)(,3)(?,3)(?,3)A.4 B.4 C.3 D.3

【答案】B 【解析】

????????????试题分析：设CB?x，则CA?3CB?3x，由于A,B,C三点不共线，能构成三角形，

?x?3x?2

1?

由三角形三边关系，可得?3x?2?x，解得?x?1，由余弦定理可得

2?x?2?3x

?

AC2?BC2?AB2x2?9x2?4cosC?2? 22AC?BC6x2????????1310x2?4210x?42?x?1??5x2?2?3，?CA?CB?3x??5x?2，所以，由得，22246x6x故选B.

考点：三角形三边关系，余弦定理，向量的数量积.

【思路点睛】根据题中的条件，三点不共线，从而得知三点可以构成三角形，先设出边长

????????1CA?3CB?3x，利用三角形三边关系，确定出?x?1，最后利用余弦定理，求得两

2????????向量的夹角的余弦值，利用向量数量积的定义式，将CA?CB转化为关于x的式子，最后将

问题转化为二次函数在某个区间上的值域问题来求解，从而求得结果.

x2y28.已知F1、F2分别是双曲线C:2?2?1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落

ab在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则C的离心率为（ ）

3 B.3 C.2 D.2

【答案】D

考点：双曲线的离心率.

【思路点睛】根据点关于直线的对称点问题，可知OA?OF2，根据圆的性质可得FO?F1A，1进一步得到?AFO?60，从而得到1是等边三角形，根据等边三角形的性质，可知?AFO1?

?AOF2?120?，根据对称性，可知双曲线的渐近线是?AOF2的角分线，从而得到渐近线

的倾斜角是60，从而得出

?b?tan60??3，结合a,b,c的关系，从而求得离心率. a第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）

9.设数列?an?是公差不为0的等差数列，a1?1且a1,a3,a6成等比数列，则数列?an?的公差d?_____，前n项和Sn?__________. 【答案】

1127，n?n 488【解析】

22试题分析：根据题意有(1?2d)?1?(1?5d)，整理得4d?d?0，因为d?0，所以d?1，4利用等差数列求和公式，求得Sn?n?考点：等差数列，等比数列.

n(n?1)1127??n?n. 24880,2).若线段FA的中点B在抛10.设抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，准线为l，点A(物线上，则F到l的距离为______，FB?_______. 【答案】2，【解析】

试题分析：根据题意，线段FA的中点为B(32 4pp,1)，所以有1?2p?，解得p?2，所以44pp3F到l的距离为p?2，FB???2. 424考点：抛物线的有关性质. 11.已知??(???1?,)，且sin(??)?，则sin??_____，cos(??)?_____. 62633【答案】

3?22?1，

36

考点：和差角公式，诱导公式.

?3x?y?0?P(x,y)12.已知点A(3,3)，O为坐标原点，点满足?x?3y?2?0，则满足条件点P所

?y?0?形成的平面区域的面积为______，OP在OA方向上投影的最大值为______. 【答案】3，3

考点：线性规划.

13.已知P为△ABC内一点，且5AP?2AB?AC?0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于_______.

【答案】

2 5【解析】

?2????1???????????????????试题分析：根据题意有5AP?2AB?AC，AP?AB?AC，延长AP交BC于D，

55?2????1????????5???2则有AP?AB?AC?AD，从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD?CB，

3333232设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为?d?d，所以?PAC的面积

3552与?ABC的面积之比.

5考点：向量的性质，三角形的面积. 14.已知ex?x3?x?1?0，【答案】1

1?27y3?3y?1?0，则ex?3y的值为_____. 3ye

考点：函数的性质.

【方法点睛】该题可以从两个方程中寻找相似的地方，显然后一个式子中是将?3y代替前一个式子中的x所得，从而可以确定出x与?3y是方程e?m?m?1?0的两个根，不难发现函数f(m)?e?m?m?1是单调增函数，从而说明x??3y，从而求得x?3y?0，最后求得结果，在解题的过程中，需要构造新函数，应用方程的思想，解决问题. 15.一个直径AB?2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使

m3m3AS?AB，C为半圆上一个动点，N,M分别为A在SC,SB上的射影.当三棱锥S?AMN的体积最大时，?BAC的余弦值为____. 【答案】【解析】

3 3

试题分析：如下图所示，SA?平面ABC，BC?平面ABC，所以SA?BC，又由

BC?AC，SA?AC?A，SA,AC?平面SAC，所以BC?平面SAC，又由AN?平

面SAC，所以BC?AN，又由AN?SC，SC?BC?C,SC,BC?平面SBC，所以

AN?平面SBC，

又由SB?平面SBC，所以AN?SB，又由AM?SB,AN?AM?A,AM,AN?平面

AMN，所以

SB?平面AMN，即SM为三棱锥S?AMN中平面AMN上的高，因为SA?AB?2，

所以

AM?SM?2，而AN?MN，故?AMN是斜边为2的直角三角形，故当

AN?MN?1时，?AMN的面积S取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的

边长，可以求得AC?23，所以 3cos?BAC?AC3?. AB3考点：垂直关系的转换.

【思路点睛】该题需要求的是?BAC的余弦值，需要将其放在三角形中，根据三角函数的定义式，可以将其转化为边的比值，所以最后的目标锁定在边AC的长度上，根据题中所给的条件，可以确定出BC?平面SAC，进一步确定出AN?平面SBC，再求得SB?平面

AMN，从而得到SM为三棱锥S?AMN中平面AMN上的高，所以三棱锥的高已经成定

值，要使棱锥的体积最大，只要底面三角形的面积最大即可，因为底面三角形是斜边确定的直角三角形，根据基本不等式可以确定等腰直角即可，最后再求得相应的边长，从而得到答

案.

三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（1）求角C； （2）求

a?csinA?sinB?. bsinA?sinCa?b的取值范围. c【答案】（1）C?（2）(1,2].

?3；

考点：正弦定理，余弦定理，三角函数的综合问题.

17.如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA?平面ABCD，M是棱

PD的中点，且PA?AB?AC?2，BC?22.

（1）求证：CD?平面PAC；

（2）求二面角M?AB?C的大小；

（3）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为值.

AN10，求的

NB5

【答案】（1）证明见解析； （2）

?； 4（3）1. 【解析】

试题分析：第一问连结AC，由已知数据和勾股定理可得AB?AC，可得AC?CD，再由线面垂直关系可得，第二问如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面

MAB的法向量，根据图中的条件，得出平面ABC的法向量，利用法向量所成角的余弦值，

从而进一步求得二面角的大小，第三问先设出点N的坐标，根据线面角的余弦值，建立x所满足的等量关系式，最后求得结果.

?x?0?令y?1，则?y?1，

?z??1?所以平面MAB的法向量n?(0,1,?1)．

因为PA⊥平面ABCD，所以AP?(0,0,2)是平面ABC的一个法向量． 所以cos?n,AP??n?APAPn??22??．

22?2因为二面角M?AB?C为锐二面角，所以二面角M?AB?C的大小为

?． 4

考点：垂直关系的证明，二面角，线面角. 18.已知a?0，函数f(x)?xx?a.

（1）当a?2时，写出函数y?f(x)的单调递增区间； （2）求函数y?f(x)在区间[0,2]上的最大值. 【答案】（1）(??,1],[2,??)；

?2(2?a),0?a?4(2?1)?2?a（2）g(a)??,4(2?1)?a?4.

4??2(a?2),a?4?【解析】

试题分析：第一问将a?2代入函数解析式，并将解析式化简，结合二次函数的性质，确定出函数的单调增区间，第二问先化简函数解析式，之后判断出函数在相应区间上的单调性，从而结合a的取值范围，分析函数在区间[0,2]上的最大值在哪个点处取得，再求得对应的边界值，最后将函数的最大值表示为关于a的分段函数.

试题解析：（1）当a?2时，f(x)??区间为(??,1],[2,??)；

?x(x?2),x?2，由二次函数的性质可知，函数的增

?x(2?x),x?2考点：二次函数的性质，分类讨论思想.

【方法点睛】该题属于分段函数的问题，对于含有绝对值符号的式子，在求解的过程中，需要去绝对值符号，将函数解析式进行化简，第一问将a?2代入解析式，之后结合二次函数的图像，结合自变量的取值范围，最后确定出函数的单调区间，第二问结合参数的取值范围，结合研究的区间，通过函数图像的走向，对参数的取值范围进行讨论，分析最值出现的位置，即可求得结果.

x219.如图，以椭圆2?y2?1(a?1)的右焦点F2为圆心，1?c为半径作圆F2（其中c为已

a知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T. （1）若a?5，P为椭圆的右顶点，求切线长PT； 4（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k?0)的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA?OB，且PT?3(a?c)恒成立，求直线l被圆F2所截得弦长的最大值. 2

【答案】（1）

34；（2）

24141.

2a2k2a2k2?a2则有x1?x2?22，x1x2?22，................................9分

ak?1ak?1k2(1?a2)可得y1y2?k[x1x2?(x1?x2)?1]?22，

ak?12

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.

20.已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足2an?1?Sn. （1）求数列?an?的通项公式；

22（2）对任意n，k?N，有??k???nan?10k?97?0，求正数?的取值范围； 4（3）设bn?an?(?1)，记Tn?【答案】（1）an?2n?1； （2）??n111????，求证：T2n?2. b1b2bn3； 2（3）证明见解析. 【解析】

1113?22n?23（3）， ??2n?2???2n?22n?222n?22n?1b2n?1b2n2?12?2?12(2)?2?12111(1?n)11111114?2(1?1)?2，于是T2n??????3(?3?5??2n?1)?3?2n1b1b2b2n222241?4结论得证.

考点：数列的通项公式，等比数列的求和公式，不等式的性质，恒成立问题的转化. 【思路点睛】该题考查的是数列的综合知识，第一问要求的是数列的通项公式，在求解的过程中，根据数列的项与和的关系，类比着写出前一个或后一个式子，两式相减即可，需要注意对n?1检验，第二问恒成立问题向最值转化，从而求得结果，第三问需要将

1b2n?1?1求b2n出，即两项合并，之后再进行适当的放缩，将其化为可求和型的式子，应用等比数列求和公式求得结果，.

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