导数及其应用曲边梯形的面积（含答案）

§1.5 定积分

曲边梯形的面积

一、基础过关

5

1．和式∑ (yi＋1)展开可表示为________________． ＝

i1

2．在区间[0,8]上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度Δx＝________，第5个小区间是____________．

3．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t (t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为____________．

4．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.

5．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 二、能力提升

6．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是________．

7．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．

ni8．∑＝________. i＝1n9．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．

10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积． 11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离． 三、探究与拓展

6

12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝2，求物体在t＝1到t＝2这段时

t

间内运动的路程s.

答案

1．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5 2.0.8 [3.2,4] 3.?4．3.92 5.52 5．55 256. 64

7．3 n＋18. 2

n＋i－1n＋i9．[，] nn10．解 令f(x)＝x2. (1)分割

将区间[0,2]n等分，分点依次为

2?n－1?24

x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.

nnn2i－22i

第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为

nn

2i2i－22Δx＝－＝. nnn(2)以直代曲、作和 2i

取ξi＝(i＝1,2，…，n)，

nnn

2i2i228n2

Sn＝∑f()·Δx＝∑ ()·＝3∑i

nni＝1i＝1ni＝1n

88n?n＋1??2n＋1?＝3(12＋22＋…＋n2)＝3· nn6431＝(2＋＋2)． 3nn(3)逼近

4318当n→∞，(2＋＋2)→，

3nn3

8

即所求曲边梯形的面积为. 3

11．解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．

i－1it

把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为[t，](i＝1,2，…，n)，

nn每个小区间所表示的时间段

iti－1tΔt＝－t＝，

nnn

在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．

(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． i－1it在[t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，

nn

i－2i－1?

?nt，nt?

i－1

可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，

n

t

因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为

n

i－1t

Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．

nn(3)求和：

i－1t

sn＝∑Δs＝∑g·t· i

nni＝1i＝1

gt2

＝2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n11＝gt2(1－)． 2n

1

(4)逼近：s＝gt2.

2

1

即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为gt2.

2

i－1i

12．解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，区间长

nn

n1

度为Δt＝，每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则sn≈?Δsi.

ni＝1

n

n

i－1

(2)近似代替：ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，

n

i－1n16n

Δsi≈v(1＋)·Δt＝6·()2·＝ nn＋i－1n?n＋i－1?2(i＝1,2，…，n)． (3)求和：

n6n6n

sn＝? 2≈?

i＝1?n＋i－1?i＝1?n＋i??n＋i－1?

n

111111＝6n(－＋－＋…＋－)

nn＋1n＋1n＋22n－12n11

＝6n(－)＝3.

n2n(4)逼近： n→∞时，s＝3.

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