数值分析习题集及答案

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简易方程练习题推荐度：
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（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）

第一章绪论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位

有效数字: *****

123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?

4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中*

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y =按递推公式

11783

100

n n Y Y -=-

( n=1,2,…)

计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y

将有多大误差?

7. 求方程2

5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

当N 充分大时,怎样求

11N

+∞+??

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2

10. 设2

12S gt

假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,

而相对误差却减小.

11. 序列{}n y 满足递推关系1101

n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10

y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12. 计算6

(21)f =-,取

2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

11,(322),

,9970 2.

(21)

(322)

--++

13. 2

()ln(1)f x x x =-

-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等

价公式

ln(1)ln(1)x x x x -

-=-+

计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组{

12121010;

x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积

1sin ,

s ab c =

其中c 为弧度,

02c π

,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证

明面积的误差s ?满足

s a b c s

b c ????≤

第二章插值法

1. 根据(

2.2)定义的范德蒙行列式,令

0112

1112

()(,,,,)11

n n n n

x x x V x V x x x x x x x x

----==

证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且

101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .

2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.

3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

x 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ln x

-0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.357765

-0.223144

4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性

插值求cos x 近似值时的总误差界. 5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求

2m ax ()

x x x l x ≤≤.

6. 设

x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) 0()(0,1,,);

k k

j j x

l x x k n =≡=∑

ii) 0

()()1,2,,).

n k

j j x

x l x k n =-≡0(=∑

7. 设

[]2

(),f x C

a b ∈且()()0f a f b =

=,求证

1()()

().

max

a x b

f x b a f x ≤≤≤≤≤

8. 在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x

e 的近似值,要使截断误差不超过

-,问使用函数表的步长h 应取多少?

9. 若2n

n y =,求4

n y ?及4

n y δ.

10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k

f x k m ?≤≤是

m k -次多项式,并且()0(m l

f x l +?

=为正整数).

11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.

12. 证明1

0010

n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑

13. 证明

n j n j y y y -=?

=?-?∑

14. 若1

011()n n

n n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明

{

0,02;, 1.

()

n k

k n a k n j j x f x -≤≤-=-==

'∑

15. 证明n 阶均差有下列性质: i)

若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;

ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .

16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ???

? 及0182,2,,2f ???? . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)

311()()()()/4!,(,)

k k k k R x f

x x x x x x ++=ξ--ξ∈

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值

的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件

(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.

20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当

n →∞时,()n x ?在[],a b 上一致收敛到()f x .

21. 设2

()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间

中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.

22. 求2

()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.

23. 求4

()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:

0.25 0.30 0.39 0.45

0.53 j

0.5000

0.5477 0.6245 0.6708

0.7280

试求三次样条插值()S x 并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=

25. 若

[]2

(),f x C

a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明

[

][][

][]2

()()()()2()()()b

b b

a a

f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx

"-"=

"-"+""-"??

??;

ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则

[][][]

()()()()()()()()()b a

S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?

26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).

第三章函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为[]

,a b 的伯恩斯坦多项式.

(b)对()sin f x x =在[]

0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数

部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.

5. 选取常数a ,使

m ax x x ax

≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7. 求()x

f x e =在[]0,1

上的最佳一次逼近多项式.

8. 如何选取r ,使2

()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?

9. 设4

()31f x x x =+-,在[]0,1

上求三次最佳逼近多项式.

10. 令

[]

()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***

0123(),(),(),()T x T x T x T x .

11. 试证{

}

*()n

T x 是在[]0,1上带权

1x x

ρ=

-的正交多项式.

12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11

()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.

13. 设()x

f x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,

若n

f L ∞

-有界,证明对任何

1n ≥,存在常数n α、n β,使

11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤

14. 设在[]1,1-上

11315165()12

384

3840

x x x x x x

?=-

,试将()x ?降低到3次多项式并估计

误差.

15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*

()n n

F x H ∈也是奇(偶)函数.

17. 求a 、b 使[]2

sin ax b x dx

+-?为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

18. ()f x 、[]1

(),g x C

a b ∈,定义

()(,)()();()(,)()()()();

b b a

a f g f x g x dx

b f g f x g x dx f a g a =

''=''+?

问它们是否构成内积? 19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计

的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.

20. 选择a ,使下列积分取得最小值:112

(),x ax dx x ax dx

----??

21. 设空间

{}{}100

101

21,,,span x span x

1?=?=,分别在1

、2?上求出一个元素,使得其为

[]2

0,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果. 22.

()f x x

=在[]1,1-上,求在{}2

1,,span x x

?=上的最佳平方逼近.

23. []

sin (1)arccos ()1n n x u x x

-是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

()()()

112n n n u x xu x u x +-=-.

24. 将1

()sin

f x x

=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并

画出误差图形,再计算均方误差.

25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.

26. 用最小二乘法求一个形如2

y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.

i x 19 25 31 38 44 i y

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:

时间t (秒)

0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s (米)

110

求运动方程.

28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51

4.58

4.62

4.64

用最小二乘拟合求()y f t =.

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图.

31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱

{}k C (0,1,

,7)

= 第四章数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精

度:

(1)101()()(0)()h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++?; (2)21012()()(0)()

h h f x dx A f h A f A f h --≈-++?; (3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++?;

(4)[][]

0()(0)()/1(0)()h f x dx h f f h ah

f f h ≈++'-

2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

(1)

4x dx n x

=+?; (2)

(1),10

dx n x

--=?; (3)9

1,4

xdx n =?; (4)2

sin ,6

dx n π

-?=?.

3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.

4. 用辛普森公式求积分1

e dx

-?并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:

(1)

()()()()()2b a f f x dx b a f a b a 'η=-+-?;

(2)

()()()()()

2b a

f f x dx b a f b b a 'η=--

;

(3)

()()()()()

b a

a b f f x dx b a f b a +"η=-+

-?.

6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()b

a f x dx

7. 用复化梯形公式求积分()b

a f x dx

?,问要将积分区间[

]

,a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不

计舍入误差)?

8. 用龙贝格方法计算积分10

e dx

,要求误差不超过5

10-.

9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是

1()sin c S a d a π

=-θθ

,这里a 是椭圆的半长轴,c

是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式

352

sin

3!5!n n

ππ

π=-

试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近

似值.

11. 用下列方法计算积分

31dy

y ?并比较结果. (1) 龙贝格方法;

(2) 三点及五点高斯公式;

(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式. 12. 用三点公式和五点公式分别求

()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ()f x 0.2500 0.2268

0.2066 0.1890 0.1736 第五章常微分方程数值解法

1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确

解bx

ax y +=221相比较。

2. 用改进的尤拉方法解初值问题 ???=<<+=',1)0(;

10,y x y x y

取步长h=0.1计算，并与准确解x e x y 21+--=相比较。

3. 用改进的尤拉方法解

?=-+=',0)0(;2y y x x y

取步长h=0.1计算)5.0(y ，并与准确解12+-+-=-x x e y x 相比较。

4. 用梯形方法解初值问题

???==+',1)0(;

0y y y

证明其近似解为 ,22n n h h y ??? ??+-=

并证明当0→h 时，它原初值问题的准确解x e y -=。

5. 利用尤拉方法计算积分

dt e x t ?

02 在点2,5.1,1,5.0=x 的近似值。 6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

1）??

?=<<+=',1)0(;

10,y x y x y

2）??

?=<<+='.1)0(;

10),1/(3y x x y y 7. 证明对任意参数t ，下列龙格－库塔公式是二阶的：

?????????

-+-+=++==++=+).)1(,)1(();

,();

,();(2

13121

321

hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n

8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：

1） ??

?????

???++=++==++=+);32,32();3

,3();,();3(4

2312

1311

hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n 2） ??

?????

???++=++==+++=+).43,43();2

,2();,();432(9

2312

13211

hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K K h y y n n n n n n n n

9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

,0)0(,1=-='y y y

取,181.0,0,2.010===y y h 计算)0.1(y 并与准确解x

e y --=1相比较。 10. 证明解),(y x

f y ='的下列差分公式

)34(4

)(2

11111-+-+'+'-'+

n n n

n n n y y y h y y y

是二阶的，并求出截断误差的首项。

11. 导出具有下列形式的三阶方法： ).(22110221101----+'+'+'+++=n n n

n n n n y b y b y b h y a y a y a y

12. 将下列方程化为一阶方程组：

1）;1)0(,1)0(,

023='==+'-''y y y y y

2）;0)0(,1)0(,

0)1(1.02

='==+'--''y y y y y y

3）

,)(,)(2

y x r r

y t y r

x t x +=-=''-

=''

.2)0(,0)0(,0)0(,4.0)0(='=='=y y x x 13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题

?===+''.68.1)1(,0)0(;0y y y y

14. 对方程),(y x f y =''可建立差分公式

,(22

11n n n n n y x f h y y y +-=-+

试用这一公式求解初值问题

?==='',0)1()0(;1y y y

验证计算解恒等于准确解

)(2

x x x y -=

15. 取h=0.2用差分方法解边值问题

?=='--=-'-''+.2)1(,1)0()0(;363)1(2y y y x y y x y x

第六章方程求根

1. 用二分法求方程012

=--x x 的正根，要求误差<0.05。

2. 用比例求根法求0s i n 1)(=-=x x x f 在区间[0,1]内的一个根，直到近似根k x 满足精度

005.0|)(|

3. 为求方程012

3=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。 1）2

/11x x +=，迭代公式2

1/11k k x x +=+；

2）2

31x x +=，迭代公式

11k

k x x +=

+；

3）

x x

，迭代公式1/11-=+k k x x 。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

4. 比较求0210=-+x e x

的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法； 2) 用迭代法10/)2(1xk

k e

x -=+，取初值00=x 。

5. 给定函数)(x f ，设对一切)(,x f x '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围内M /20<<λ的任

意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*

x 。 6. 已知)(x x ?=在区间[a,b]内只有一根，而当a

1|)(|>≥'k x ?，

试问如何将)(x x ?=化为适于迭代的形式？

将tgx x =化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。

7. 用下列方法求013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根。根的准确值*

x ＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法；

2）用弦截法，取9.1,110==x x ； 3）用抛物线法，取2,3,1210===x x x 。 8. 用二分法和牛顿法求0=-tgx x 的最小正根。 9. 研究求a 的牛顿公式

0),(2101>+

+x x a x x k

k k

证明对一切a x k k ≥

=,,2,1 且序列 ,,21x x 是递减的。

10. 对于0)(=x f 的牛顿公式)(/)(1k k k k x f x f x x '

-=+，证明

211)

/()(-----=k k k k k x x x x R

收敛到))(2/()(*

*'''-x f x f ，这里*

x 为0)(=x f 的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

????

?<--≥=;0,;

0,)(x x x x x f 2) ???

?<-≥=.0,;0,)(3

232x x x x x f

12. 应用牛顿法于方程02

=-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。

13. 应用牛顿法于方程

1)(2

a x f ，导出求a 的迭代公式，并用此公式求115的值。 14. 应用牛顿法于方程0)(=-=a x x f n

和

1)(=-

a x f ，分别导出求n

a 的迭代公式，并求

)/()(lim 2

1k n k n k x a x a --+∞

→

15. 证明迭代公式

x a x x x k k k k ++=

+22

13)3(

是计算a 的三阶方法。假定初值0x 充分靠近根*

x ，求

)/()(lim 3

1k k k x a x a --+∞

→

第七章解线性方程组的直接方法

1. 考虑方程组：

???

?-=+++=+++=+++=+++;

2557.03927.02786.04002.01784.0;4240.00643.03781.01920.03645.0;1550.01129.04015.03872.02246.0;4043.02943.03678.01234.04096.04321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a) 设A 是对称阵且011≠a ，经过高斯消去法一步后，A 约化为

??????21110

A a a T

证明A 2是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程组：

???

??-=++-=++=-+.

8621.02147.14759.08468.0;7321.14759.08423.13475.0;4127.08468.03475.06428.0321321321x x x x x x x x x

4. 设A 为n 阶非奇异矩阵且有分解式A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，求证A 的所有顺序主子式均不为零。

5. 由高斯消去法说明当)1,,2,1(0-=≠?n i i 时，则A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。

6. 设A 为n 阶矩阵，如果

,,2,1(||||1

n i a

a n

j j ij

ii =>

∑≠=称A 为对角优势阵。证明：若A 是对角优势阵，

经过高斯消去法一步后，A 具有形式

?????

?21110A a a T 。 7. 设A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为

??????21110

A a a T ，

其中;)(,)(1)

2(2-==n ij

n ij a A a A

证明（1）A 的对角元素);,,2,1(0n i a ii => （2）A 2是对称正定矩阵；（3）);,,2,1(,)

(n i a a ii n n =≤

（4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上；（5）|;

|max ||max ,2)

2(,2ij n

j i ij

j i a a ≤≤≤≤≤

（6）从（2），（3），（5）推出，如果1

.1||)

(

8. 设k L 为指标为k 的初等下三角阵，即

??????????

?????

????

?=+11

,1nk

k k m m L

（除第k 列对角元下元素外，和单位阵I 相同）

求证当k j i >,时，ij

k ij k I L I L =~

也是一个指标为k 的初等下三角阵，其中ij I

为初等排列阵。

9. 试推导矩阵A 的Crout 分解A=LU 的计算公式，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。 10. 设d Ux =，其中U 为三角矩阵。

(a) 就U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组d Ux =的乘除法次数。 (c) 设U 为非奇异阵，试推导求1

-U

的计算公式。

11. 证明（a ）如果A 是对称正定阵，则1

-A 也是正定阵；

（b ）如果A 是对称正定阵，则A 可唯一写成L L A T

=,其中L 是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A 的逆阵：

???????

???-----=5101

242170131312A 13. 用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中

??????????????=????????????????--------=00001,21

1210001210

0012100012

b A

14. 用改进的平方根法解方程组

654131

32111

2321???

?????=????????????????????---x x x

15. 下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？

.4615

1552

621,133122111,764

142

321

????

???=??????????=??????????=C B A

16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

?????

?????=????????????????????-32121

111430321x x x .

17. 如果方阵A 有

)

|(|0t j i a ij >-=，则称A 为带宽2t+1的带状矩阵，设A 满足三角分解条件，试推

导LU A =的计算公式，对.,,2,1n r =

1）

∑--=-

)

,1max(r t i k ki

ri ri u l

a u )),min(,,1,(t r n r r i ++= ；

2）rr

r t i k kr

ik ir ir u u l

a l /)(1

)

,1max(∑--=-

= )),min(,,1(t r n r i ++= .

18. 设

???

??=3.01

.05.06.0A ，

计算A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证

(a) ∞∞≤≤||||||||||||1x n x x ，

(b)

F A c A A n

||||||||||||1

22≤≤。

20. 设 n

n R

P ?∈且非奇异，又设||||x 为n

R 上一向量范数，定义

||||||Px x p =。

试证明

x ||||是n

R 上的一种向量范数。 21. 设n

n R

A ?∈为对称正定阵，定义

/1)

,(||||x Ax x A =，

试证明A x ||||为n

R 上向量的一种范数。

22. 设T

n n x x x x R x ),,(,21 =∈，求证

∞

≤≤=∞

→==∑||||max )

||||(lim 11

/1x x x n

i i n

i p

p i y 。

23. 证明：当且尽当x 和y 线性相关且0≤y x T

时，才有

222||||||||||||y x y x +=+。

24. 分别描述2

R 中（画图）

),2,1(},,1|||||{2

∞=∈==v R x x x S v v 。

25. 令

是n

R （或n C ）上的任意一种范数，而P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数||||||||Px x ='，

证明||||||||1

-='PAP A 。

26. 设t s A A ||||,||||为n n R ?上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数0,21>c c ，使对一切n

n R A ?∈满足

s t s A c A A c ||||||||||||21≤≤

27. 设n n R A ?∈，求证A A T 与T

AA 特征值相等，即求证)()(T

T AA A A λλ=。

28. 设A 为非奇异矩阵，求证

∞∞≠∞

-=||||||||min

||||10

y A A

y 。

29. 设A 为非奇异矩阵，且1||||||||1

<-A A

δ，求证1

)

(-+A A δ存在且有估计 .

||||||

||)

(1||||||||)(||

||||

)(||1

A A A cond A A A cond A

A A A δδδ-≤

+----

30. 矩阵第一行乘以一数，成为

???

??=11

2λλA 。

证明当

=λ时，∞)(A cond 有最小值。

31. 设A 为对称正定矩阵，且其分解为W W LDL A T T

==，其中T

L D

W 2

/1=，求证

(a) ;])([)(2

22ωcond A cond = (b) .)()()(222ωωcond cond A cond T

= 32. 设

????

??=9899

99100A

计算A 的条件数。),2()(∞=v A cond v 33. 证明：如果A 是正交阵，则1)(2=A cond 。 34. 设n

n R

B A ?∈,且

为上矩阵的算子范数，证明

)()()(B cond A cond AB cond ≤。

第八章解方程组的迭代法

1. 设方程组

???

??=+-=++--=++3

103220241225321321321x x x x x x x x x

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当4

)

()

1(10

||||-∞+<-k k x

时迭代终止．

2. 设

??=0200A , 证明:即使1||||||||1>=∞A A 级数 +++++k A A A I 2也收敛．

3. 证明对于任意选择的A, 序列

41,

!31,

A A A A I

收敛于零．４. 设方程组

?=+=+;;22221211212111b x a x a b x a x a );0,(1211≠a a

迭代公式为

??????

?-=-=--);(1);(1)1(121222)(2)

1(212111)(1k k k k x a b a x x a b a x ).,2,1( =k

求证: 由上述迭代公式产生的向量序列

}{)(k x 收敛的充要条件是 .

122

112112<=

a a a a r

5. 设方程组

(a) ?????=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x (b) ?????=++=++=-+1

2211

22321321321x x x x x x x x x

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

6. 求证A

A k k =∞

→lim 的充要条件是对任何向量x ，都有

lim Ax x A k k =∞

→

7. 设b Ax =，其中A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组

????????

?=+--=+--=--=--.

21414

214141;214141;2

141414213

214324

31x x x x x x x x x x x x (a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵0B 的谱半径；

(b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

???

??-=+-=-+-=-.

34;44;143232121x x x x x x x

精确解

1,1,2

x -

要求当6

)

(10

5||||-∞*?<-k x

x 时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次

数。

10. 用SOR 方法解方程组（取ω＝0.9）

???

??=+-=++--=++.

31032;2024;

1225321321321x x x x x x x x x

要求当4

)

()

1(10

||||-∞+<-k k x

时迭代终止。

11. 设有方程组b Ax =，其中A 为对称正定阵，迭代公式

),()

()

1(k k k Ax

b x

-+=+ω ),2,1,0( =k

试证明当

βω2

<时上述迭代法收敛（其中βλα≤≤<)(0A ）。

12. 用高斯－塞德尔方法解b Ax =，用)

1(+k i

x 记)

1(+k x

的第i 个分量，且

∑∑=-=++--

j k i

ij i j k j

i k i

x a x

b r )

(11

)1()

1(。

(a) 证明 i

k i

a r x

x )

1()()1(+++

=；

(b) 如果*

-=x x

k k )

()

(ε

，其中*

x 是方程组的精确解，求证：

k i

a r )

1()()1(++-

=ε

其中 ∑∑

=-=++-=

j k i

ij i j k j

ij k i

a a r )

)1()

1(εε

。

),()()

()

(k k k A Q ε

证明

∑

=++-=-n

j jj

k j

k k a r Q Q 1

)

1()

()

1()

()()(ε

。

(d) 由此推出，如果A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向量)

0(x

是收

敛的，则A 是正定阵。

13. 设A 与B 为n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组

,,221121b Az Bz b Bz Az =+=+

其中n

R d d z z ∈2121,,,。

(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件

);0(,)

(12)

1(2)(21)

1(1≥-=-=++m Bz b Az Bz b Az m m m m (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件

);0(,)

1(1

1(2

)

(21)

1(1

≥-=-=+++m Bz b Az Bz b Az m m m m

比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵

????

?????=111a

a a

a a A

对于

1<<-

a 是正定的，而雅可比迭代只对21

<-a 是收敛的。

15. 设

?????

??????--=70

0121340203215

A ，试说明A 为可约矩阵。

16. 给定迭代过程，g Cx

k k +=+)

()

1(，其中),2,1,0( =∈?k R

C n

n ，试证明：如果C 的特征值

),2,1(0)( ==i C i λ，则迭代过程最多迭代n 次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR 迭代法的框图。

18. 设A 为不可约弱对角优势阵且10≤<ω，求证：解b Ax =的SOR 方法收敛。 19. 设b Ax =，其中A 为非奇异阵。 (a) 求证A A T

为对称正定阵；

(b) 求证2

22))(()(A cond A A cond T

=。

第九章矩阵的特征值与特征向量计算

1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：

(a) ????

?????----=31

2371A , (b) ????

?????--=13

364

343

2A ,

当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵T 分块形式为

?????

???

?=nn n

n T T T T T T T

222

11211,

其中),,2,1(n i T ii =为方阵，T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用)(T σ记矩阵T 的特征值集合，证明

)()(1

i ii

T ==

σσ

3. 利用反幂法求矩阵

????

?????11

132126

的最接近于6的特征值及对应的特征向量。

4. 求矩阵

????

?????31

130004

与特征值4对应的特征向量。

5. 用雅可比方法计算

????

?????=0.225

.05

.025

.00.10

.15.00.10.1A

的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p 的最优值。

6. (a)设A 是对称矩阵，λ和)1||(||2=x x 是A 的一个特征值及相应的特征向量，又设P 为一个正交阵，使

e Px )0,,0,1(1 ==

证明T

PAP B =的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。

(b)对于矩阵

????

?????--=118

8510

2102A ,

λ=9是其特征值，

x ?

??=32,31,32是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P ，使1e Px =，并计算T

PAP B =。

7. 利用初等反射阵将

????

?????=12

213

431A

正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设n

n R

A ?∈，且

1,j i a a 不全为零，

P 为使0)

2(1=j a 的平面旋转阵，试推导计算A

P ij 第i 行，第j 行元

素公式及T

ij AP 第i 列，第j 列元素的计算公式。

9. 设1-n A 是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y 是1-n A 的一个特征向量。 (a)证明矩阵A 对应的特征向量是y P P P x n 221-= ； (b)对于给出的y 应如何计算x ？ 10. 用带位移的QR 方法计算

(a) ????

?????-=310

021A , (b) ????

?????=11

013

全部特征值。

11. 试用初等反射阵A 分解为QR ，其中Q 为正交阵，R 为上三角阵，

????

?????---=54

112

111A 。

数值分析习题简答

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）

第一章绪论习题参考答案

1． ε（lnx ）≈

()

()r x x x

εεδ

==。

2．

()

()()0.02n n

r n

n x

x x n x x n

εεεε-=

≈=

=。

3． *

1x 有5位有效数字，*

2x 有2位有效数字，*

3x 有4位有效数字，*

4x 有5位有效数字，*

5x 有

2位有效数字。

4． *

124124()()()()0.510

0.510

1.0510

x x x x x x εεεε----++≈++=?+?+?=?*

123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=*

222

)()()8.85566810

x x x x x x x εεε-≈-

=?。

5． 3

3131()1()()()/

()0.003333

43643

r r r V V V R V V V

εεεεεπ

ππ

=≈=

=。

6．

1001

11()10010

100

Y ε--=?

?=?。

7． 12878355.982x =+≈，

211287830.01786

55.982

28783

x =-

≈

≈+

。

8．

1arc 12

dx tgN

+∞=-+?

9．

1()()()0.005

x S S

S εεε-

=≈

=。

10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2

()2()0.2()12r g t t t S t

εεε≈

，故t 增加时S 的绝对误差增

加，相对误差减小。

11． 10

1001()10()10

y y εε==

?，计算过程不稳定。

12．

(21)0.005051f =-≈，

如果令

21.4=，则

1(21)0.004096

f =-=，

10.005233

(21)

f =

=+，

3(322)0.008

f =-=，

10.005125

(322)

f =

=+，

5997021f =-=，4f 的结果最好。

13．

(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为

110

ε-=

?，分别代

入等价公式

)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2

1++-=--=中计算可得

1()ln(1)(1)6010

310

f x x x x x x ε

εε-

≈

=+-=??=?-

---，

11()ln(1)10

8.3310

f x x x x ε

ε--=+

≈

=??=?+

-。

14．

方程组的真解为

1210000000009999999981.000000, 1.000000

999999999

x x =

≈=

≈，而无论用方

程一还是方程二代入消元均解得121.00, 1.00x x ==，结果十分可靠。

15．

sin sin cos tan sin s b c a a c b ab c c

a b c c c s

ab c

a b c

??+?+????<∴

≈

≤++

第二章插值法习题参考答案

∏∏-≤<≤-=--=

)

()

()(n i j j i

n i i

n x x

x x V ；

∏-≤<≤---=

01101)

(),,,(n i j j i

n n x x

x x x V .

)12)(12()1)(1(4)

21)(11()2)(1()3()

21)(11()2)(1(0)(2+-+-?

+------?

-+-+-+?

=x x x x x x x L

=x x .

3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则

620219

.0)54.0()54.0(54.0ln 00

10101-=-?--+

=≈x x x y y y L ；

二次插值：取

510826

.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则

)54.0(54.0ln 2L ≈ )

)(()54.0)(54.0()

)(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----?

+----?

＝－0.616707 . 4.

)

)()((21)()()(1011x x x x f x L x f x R --''=

-=ξ，其中],[10x x ∈ξ.

所以总误差界

))((|max |)(s co |max 2

1|)(|1011

0x x x x x x R x x x x x x --?''≤

≤≤≤≤

011006.118060181

)

(12

1-?=??? ????=-?

πx x . 5. ))()(())()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x l ------=

当

x x ?±+

=3740 时，取得最大值

710|)(|max 23

0+=

≤≤x l x x x .

6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k

==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有

)

()(x R x P x

n n k

)

())(()!

1(1

)(0)

1(0

n n n

i k

j j x x x x f

n x x l --++

+=∑

由于0

)()

1(=+ξn f

，故有k

i k

j j

x x l

≡∑=0

)(.

ii) 构造函数

,)()(k

t x x g -=在n x x x ,,,10 处进行

n 次拉格朗日插值，有

∑=-=

i j k

n x l t x

x L 0

)

()()(.

插值余项为

∏=+-+=

--n

j j

n n k

x n g

x L t x 0

)

1()

()!

1()

()()(ξ，

由于

).,,2,1(,0)()

1(n k g

n ==+ξ故有

)

()()()

∑=-=

=-n

i j k

n k

x l t x

x L t x

令,x t =即得

∑==-n

i j k

x l t x

)()(.

7. 以a, b 两点为插值节点作)(x f 的一次插值多项式

)

()()()()(1a x a

b a f b f a f x L ---+

=，

据余项定理，

]

,[),)()((2

1)()(1b a b x a x f x L x f ∈--''=

-ξξ，

由于,0)()(==b f a f 故

|)(|max )(8

1|))((|max |)(|max 2

1|)(||)()(|2

1x f a b b x a x x f x f x L x f b

x a b

x a ''-=

--''≤

=-≤≤≤≤≤≤

8. 截断误差 ].

4,4[),)()((6

1)(2102-∈---=

ξξ

x x x x x x e x R

其中

,,1210h x x h x x +=-=

则

x x 331+

=时取得最大值

2104

4392|))()((|max h

x x x x x x x ?=

---≤≤- .

由题意， ,

)39

61|)(|6

2-=??≤

h e x R

所以，.006.0≤h

,22

n n y -=?+

,2)22

()2

n n n n n y =---=?+++

则可得

.2)(2

n n y y =??=?

/12

-+-=n n n y δ， 1

2()22

(--+=---=n n n

n n n y δ，则可得

)(2

-==n n n y y δδδ

10. 数学归纳法证

当1=k 时，)()()(x f h x f x f -+=?为m －1次多项式；

假设 )0)((m k x f k

≤≤?是m-k 次多项式，设为)(x g ，则

)()()(1

x g h x g x f k -+=?

+为

m-(k+1)次多项式，得证。

11. 右)()(111k k k k k k f f g g g f -+-=+++=-=++k k k k g f g f 11左

12. ,111112100101

0----=-++-+-=?∑

n n n n n k k k g f g f g f g f g f g f g f

12122101110

n n n n k n k k g f g f g f g f g f g f f g

--=+-++-+-=?∑

13.

∑-=?

n j j

)

()()()()()(1112230112-+---++---+---=n n n n y y y y y y y y y y y y

0011)()(y y y y y y n n n ?-?=---=+ .

14. 由于n x x x ,,,21 是)(x f 的n 个互异的零点，所以

)())(()(210n x x x x x x a x f ---=

)()()(101

0∏∏≠==--=-=n

i i i j n

i i x x x x a x x a

对)(x f 求导得

???

???????'--+-='∏∏≠=≠=n j i i n

j i i i j i x x x x x x a x f 010))()(()()(，

则

∏≠=-='n

i i i j j x x a x f 1

()(，

(1)

∑

∏==≠=-='n

j n

i i i j

j k

x x

x a x f x

记,)(k

k x x g =则

?-=--≤≤=-.1,)!1(,20,0)()

1(n k n n k x g

由以上两式得

]

,,,[1)

()

(1)

(210

n k n

j n

i i i j j k j k

x x x g a x x x g a x f x =

'∑

∑

∏

==≠=

???-=-≤≤=-=

--.1,,20,0)!

1()

(11

1(0

n k a n k n g a n k ξ

15. i)

∑=+-----=

j n j j j j j j

j n x x x x x x x x

x F x x x F 0

11010)())(()()

(],,,[

]

,,,[)

())(()()

(100

110n n

j n j j j j j j

j x x x f c x x x x x x x x

x f c ?=----?=

∑=+-.

ii) 证明同上。 16.

;1!

7!7!

(]2,,2,2[)

7(7

===

ξf

(]2,,2,2[)

8(8

ξf

17.

0)()()(3=-=j j j x p x f x R

1,,0)()()(3+=='-'='

k k j x p x f x R j j j

即1,+k k x x 均为)(3x R 的二重零点。因而有形式：

)())(()(2

3+--=k k x x x x x K x R

作辅助函数.)())(()()()(2

12+----=k k x t x t x K t p t f t ? 则 .0)(,0)(,0)(,0)(,0)(11='='===++k k k k x x x x x ????? 由罗尔定理，存在),,(),,(121+∈∈k k x x x x ξξ使得

.0)(,0)(21='='ξ?ξ?

类似再用三次罗尔定理，存在),,(),(121+?∈k k x x ζζξ使得

,0)()

4(=ξ?

又 ),(!4)()()

4()

4(x K t f

t -=?

可得

,!4)()()

4(ξf

x K =

即

).,(.,!4)

())(()(12

)

4(3++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ

18. 采用牛顿插值，作均差表：

i x

)(i x f

一阶均差二阶均差

0 1 2 0 1 1 1 0

-1/2

],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+= ))()()((210x x x x x x Bx A ---++

)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x

又由 ,1)1(,0)0(='='p p

得

1,4

=B A

所以

)3(4

)(2

x x

x p

19. 记

,kh a x n

a b h k +=-=

则

,[,)

()

()(1111

1++++++∈--+--=i i i

i i i i i i i n x x x x x x x x f x x x x x f x ?

因为],[)(b a C x f ∈，所以)(x f 在],[b a 上一致连续。当N

n >时，

<-=

a b h ，此时有

)()(|max

max

|)()(|max 1

10x x f x x f n x x x n i n b

x a i i ??-=-+≤≤-≤≤≤≤

?--+---=++++≤≤-≤≤+i i i i i i i i x x x n i x x x x x f x x x x x f x f i i 111110)()()(max

max

i i i i i i i i x x x n i x x x x x f x f x x x x x f x f i i ---+---=++++≤≤-≤≤+111110)]()([)]

()([max max

max max

111101

εε

=--+--≤+++≤≤-≤≤+i

i i i

i i x x x n i x x x x x x x x i i

由定义知当∞→n 时，)(x n ?在],[b a 上一致收敛于)(x f 。 20. )(x I h 在每个小区间],[1+k k x x 上表示为

(,)(1111

1+++++≤≤--+

--=

k k k k

k k k k k k h x x x f x x x x f x x x x x I

计算各值的C 程序如下： #include"stdio.h" #include"math.h" float f(float x)

{ return(1/(1+x*x)); }

float I(float x,float a,float b) {

return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qsul.html

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