2016上海工程技术大学自主招生数学模拟试题及答案

考单招——上高职单招网 2016上海工程技术大学自主招生语文模拟试题及答案

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）若sin2??0，且cos??0，则角?是（ ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第四象限角 x+1?1（2）函数f(x)=2的反函数y?f?x?的图象是（ ） Oyyyy12x O2O12x21xO1x （A）（B） （C）（D） （3）若向量a、b满足a +b =（2，-1），a =（1，2），则向量a与b的夹角等于 （ ） （A）45（B）60 （C）120 （D）135 （4）已知l是直线，?、?是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）（A）若l//?，l//?，则?//? （B）若?^?，l//?，则l^? （C）若l^?，l//?，则?^? （D）若l//?，?//?，则l//? （5）已知实数a,b,c成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立的是（ ） ．．．

（A）b-a+????1?2（B）a3b+b3c+c3a?a4c-bb4+c4 2（C）b?ac（D）b-a?cb

考单招——上高职单招网 （6） “ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的（ ） （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 x2y2（7）已知实数x,y满足2-2=1(a>0,b>0)，则下列不等式中恒成立的是

abbbbx （C）y>-x （D）（ ）（A）y-a2aa2by

小于M，则记：{an}?M， 那么下列命题正确的是( ) （A）若{an}?M，则数列{an}的各项均大于等于M （B）若{an}?M，{bn}?M，则{an?bn}?2M （C）若{an}?M，则{an}?M 22*（D）若{an}?M，则{2an?1}?2M?1 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）在复平面内，复数（10）在(1?1+ai（a?R）对应的点位于虚轴上，则a=. i11n)（n?N*）的展开式中，所有项的系数之和为64，则的系数是

xx__________.（用数字作答） ?（11）已知A、B、C三点在球心为O的球面上，AB?AC?2，?BAC?90，球

心O到平面ABC的距离为2.则异面直线OA与BC所成角的大小是，球O的表面积为. （12）已知Sn是数列{an}的前n项和，若Sn=1-nan(n=1,2,3,?) ，则Sn关于n的表达式为Sn=.

考单招——上高职单招网 2（13）已知圆A：?x?3??y?2，点P是抛物线C：y2?4x上的动点，过点P作

2圆A的两条切线，则两切线夹角的最大值为. （14）已知函数f?x??sin?x. 22?x?1??x?2x?2?那么方程f(x)?0在区间[?100,100]上的根的个数是__________． 对于下列命题：①函数f?x?是周期函数； ②函数f?x?既有最大值又有最小值； ③函数f?x?的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意x?(1,0)，f'?x??0（f'?x?是函数f?x?的导函数）.其中真命题的序号是．（填写出所有真命题的序号） 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. （15）（本小题共13分） 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a?2，

b?7，B?60?. （Ⅰ）求c的值及?ABC的面积S； （Ⅱ）求sin(2A?C)的值. （16）（本小题共13分） 已知函数f(x)?2lnx?x. （Ⅰ）写出函数f(x)的定义域，并求其单调区间； （Ⅱ）已知曲线y?f(x)在点x0,f?x0?处的切线是y?kx?2，求k的值. ??

考单招——上高职单招网 （17）（本小题共14分） 如图，在Rt?ABC中，AB?BC?4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF//BC，将?AEF沿EF折起到?PEF的位置，使得二面角P?EF?B的大小为60. （Ⅰ）求证：EF?PB； （Ⅱ）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P?EFCB体积的最大值. BBCA?PEFEFC

考单招——上高职单招网 （18）（本小题共13分） 3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.

（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记?表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量?的分布列.

（19）（本小题共14分）

x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个

ab端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD?CD，连结

?????????CM，交椭圆于点P.证明：OM×OP为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

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（20）（本小题共13分）

对于各项均为正数且各有m项的数列?an?, ?bn?，按如下方法定义数列?tn?：

?tn?1?an?bn tn?1?an,?n?1,2,?,m?，并规定数列?an?到?bn?的t0?0，tn??b t?an?1n?n“并和”为Sab?a1?a2???am?tm．

（Ⅰ）若m=3，数列?an?为3，7，2；数列?bn?为5，4，6，试求出t1、t2、t3的值以及数列?an?到?bn?的并和Sab；

（Ⅱ）若m=4，数列?an?为3，2，3，4；数列?bn?为6，1，x，y，且Sab?17，求证：y?5；

（Ⅲ）若m=6，下表给出了数列?an?, ?bn?：

an bn

7 4

9 12

3 1

13 11

6 8

5 10

如果表格中各列（整列）的顺序可以任意排列，每种排列都有相应的并和Sab，试求Sab的最小值，并说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

CADCB CDD

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

考单招——上高职单招网 （9）0 （10）15（11）90?，16?（12）（13）60°（14）201，②③

三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共13分）

?解：（Ⅰ）?a?2，b?7,B?60，由余弦定理可得

n n?1b2?a2?c2?2accosB. ……………………2分 1?7?c2?4?2?c?2?. …………………3分

2?c2?2c?3?0. ?c?3或c??1（舍）.

?c?3. …………………4分

11333??S?acsinB??3?2?. ……………………6分

2222（Ⅱ）在?ABC中，b=7，B=60?，

?72=. …………………8分

sin60°sinA21. ………………9分 7?sinA=?a

?A为锐角. ?cosA=27. ……………………11分 7?A+C=180?B=120?，

考单招——上高职单招网 ?sin(2A+C)=sin(120?

（16）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）函数y?f(x)的定义域为：

A)=3121cosA-sinA=. …13分 2214(0,??). …………………………………1分

∵f(x)?2lnx?x, ∴f'(x)?2?1. x令f'(x)?0，

则x?2. ……………………………………3分 当x在(0,??)上变化时，f'(x),f?x?的变化情况如下表

x

(0,2)

+ ↗

2

0 极大值

(2,??)

- ↘

f'(x)

f(x)

∴函数y?f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??).

……………6分

（Ⅱ）由题意可知：

f?x0??2lnx0?x0， ……………………………………7分

曲线y?f(x)在点x0,f?x0?处的切线的斜率为k?f'(x0)???2?1. x0……………8分

考单招——上高职单招网 ∴切线方程为：

y?f?x0??(2?1)(x?x0). ……………………………………9分 x02?1)(x?x0). x0∴y?(2lnx0?x0)?(∴y?(

2?1)x?2lnx0?2. ………………10分 x0∵切线方程为y?kx?2, ∴2lnx0?2??2. ∴x0?1.

∴曲线y?f(x)在点x0,f?x0?处的切线的斜率

??k?2?1?1. ………………………………13分 x0（17）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：在Rt?ABC中，EF//BC，

∴EF?AB.

∴EF?EB,EF?EP.

又∵EB?EP?E，

∴EF?平面PEB. ………………………………………2分

又∵PB?平面PEB， ∴EF?PB.

PEBFC

考单招——上高职单招网 ………………4分

（Ⅱ）解法一：过点P作PD?EB交EB于D，连结DC.

∵EF?平面PEB，PDì平面PEB， ∴EF?PD.

∵EF?EB=E，∴PD?平面BCFE. ∴CD是PC在平面BCFE内的射影.

∴DPCD是PC与平面BCFE所成的角.

P………………………………………6分

∵点E为线段AB的中点，AB?BC?4， ∴PE=EB=2. ∵EF?EB,EF?EP，

∴DPEB是二面角P?EF?B的平面角. ………………………………………8分 ∵二面角P?EF?B的大小为60°， ∴?PEBDBEFC60?.

sin60=在Rt△PDE中，PD=PE装∴BD?1.

在Rt△DBC中，DC=3,DE=PE装cos60=1.

12+42=17. PD51=. DC1751. 17∴在Rt△PCD中，tan?PCD∴PC与平面BCFE所成角的大小为arctan

考单招——上高职单招网 ……………9分

解法二：如图，以E为原点建立空间直角坐标系E?xyz．

∵点E为线段AB的中点，AB?BC?4， ∴PE=EB=2. ∵EF?EB,EF?EP，

∴DPEB是二面角P?EF?B的平面角. ∵二面角P?EF?B的大小为60°， ∴?PEBEBxFyCPz60?.

……………6分

可得P1,0,3，C?2,4,0?.

??????则CP??1,?4,3，且平面BCFE的法向量n??0,0,1?.

??????????CP?n15?∴cosCP,n????. ?10CP?n∴PC与平面BCFE所成角的大小为arcsin………………………………………9分

（Ⅲ）设AE?x，则x?(0,4).同（Ⅱ）可求得PD=15. 103x. 2在等腰直角三角形AEF中，EF=AE=x， ∴SBCFE=S?ABC-S?AEF=1(16-x2). 2∴VP?EFCB?13SBCFE?PD?x?(16?x2). …………11分 3122 设f?x??x?(16?x)，x??0,4?，

考单招——上高职单招网 2则f??x??16?3x，由f??x??0得x?43. 343432?x?4时，时，f?x??x?(16?x)单调递增；当33f?x??x?(16?x2)单调递减.

当0?x?∴当x?

（18）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有5种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等.

………………………………………1分

设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A，则该事件共包括

33A3种不同的结果.

33243时，四棱锥P?EFCB体积取最大值为.…………14分

93 …………………………………………3分

所以，

33A318P?A??3?. …………5分

1255 答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为

18. ……………………………6分 125（Ⅱ）解法1：随机变量?的可能取值为0，1，2，3. ……………7分

?C?P???0???C?52342311227??54， C3C4?C4?， P???1??125?C52?31252

考单招——上高职单招网 P???2??12C32C4C4235???C?2?36，125?C?P???3???C?513423?8. ………………………………11分 125随机变量?的分布列为：

?

P

0 1 2 3

27 12554 12536 1258 125 ………………………………………13分 解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为

1C42P?2?. ………………………………7分

C55则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数?~B(3,).

i2i33?iP???i??C3()()，i?0,1,2,3. ………………………………………11

5525分

随机变量?的分布列为：

?

P

0 1 2 3

27 12554 12536 1258 125 …………13分 （19）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）如图，由题意得，2b?2c?22.

?b?c?2，a?2.

考单招——上高职单招网 ? 所求的椭圆方程为

x2y2??1. ………………………………………3分 42（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（?2，0），D（2，0）. ………………………………………4分

由题意可设CM：y?k(x?2)，P（x1，y1）.

?MD?CD，?M（2，4k）.

………………………………………5分

?x2y2?1，?? 由 ?4整理得:2?y?k(x?2)?(1?2k2)x2?8k2x?8k2?4?0.

8k2?4??2x1?， 21?2kCF1yAPOF2DxM?x1?2?4k.

1?2k22B……………7分

? y1?k(x1?2)?4k，

1?2k22?4k24kP(,). ………………………………………8分 221?2k1?2k?????????2?4k24k4(1?2k2)?OM?OP?2??4k???4. …………9分 2221?2k1?2k1?2k????????? 即OM?OP为定值.

（Ⅲ）设Q(x0,0)，则x0??2.

若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，则MQ?DP，

??????????MQ?DP?0恒成立.

考单招——上高职单招网 …………10分

?????由（Ⅱ）可知QM?(2?x0,4k)，

?????8k24kDP?(,). ………………………………12分 221?2k1?2k??????????8k24k?QM?DP?(2?x0)??4k??0. 221?2k1?2k8k2x?0恒成立. 即201?2k?x0?0.

?存在Q(0,0)使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交

点. ……………………………14分 （20）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由数列?tn?的定义可知:t1?b1?5，

（Ⅱ）证法一：

由Sab?17得t4?Sab??a1?a2?a3?a4??5．

…………………………………5分

而t1?b1?6，t2?t1?a2?b2?5，t3?t2?a3?b3?x?2，

…………………………………6分

当t3?a4，即x?2时，有t4?b4?y，则y?5；

当t3?a4，即x?2时，有t4?t3?a4?b4?x?2?y，则y?7?x?7?2?5，

t2?b2?4，

t3?t2?a3?b3?8， Sab?a1?a2?a3?t3?20．

…………………………………4分

考单招——上高职单招网 综上所述，必有y?5成立．

证法二：

当tn?1?an即tn?1?an?bn?bn时，有tn?bn；

当tn?1?an即tn?1?an?bn?bn时，有tn?tn?1?an?bn， 可见tn?max?bn,tn?1?an?bn?．

由Sab?17得t4?Sab??a1?a2?a3?a4??5， 故y?max?y,t3?4?y??t4?5．

…………………………………9分

（Ⅲ）Sab的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到：

…………………………………9分

an bn

证法一：

5 10

6 8

9 12

13 11

7 4

3 1

…………………………………10分

当1?n?6时，由（Ⅱ）知tn?max?bn,tn?1?an?bn?，则tn?tn?1?an?bn，即

tn?tn?1?bn?an.于是

t6?t5?b6?a6， t5?t4?b5?a5， t4?t3?b4?a4，

t3?t2?b3?a3， t2?t1?b2?a2．

考单招——上高职单招网 将上述不等式相加得：

t6?t1??b2?b3???b6???a2?a3???a6?.……………………………11分

∵Sab??a1?a2???a6??t6.

∴ Sab??a1?a2???a6??t1??b2?b3???b6???a2?a3???a6?. ∴ Sab?a1?b1??b2?b3???b6??46?a1. ①

将前4个不等式相加得t6?t2??b3?b4?b5?b6???a3?a4?a5?a6?.

类似地，可整理得Sab?t2??46?b1?b2??a1?a2. ②

若a1?3，可见a1?5，由①得Sab?46?a1?51； 若a1?3，则b1?1，那么t1?b1?1?a2，故t2?b2.

此时由②得Sab?t2??46?b1?b2??a1?a2?46?b1?a1?a2?48?a2?53． 综上所述，Sab?51总是成立的．

…………………………………13分 证法二：

对于由表格排列得到的数列?an?, ?bn?，若存在min?ai,bi?1??min?ai?1,bi?（其中2?i?6），则交换表格的第i列与第i?1列，得到新数列?An?, ?Bn?．

则对原数列，有

ti?max?bi,ti?1?ai?bi??max?bi,bi?1?ai?bi,ti?2?ai?1?bi?1?ai?bi?.

而对新数列，有

Ti?max?Bi,Bi?1?Ai?Bi,Ti?2?Ai?1?Bi?1?Ai?Bi? ?max?bi?1,bi?ai?1?bi?1,ti?2?ai?bi?ai?1?bi?1?.

注意到max?bi,bi?1?ai?bi??bi?1?bi?max??bi?1,?ai?

?bi?1?bi?min?bi?1,ai?

考单招——上高职单招网 ?bi?1?bi?min?bi,ai?1?

?bi?1?bi?max??bi,?ai?1??max?bi?1,bi?ai?1?bi?1?.

这就说明ti?Ti，那么

ti?1?max?bi?1,ti?ai?1?bi?1??max?bi?1,Ti?ai?1?bi?1??Ti?1.

依此类推可得t6?T6，则Sab?SAB．

可见，交换第i列与第i?1列后，新数列的并和不会增加．

…………………………………12分

对于任何一种由表格排列得到的数列?an?, ?bn?，可以通过上述有限次调整，得到排列※．这是因为考查表格中最小的数，可以经过有限次调整，将它调整到※中的位置，固定该列后再考察余下数中最小的那一个，依此类推即可．

在调整的过程中，数列?an?到?bn?的并和Sab没有增加，因此调整前的Sab一定不小于51．由?an?, ?bn?初始状态的任意性，可知Sab的最小值就是51．

…………………………………13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.

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