函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数

f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数 设

f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递增函数。

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件 ★若

f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)?0或（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0

?x1x2★若

f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)?0或（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0

?x1x23.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法) (2)作商法

4.复合函数的单调性的判定 对于函数

y?f(u)和u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当

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x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。

5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数(1)当

f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：

函数FF2(x)?f(x)?g(x)的f(x)和g(x)具有相同的增减性时，1(x)?f(x)?g(x)、

增减性与

f(x) (或g(x))相同，F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性g(x)不能确定； (2)当

f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：

①F1(x)?②

f(x)?g(x)、F2(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定；

f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)为g(x)f(x)F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?减函数。

6.奇偶函数的单调性

奇函数在定义域内严格单调，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义 如果对于函数

f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)?f(?x)，则称函数f(x)为偶函

都有f(x)??f(?x)，则称函数f(x)为f(x)的定义域内的任意一个x，

数；如果对于函数

奇函数。

2.奇偶性的几何意义

具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比较

f(x)与?f(?x)的关系；

(2)

f(x)（f(?x)?0）与?1的关系； f(?x)(2)

f(x)?f(?x)与0的关系

4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断 对于两个具有奇偶性的函数

f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：

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(1)当

f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：

①函数F1(x)?②F2(x)?(2)当

f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数；

f(x)(g(x)?0)为偶函数； g(x)f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么：

①F1(x)?②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定； f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。 g(x)f(x)二、函数的对称性

1.函数自对称

（1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是（2）关于原点

f(?x)?f(x)

?0,0?对称的函数（奇函数）的充要条件是f(x)?f(?x)?0

f?1(x)?f(x)

（3）关于直线y?x对称的函数的充要条件是2.两个函数的图象对称性 （1）y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。

换种说法：y?（2）y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。

f(x)与y?f(?x)关于y轴对称。

换种说法：y?（3）y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。

f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。

换种说法：y?（4）y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。

f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。 f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点?a,b?对称。

即它们关于点?a,b?对称。 f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，

换种说法：y?（5）y?换种说法：y?（6）y?（7）y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?a?b对称。 2f(x)与y?f?1(x)关于直线y?x对称。

二、函数的周期性 1.周期性的定义 对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

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f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函

数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数

f(x)的周期，那么?T、nT（n?N*）也是函数f(x)的周期。

2. 函数的周期性的主要结论： 结论1：如果

（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?a?b f(x?a)?f(x?b)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期f(x?a)??f(x?b)（a?b）

结论2：如果

T?2a?b

结论3：如果定义在R上的函数函数，其中一个周期T结论4：如果偶函数其中一个周期Tf(x)有两条对称轴x?a、x?b对称，那么f(x)是周期

?2a?b

f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，

?2a

f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，

结论5：如果奇函数其中一个周期T?4a

结论6：如果函数同时关于两点数，其中一个周期T结论7：如果奇函数中一个周期T?a,c?、?b,c?（a?b）成中心对称，那么f(x)是周期函

?2a?b

f(x)关于点?a,c?（a?0）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其

?2a

（a?0）成中心对称，且关于直线x?b（a?b）f(x)的图像关于点?a,c?结论8：如果函数成轴对称，那么结论9：如果期Tf(x)是周期函数，其中一个周期T?4a?b

11或f(x?p)??，那么f(x)是周期函数，其中一个周f(x)f(x)f(x?p)??2p

p1?f(x)p1?f(x)f(x?)?或f(x?)?，那么f(x)是周期函数，其中

21?f(x)21?f(x)结论10：如果一个周期T?2p

f(x?p)??f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p

结论11：如果

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