扭摆法测物体的转动惯量（兰州大学）

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实验2-10 扭摆法测物体的转动惯量

(兰州大学)

【引言】

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。刚体相对于某转轴的转动惯量，是组成刚体的各质元质量与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和。

刚体的转动惯量与以下因素有关：

刚体的质量：各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比；

转轴的位置：并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同，但转轴的位置不同，转动惯量也不同；

质量的分布：质量一定、密度相同的刚体，质量分布不同（即刚体的形状不同）转动惯量也不同。

如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。本实验使物体做扭转摆动，由摆动周期以及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

在国际单位制中，转动惯量的单位是kg?m（千克·米2）。

【实验目的】

1. 测定弹簧的扭转常数

2. 用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较 3. 验证转动惯量平行轴定理

【实验仪器】

扭摆附件为塑料圆柱体金属空心圆筒实心球体金属细长杆（两个滑块可在上面自由移动）数字式定数计时器数字式电子秤

【实验原理】

扭摆的构造如图2-10-1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低磨擦力矩。3为水平仪，用来调整系统平衡。

将物体在水平面内转过一角度?后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度?成正比，即 M??K? （2-10-1）式中，K为弹簧的扭转常数，根据转动定律

2图2-10-1

M?I?

式中，I为物体绕转轴的转动惯量，?为角加速度，由上式得 ? 令 ?2?MI （2-10-2）

?K ,忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-10-1）、（2-10-2）得 Id2?K ????????2? 2Idt上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。此方程的解为：

??Acos(?t??) （2-10-3）式中，A为谐振动的角振幅，?为初相位角，?为角速度，此谐振动的周期为

T?2???2?I （2-10-4） K由（2-10-4）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I和K中任何一个量已知时即可计算出另一个量。由公式（2-10-4）可得出

T0I0T02??2 或（2-10-5） 2TIT1?T0I0?I11I0I0为金属载物盘绕转轴的转动惯量，I1为另一物体的转动惯量理论值，该物体为质量

是m1，外径为D1的圆柱体，则I1?盘上加载m1后测得的周期。

由（2-10-4）和（2-10-5）可推导出弹簧的扭转常数

1m1D12，T0是只有载物盘时测得的周期，T1是载物8K?4?2I1 (2-10-6) 22T1?T0本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的扭转常数K值。若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（2-10-4）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。

平行轴定理：若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为I0时，当转轴平行移动距离为x时，则此物体对新轴线的转动惯量变为I0?mx2。本实验通过移动细杆上滑块的位置，来改变滑块和转轴之间的距离。

【仪器介绍】

扭摆、转动惯量测试仪、金属载物盘、塑料圆柱体、金属圆筒、木球、金属细杆、天平、砝码、游标卡尺、钢尺、高度尺。

转动惯量测量仪由主机和光电传感器组成，可测出物体的多倍扭摆周期，并算出扭摆周期T。使用时，调节光电传感器在固定支架上的高度，使挡光杆自由往返通过光电门，操作时开启电源、复位、执行，光杆自由往返通过光电门，转动惯量测量仪自动计数并自动停止，结果显示后再“执行”，多次测量最后求平均值。

计时转动摆动 P1 –– –– –– –– 参量指示智能转动惯量实验仪复位功能置数上调下调执行查询自检返回

图2-10-2 转动惯量实验仪

1.开机：显示上图，若异常，可按复位键，即可正常(默认状态为摆动) 2.按功能键：可选择摆动和转动 (开机和复位默认状态为摆动)

3.按置数键：显示N?10，按上调键，周期数依次加1，按下调键，周期数依次减1，周期数可在1?20间任意设定，再按置数键确认。显示F1end或F2end，预设后仅当再次置数或复位，其余操作均不改变预置周期数。

4.按执行键：显示P1000.0当被测物体上挡光杆第一次通过光电门时开始计时，计时灯亮，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯灭，显示第一次测量总时间。重复上述步骤，可进行最多5次测量(P1, P2, P3, P4, P5)。执行键还具有修改功能。如要修改第三组数据，按执行键直至显示P3xxx.x后，重新测量第三组数据

5.按查询键可知每次测量周期(C1?C5)，以及多次测量的周期的平均值CA，及当前的周

期数n，如显示“NO”表示无数据。

C10.767 C20.765

……

CA0.766

6.按自检键：仪器自动依次显示：

n?N-1?2n?N-1?SC?Good自动复位P1 ————

7.按返回键，系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据。

【实验内容】

1.用游标卡尺分别测出圆柱体的外径，金属圆筒的内、外径，球体直径，用米尺测金属细杆的长度，各测5次，取平均值；

2.用数字式电子秤测得圆柱体、金属圆筒、球体、金属细杆、金属滑块的质量，各测一次；

3.调节扭摆底座底脚螺丝，使水准泡中气泡居中；

4.将金属载物盘卡紧在扭摆垂直轴上，调整挡光杆位置，测出其摆动周期T0，测3次，求平均。

4.将塑料圆柱体放在载物盘上测出摆动周期T1，测3次，求平均。

5.取下塑料圆柱体，在载物盘上放上金属圆筒测出振动周期T2，测3次，求平均。 6.取下载物盘，测定木球及支架的摆动周期T3，测3次，求平均。

7.取下木球，将金属细杆和支架中心固定，测定其摆动周期T4，测3次，求平均。 8.将滑块对称地放置在细杆两边的凹槽处，滑块质心离转轴的距离分别取5.0，10.0，15.0，20.0，25.0厘米时，测定细杆不同的摆动周期。计算转动惯量，验证平行轴定理。

实验结果与数据处理

KT01.由载物盘转动惯量I0?4?22、塑料圆柱体的转动惯量理论值I121?mD2及塑料8KT1圆柱体放在载物盘上总的转动惯量I0?I1?，计算： 24?mD2K??222T1?T0物体名称金属载物盘质量 (kg) / 几何尺寸 (10-2m) / ?2?N?m? ；

周期 (s) K?24?N?m?rad?1

1. 计算各种物体的转动惯量，并与理论值进行比较，求出百分误差。转动惯量理论值 (10-4kgm2) / 转动惯量实验值 (10-4kgm2) 百分误差 / T0 I0??I1T02T1?T022 T0 塑料圆柱 = D T1 = 1I1?mD2 8?= I1?KT124?2?I0 / D 金属 T1 D外 D外 T2 122 I2??m?D外?D内?8I2?= KT224?2?I0 D内圆柱木球 = D内 D T2 T3 T3 T4 = = 1I3?mD2 10?I3?KT324?2??I0 D 金属细杆 = L I4?1?mL2 12= KT4?I4??I0 24?2 T4 3.验证平行轴定理 m滑?x (10-2m) 摆动周期 T(s) 5.00 克

10.00 15.00 20.00 25.00 T(s) 实验值(×10-2kg.m2) 理论值(×10-2kg.m2) KT2?? I??I04?2??2mx2?Is? I??I4百分误差

附: 当滑块质量为239.7克时：

K2?42T?0.178?10kg?m 24?K?T2?0.230?10?4kg?m2 细杆夹具转动惯量实验参考值：I0?24? 球支座转动惯量实验参考值：I0??

二滑块绕过自身质心的转动惯量理论值：

22 I5?2?m滑（D外?D内)?m滑L2??0.812?10?4kg?m2 L为滑块的高度

1612??1?1?? 单个滑块转动惯量实验测量值：

【注意事项】

1.弹簧扭转常数与摆动角度有关，使摆角固定在90o左右。 2.光电探头宜放在挡光杆平衡处，但切忌与杆发生摩擦。 3.机座应保持水平状态。

4.安装待测物时，应将止动螺丝旋进。

5.称金属细杆与木球质量时，必须取下支架。

【预习思考题】

写出计算金属载物盘、金属圆筒物体转动惯量实验值与理论值的详细求解过程，扭摆弹簧的扭摆常数的详细求解过程。