巧解高考数学选择题十法

巧解高考数学选择题十法

解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。下面略举数例加以说明。

1、特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

例1 △ABC的三个顶点在椭圆4x2 5y2 6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为

A、 5442 B、 C、 D、 5455

解析：题中没有给定A、B、C三点的具体位置，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，即A( 6630,0)、B(,0)，C为椭圆的短轴上的一个顶点，即C(0,)，由此225

30 0 0455 ，故选B。 可得k1k2 5660 ( )0 22

例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的大小关系是 （ ）

A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b

0解析：题中没有给定三角形的具体形状，不妨特殊化，令A=B=C=60，则可排除A、B，

000再取角A，B，C分别为30，60，90，可排除C，故答案为D。

例3 已知m为非零常数，对x R，有f(x m) 1 f(x)恒成立，则f(x)的最小1 f(x)

正周期是

A、 m B 、2m C 、 3m D 、4m

解析：由题意不妨取特殊函数f(x) tanx,则有

tan(x m)

∴T 4 1 tanx tan( x)，可知：m ，而tanx的最小正周期为 1 tanx44 4m，故选D

4

例4 等差数列 an 的前n项和为Sn，且a1>0，若存在自然数m≥3,使Sm=am，当n>m时，Sn与an的大小关系为：

A、Sn<an B、Sn≤an C、Sn>an D、Sn≥an

解析：由题意可知等差数列无穷无尽的多，不如选一个特殊数列，令m=3，则S3=a3，此时a1+ a2=0，故令 an 为1，-1、-3、-5。

∴n=4>3=m时，Sn=S4=-8<-5= a4= an，故选A。

2、极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

2例5 过抛物线ｙ＝aｘ（ａ> 0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段

FP与FQ的长分别是ｐ、ｑ，则11 ＝（ ） pq

A.2ａB.14C.4ａD. 2aa

解析：由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，11 的值都是a的表示式，因pq

而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝111，所以 =4a，故应选C. 2apq

例6 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，，P，Q分别是侧棱AA1和CC1上的点，且PA=QC1，，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）

A． V B。 V C。 V D。 V

解析：不妨设P与A1重合，则Q与C重合，故 16141312

1VB APQC VB AA1C VA1 ABC V3。故应选C.

3、剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

例7 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的

正方形，EF∥AB，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ） F

A.

915 B.5 C.6 D. 22C B 解析：本题的图形是非常规的多面体，需要对其进行必要的分割.

连接EB、EC，得四棱锥E―ABCD和三棱锥E―BCF，这当中，四棱锥E―ABCD的体积易求得VE ABCD 1 3 3 2 6, 又因为一个几何体的体积应大于它的部分体积，所以不必3

计算三棱锥E―BCF的体积，就可排除A， B.，C.，故应选D.

例8 已知四边形MNPQ为矩形，且MN≠PN，RM⊥平面MNPQ，连MP、NQ、RN、RP、RQ，则以下各组向量中，数量积不为零的是：

A、RP和NQ B、QM和RN R

C、和 D、和

解析：两向量垂直，数量积为0。

如图： RM⊥平面MNPQ N

P Q QN 平面MNPQ 剔除B。 QM MN

同理：RQ MN，剔除C。

∵⊥平面MNPQ，∴RM⊥PQ，剔除D 故选A。

例9 若θ为△ABC中最小的内角，则y sin cos 的值域是：

A、（1，2） B、（112，） C、（，） D、以上答案都错 2222

解析：因为θ为△ABC中最小的内角，故θ∈（0 ），由此可知y sin cos >1，3

从而剔除选择支B、C、D，故选A。

4、数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。

例10对a,b R,记max|a,b|=

是 .

解析：由x 1 x 2 x 1 x 2 x 22 a,a b函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(x R)的最小值 b,a＜b1，故 2

增函数，f( 2)=0

∴作出函数f(x)在（-∞，0）及（0，+∞）内的大致图象如图，

由图可知xf(x) 0的解集为（-2，0）U（0，2），故选A。

5、递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 例12 已知数列 an 满足a1 2，an 1 =1－1 ，则a332等于。 an

A．1 B．1 C．－1 D．2 2

11解析： an 1=1－ an 2=1－an an 1

an 3= 1－1 =－ , 从而 an 11an 2=1＋an－1=an ,

11即数列 an 是以3为周期的周期数列。又a =2，a=1－=2 2 12,

a3 =－1 ，所以 a332 a110 3 2 a2 1，故选B 2

6、顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

例13 银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户. 为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为（ ）

A．5% B．10% C．15% D．20%

解析：设共有资金为a, 储户回扣率x, 由题意得解出

0.1a 0.1 0.4a 0.35 0.6a xa 0.15a,

解出 0.1 x 0.15，故应选B.

7、逆推验证法（代答案入题干验证法）：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。

*例14 设集合M和N都是正整数集合N，映射f:M→把集合M中的元素n映射到集合N

n中的元素2+n，则在映射f下，象37的原象是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

n解析：依题意2+n=37，四个选项中只有n=5是方程的解，故选C。

例15 设复数Z满足：Z+|Z|=2＋i，则Z=：

A、 3333 i B、 i C、 i D、 i 4444

解析：将各选择支逐一代入题干验证可得答案D。

8、正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。

例16 8颗骰子同时掷出，共掷4次，至少有一次全部出现一个点的概率是：

5 5 1 1 A、 1 ()8 B、 1 (5 C、1 1 (4 D、1 1 (8 6 6 6 6

解析：8颗骰子出现一个点的概率为()，不能出现一个点的概率为1 (，4次48841

681

68

1 不都出现一个点的概率为 1 ()8 ，4次至少有一次都出现一个点的概率为6

1 1 1 ()8 ，故选D。 6

9、特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。

56例17 2-1可能被120和130之间的两个数所整除，这两个数是：

A、123，125 B、125，127 C、127，129 D、125，127

562814772814解析：由2-1=（2+1）（2+1）（2+1）（2-1）=（2+1）（2+1）·129·127，故

选C。

10、估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法（或没有必要）进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

例18 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数的三位数，其中奇数共有：

A、36个 B、60个 C、24个 D、28个

3解析：由于五个数字可组成A5=60个没有重复数字的三位数，其中奇数超过一半，但44

又不全是奇数，而B是所有不重复的三位数，C、D都没有超过一半。故选A。

高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择. 例如：估值选择法、特值检验法、顺推破解法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法等都是常用的解法. 解题时还应特别注意：数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而在求解时对照选择支就显得非常重要，它是快速选择、正确作答的基本前提.

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