信号与系统常用变换与知识点 - 图文

连续时间 傅里叶级数FS 傅里叶变换FT 离散时间 傅里叶级数FS 傅里叶变换FT 时域 连续时间，在时间上是 非周期的 非周期的 连续时间，在时间上是 周期的 离散频率，在频率上是 非周期的 ， ， 周期为T，基本频率 离散时间，在时间上是 周期的 离散时间，在时间上是 频域 连续频率，在频率上是 非周期的 离散频率，在频率上是 周期的 连续频率，在频率上是 周期的 (频率周期为2 π) 线性 性质 时移 性质 频移 性质 对称 时间 反转 ， 若： ， ， 周期为N，基本频率 若 是 整数倍 若 不是 的整数倍 时域 变换 若 是 整数倍 若 不是 的整数倍 周期为 相乘 周期卷积： 卷积 周期卷积： 时域 微分 频域 微分 积分 （ 仅当 仅当 才为有限值且为周期的） 才为有限值且为周期的） 共轭 对称 若 为实函数， 非周期信号帕斯瓦尔定理： 非周期信号帕斯瓦尔定理: 帕斯 瓦尔 定理 一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和 一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和 常用傅里叶变换对

连续时间 信号 离散时间 傅里叶变换 信号 傅里叶变换 1 t 周期方波 非周期方波： 单位冲激串： 1 周期方波 非周期方波： 1 1 门函数： 三角形函数： 双边拉普拉斯变换与Z变换性质

逆变换 变换 性质 线性 时移 信号 拉普拉斯变换 Z变换 收敛域ROC 至少 信号 的平移，即若 在 域中，则 就位于收敛域中 ， ， 变换 变换 收敛域ROC 至少 (除了可能增加或去除原点或 点) 的比例伸缩，即在S域平移(z域尺度变换 =在 中z的这些 点的集合 至少 至少 至少 时域尺度变换 共轭 卷积 时域微分 S域微分 时域积分 初值及终值定理

，即若 在R中，则 就位于收敛域中 至少 至少 至少 若 , 且在 不包括任何冲激或高级奇异函数，则： 仅有初值定理：若 时 ，则：

基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换

拉普拉斯变换 信号 z变换 收敛域 全部s 变换 1 信号 变换 1 收敛域 全部z 全部z，除去0（若m＞0），或∞（若m＜0） 全部s 全部s

拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性

收敛域ROC：对于 来说，使得 的傅里叶变换收敛；或者 的拉普拉斯变换收敛！

因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。 稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。 性质 性质1 性质2 拉普拉斯变换 的收敛域是在 平面内由平行于 轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。（因为在极点处， 为无限大，显然不收敛） 如果 是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就性质3 是整个 平面。（ 有限可积，又因为 为一固定常数，则 必定可积） 如果 是右边信号，并且 这条线位于收敛域内，性质4 那么 的全部 值都一定在收敛域内。（ 为右边信号则收敛域必定包含直线 的右半平面，或者用定义式求证） 变换 的收敛域是在 平面内以原点为中心的圆环。 收敛域内不包含任何极点。(因为在极点处， 为无限大) 如果 是有限长序列，那么收敛域就是整个 平面可能除去 和/或 。 如果 是一个右边序列，并且 的圆位于收敛域内，那么 的全部有限 值都一定在这个收敛域内。（ 是右边序列，则收敛域必定包含 的圆外区域） 如果 是左边信号，并且 这条线位于收敛域内，如果 是一个左边序列，并且 的圆位于收敛域内，性质5 那么 的全部 值都一定在收敛域内。（ 为左边信号则收敛域必定包含直线 的左半平面，或者用定义式求证） 那么满足 的全部 值都一定在这个收敛域内。（ 是左边序列，则收敛域必定包含 的圆内（0除外）区域） 如果 是双边信号，并且 这条线位于收敛域内，如果 是双边序列，并且 的圆位于收敛域内，那么性质6 那么收敛域一定由 平面的一条带状区域组成，直线 位于带中。（把 分解为右边、左边信号之和， 收敛的区域即是两者都收敛的区域） 如果 的拉普拉斯变换 是有理的，那么它的收敛域是性质7 被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含 的任何极点。 该收敛域在 域中一定是包含 这一圆环的环状区域。（把 分解为左、右边序列， 收敛的区域即是两者都收敛的区域） 如果 的 变换 是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。 如果 的 变换 是有理的，并且 是右边序列，那么收敛域就位于 平面内最外层极点的外边，也就是半径等于 极点中最大模值的圆外边。而且，若 是因果序列，如果 的拉普拉斯变换 是有理的，那么若 是右边信性质8 号，则其收敛域在 平面上位于最右边极点的右边；若 是左边信号，则其收敛域在 平面上位于最左边极点的左边。 即 为 时等于零的右边序列，那么收敛域也包括 。 如果 的 变换 是有理的，并且 是左边序列，那么收敛域就位于 平面内最里层的非零极点的里边，也就是半径等于 中除去 的极点中最小模值的圆里边，并且向内延伸到可能包括 。特别是，若 是反因果序列，即 为 时等于零的左边序列，那么收敛域也包括 。 ① 一个离散时间线性时不变系统，当且仅当它的系统函数的收敛域在某个圆的外边，且包括无限远点时，该系统① 一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。 因果性 ② 对于一个具有有理函数的系统来说，系统的因果性就等于收敛域位于最右边极点的右半平面。 是因果的。 ② 一个具有有理系统函数 的线性时不变系统是因果的，当且仅当：（a）收敛域位于最外层极点外边某个圆的外边；并且（b）若 表示成 的多项式之比，其分子的阶次不能高于分母的阶次 ① 当且仅当系统函数 的收敛域包括 轴，即 时，一个线性时不变系统就是稳定的。 稳定性 ② 当且仅当 的全部极点都位于 平面的左半平面时，也即全部极点都有负实部时，一个具有有理系统函数 的因果系统才是稳定的。 ① 一个线性时不变系统，当且仅当它的系统函数 的收敛域包括单位圆 时，该系统就是稳定的。 ② 一个具有有理系统函数的因果线性时不变系统，当且仅当 的全部极点的模均小于1时，该系统是稳定的。

单边拉普拉斯变换和z变换性质 变换 拉普拉斯变换 Z变换 任何单边拉普拉斯变换的收敛域总是位于某一右半平面，一个有理单边拉普拉斯变换的收敛域总是在最右边极点的右边 任何单边z变换的收敛域总是位于某个圆的外边，一个有理单边z变换的收敛域总是位于最外层极点的外边。 信号 单边变换 性质 信号 单边变换 线性 S域平移(z域尺度变换 时域尺度变换 共轭 卷积 时域微分 S域微分 时域积分 初值及终值定理 时延： ， 超前： ， ， 假设n＜0， 和 均为零 假设t＜0， 和 均为零 若 在 不包括任何冲激或高级奇异函数，则： 仅有初值定理：

卷积的性质与卷积对：

1、 微分性质： ， 是微分器。推广： 。

2、 3、 4、

积分特性： , 是积分器。

求和特性：

卷积的时不变： 区分 的筛选特性： ；

取样特性： ；

5、 常用卷积对：

常用公式及概念：

1、欧拉公式：(a) ; (b) ; (c) 2、复数的表示方法： ①笛卡尔坐标： ; 其中：实部 ；虚部 ③ 极坐标： ; 其中： 的模 ；相角 3、洛必达法则

若函数 和 满足下列条件：

（1） 或者 ； （2） 在点 的某去心邻域内两者都可导，且 ；

（3）

，（ 可为实数，也可为 ），

则有

4、等比数列求和

等比数列通式： 等比数列求和公式：

，( )

5、有理函数与有理数

有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。

有理数：有理数是一个整数a和一个非零整数b的比。（有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。） 6、系统的因果性：系统的响应不应出现在激励之前。系统的响应与未来值有关。对于线性系统，若是因果系统则满足： 时 。一个线性系统的因果性就等效与初始松弛条件。

7、系统的记忆性：系统的响应与过去的输入有关。如果一个线性时不变系统的单位冲激响应 或单位脉冲响应 ，在 或 时有 或 ，则该系统是无记忆的。

8、系统的可逆性：对于一个系统，当且仅当存在一个逆系统与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统是可逆的。对于线性时不变系统若是可逆的则必须满足， 或 。

9、系统的稳定性：对于每一个有界的输入，其输出是有界的。对于LTI系统稳定的充要条件是：单位脉冲响应是绝对可和或单位冲激响应是绝对可积的。

10、系统的时不变：系统响应的形状不随激励施加的时间不同而改变。对于一个线性因果系统，初始松弛也意味着时不变。

11、系统的初始松弛条件： ，此时零输入响应

12、判断函数的实偶性：实函数其傅里叶级数满足 或者 ，若为偶函数则 也是偶函数 。实奇函数的 为纯虚数，且 ， 。

8、常用三角函数

系统函数与方框图的转化方法？

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