第二十届高等数学竞赛试卷参考答案

中国石油大学（华东）

第二十届高等数学竞赛试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

a?1. 若x?0时，(1?ax)?1与xsinx是等价无穷小，则

1(1?ax)?1~?ax2x~x2. 4.解 当x?0时，，xsin214124.

1?ax2(1?ax)1lim?lim42??a?1x?04x于是，根据题设有 x?0xsinx，故a=-4.

21412. x?0lim(cosx)ln(1?x2)? .

1解

lim(cosx)x?0ln(1?x)2=

ex?0ln(1?x2)lim1lncosx,

而

?sinx1?1lncosxlncosx1cosx??2lim?lim?lime?.22x?0ln(x?0x?02x21?x)xe ，故 原式=

?1x2?3?0sintdt,x?0f(x)??x??a,　　　　 x?0在x?0处连续，则a?3. 设函数

limfx(?)f解 由题设知，函数f(x)在 x?0处连续，则 x?0(?0)a，

.

又因为

?limf(x)?limx?0x?0x0sint2dtx3sinx211?lim?a?x?03x23. 3. 所以

?y?设z?xyf??,函数f(u)可导,则xz?x?yz?y?x??4.

.

?zy??y??y??解:?yf???xyf?????2???x?x??x??x??z?y??y?1?y??xf???xyf????xf???yf?y?x??x?x?x?y2?y??y?yf???f???,x?x??x?y?????,?x?

y?y???xz??yz?2xyf?0?2xysin?0?2z.??xyx?x?1微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为：95.

.

解：原方程等价为：y??y?2??dxex[2y?lnx，于是通解为：x1?[?x2lnxdx?C]??lnx?e1由y(1)??，9111xlnx?x?C39x2x211得C?0，故所求通解为：y?xlnx?x..39

dx?C]??xdx2?a若0?x?16.设a?0,f(x)?g(x)??,而D表示全平面，0,其他?则 I???f(x)g(y?x)dxdy?_______.D

解：本题积分区域为全平面，但只有当 0?x?1,0?y?x?1 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .

?a若0?y?x?1;g(y?x)???0,其他,?20?x?1,a?f(x)g(y?x)??x?y?1?x,?0,其他?

I???a若x?y?1?x;?g(y?x)???0,其他,

??Df(x)g(y?x)dxdy2??0dxdy?a?dx?01x?1xD12??adxdy?1dyD2?a2?[(x?1)?x]dx?a2.0

??7.

2??2(x2005?cos2x)tan2xdx?.

2005222005222解：?2?(x?cosx)tanxdx???2?xtanxdxdx??2?cosxtanxdx?2?2?2???1???0?2?2sin2xdx?2???.02221??2?n????sin?sin?sin??n??nnnn??8.lim.

?

解：lim1??2?(n?1)???sin???sin?sin?n??n?nnn?nni?1?lim?sin??lim?f(?i)?xi?n??i?1nnn??i?1?0sin?xdx1

看作f(x)?sin?x ,把区间[0，1]分为n等份，分点为12in1i0????????, 取?xi?,?i?nnnnnn

1?cos?x112??原式??sin?xdx???cos??cos0??.0`0???

9.

设空间区域?由x2?y2?z2?1所界定,计算???edv??z.

解：?被积函数仅为z的函数，截面Dz为圆域x2?y2?1?z2，故采用＂先二后一＂法．???e?zdv?2???ezdv?2?ezdz??dxdy?2??(1?z2)ezdz?2?.?上0Dz011

10. 设在上半平面D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的

?2t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y). 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，则

.L?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy??2.

,ty)?解 f(txt(f,x两边对)yt求导得

?3??xf(tx,ty)?yf(tx,ty)??2tf(x,y). xy

令

t?1，则

xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y),. 即

11f(x,y)??xfx?(x,y)?yfy?(x,y)22 ①

设P(x,y)?yf(x,y),Q(x,y)??xf(x,y)，则

?Q?P??f(x,y)?xfx?(x,y),?f(x,y)?yfy?(x,y)?y ?x. ?Q?P??x?y 则由①可得

1?1????yf(x,y)?xf(x,y)yx??2?2?.

故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

1.用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程：(1?x2)y???xy??y?0，并求满足y解：y??dydt1dy???，dtdxsintdt

x?0?1,y?x?0?2的解.

dy?dtcostdy1d2y1y?????[2?]?(?),2dtdxsintdtsintdtsint代入原方程得d2ydt2?y?0，y?C1cost?C2sint?C1x?C21?x2x?0解此微分方程，得把初始条件yx?0?1,y??2代入，有C1?2,C2?1。

故满足初始条件的特解为：y?2x?1?x2.

22z?x?y(0?z?1)的下侧，计算曲面积分 2. 设?是锥面

??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy..

?22?z?1(x?y?1)，取上侧，则 1解 设：

??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy

??

???1??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy???xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?1.

而

???1??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy＝

???6dv?6?V2?0d??rdr?dz?2?0r11，

??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0?1.

所以

??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2?.

?3.设函数y?ax3?bx2?cx?2在x?1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的图形有拐点，试确定常数a,b和c的值.

解：f(x)?ax3?bx2?cx?2,f(x)在(??,??)二阶可导，f?(x)?3ax2?2bx?c,f??(x)?6ax?2b,根据题意，f?(1)?3a?2b?c,f??(0)?2b?0,f(1)?a?b?c?2?0，于是得a?1,b?0,c??3.

4.设函数f(x)在(??,?)上连续，且对任意的t满足下式：f(t)?2x2?y2?t2??(x2?y2)f(x2?y2)dxdy?t4求函数f(x).

?x?rcos?解：令?,y?rsin??

f(t)?2?2?0d??r2f(r)rdr?t4?4??f(r)r3dr?t4,00tt两边对t求导：f?(t)?4?f(t)t3?4t3?4t3??f(t)?1?,f?(t)f?(t)1即?4t3??dt??4t3dt，?ln?f(t)?1?t4?C.?f(t)?1?f(t)?1?1?t41?x4由f(0)?0,知C＝0，?f(t)?(e?1)，即f(x)?(e?1)??

5.求旋转抛物面z?x2?y2与平面x?y?2z?2之间的最短距离．.

解：设P(x,y,z)为抛物面z?x2?y2上任一点,1则P到平面x?y?2z?2?0的距离为d,d?x?y?2z?2.6

令F(x,y,z)?1(x?y?2z?2)2??(z?x2?y2),6

(1)(2)(3)(4)

1??F?(x?y?2z?2)?2?x?0,x?3??F??1(x?y?2z?2)?2?y?0,?y3??1?F?(x?y?2z?2)(?2)?z?0,?z3?22??z?x?y,解此方程组得x?111,y?,z?.，即得唯一驻点448111(,,),448

111根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一驻点，故必在(,,)44811117处取得最小值．dmin????2?..644446

2(x2?y2)6.设有一高为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z?h(t)?(设长度为厘米，h(t)时间为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比，（比例系数0.9）,问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？

解：设V为雪堆的体积，S为雪堆的侧面积，则h(t)h(t)1x?y?[h2(t)?h(t)z]222V??dz0??dxdy??0?2[h2(t)?h(t)z]dz??4h3(t).?dV3?2dh?h(t)dt4dt

S?2h2(t)x?y?22??1?2zx?z2ydxdy?2h2(t)x?y?22??1?16(x2?y2)h(t)2dxdy

1?h(t)?02?d??h(t)2[h2(t)01?16r2]2?rdr?13?2h(t).12

dVdV3?2dh3?2dh13?2由题义，??0.9S,??h(t)，?h(t)??0.9h(t)dtdt4dt4dt12 dh131313???，?h(t)??t?C,?h(0)?0,?h(t)??t?130,dt101010

令h?0,得t?100小时。

?7.设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u?6x2?8y2?在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.z

??,Fy?,Fz?,}?{4x,6y,2z}?2{2x,3y,z}|P?{2,3,1},解:n?{Fxcos???u?x?u?z?22?3?1?P22?214?P,cos??614314?u?y,cos??1z1148y,814112xz26x2?8y26x2?8y2z614p??2P,?P6x?8y22P?,??P??14,8?3?14?114?11.7

?u??l2gradu1414146?8??i?j?k.1414?三、证明题（本题8分）：

设函数?(y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，?(y)dx?2xydy曲线积分?的值恒为同一常数，24L2x?y(I)证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有?解 （I）

?(y)dx?2xydy2x?y24C?0；Y (II)求函数?(y)的表达式. l1 l2 C

o X l3 如图，将C分解为：C?l1?l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则

??(y)dx?2xydy2x2?y4C???(y)dx?2xydy2x2?y4l1?l3???(y)dx?2xydy2x2?y4l2?l3?0.

P?（II） 设由（Ⅰ）知，

?(y)2x2?y,Q?42xy2x2?y4，P,Q在单连通区域x?0内具有一阶连续偏导数，

曲线积分

??(y)dx?2xydy2x2?y4L?Q?P??y. 在该区域内与路径无关，故当x?0时，总有?x?Q2y(2x2?y4)?4x?2xy?4x2y?2y5??,242242?x(2x?y)(2x?y) ① ?P??(y)(2x2?y4)?4?(y)y32x2??(y)???(y)y4?4?(y)y3??.242242?y(2x?y)(2x?y) ②

比较①、②两式的右端，得

???(y)??2y,?435　???(y)y?4?(y)y?2y.

2③ ④

535由③得?(y)??y?c，将?(y)代入④得 2y?4cy?2y, 所以c?0，从而?(y)??y.

2中国石油大学（华东）

第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

?1. 若x?0时，解题过程是：

?ln1?x1?x与x?是等价无穷小，则a?.

若x?0时，

ln1?x1?x与x?是等价无穷小，

ln1?x1?x?ln(1?x)?ln1?x?x?o(x)?x?o(x)?x?o(x)，

???则x?0，x?o(x)~x,故

???12.

arctaxn?sinxlim?3x2. x?0解题过程是：

.

x3x33[x??o(x)]?[x??o(x3)]arctanx?sinx136lim?lim??6. x?0x?0x3x3y?1?ln(1?ex)x，渐近线的条数为： 3 ..

3. 曲线

解题过程是：

曲线

y?1?ln(1?ex)x渐近线有3条：垂直渐近线x?0，水平渐近线y?0(x???)，

斜渐近线y?x(x???).

?y?设z?xyf??,函数f(u)可导,则xz?x?yz?y?x??4.

.

?zy??y?y?y2?y????y???解:?yf???xyf??????yf?f????,??2?xxxxx?????x????x??z?y??y?1?y??y??xf???xyf????xf???yf???,?y?x??x?x?x??x?y?y???xz??yz?2xyf?0?2xytan?0?2z.??xyx?x?5.

微

分

方

程

yy???y?2?0满足初始条件yx?0?1,1y?x?0?的特解是:2

. 解题过程是：

dPdP,代入yP?P2?0,dydydPdPdydPdyP?0时，y??P，???,?????,lnP??lny?lnC1，dyPyPy1dy1111?P?,??,?y?x?0?,??,?C1?2.C1ydxC1y22C1解：y???f(y,y?)型，令P?y?,y???P?dy1?,?2ydy?dx,?y2?x?C2,dx2y

?yx?0?1,?1?C2,通解:y2?x?1,或y?x?1. 6.

若平面区域D为:0?x? . 解题过程是：

?2,0?y??2，则二重积分??cos(x?y)dxdy的值为：D解：用直线x?y?I??2把区域D分为D1、D2两个区域.D2D1??cos(x?y)dxdy???cos(x?y)dxdy?0?x?0?0???2dx?2?0cos(x?y)dy??2dx??22cos(x?y)dy?x?0??2(1?sinx)dx??2(cosx?1)dx???2.

?

7.

?0(3cosx?3?cosx)dx?.

解题过程是：

解：令

x??2?t，

3sint?3?sint是奇函数，得

?0?(3cosx?3?cosx)dx=

?? 8.

??2(3sint?3?sint)(?dt)??22(3sint?3?sint)dt?0.??2

x2? 设函数

f(x)的一个原函数是

2，则

?xf?(x)dx= . 解题过程是：

?xf?(x)dx9.

22xdf(x)?xf(x)?f(x)?2xx?2x2ln2?2?C. =?设空间区域?由z?解题过程是：

x2?y2与z?1?x2?y2所围成,计算???(x?z)dV?=

??关于yoz面为对称，f(x,y,z)?x为x的奇函数，有2????xdv?0.利用球面坐标系?????(x?z)dv????zdv????0d??4d??rcos??r2sin?dr?00?1?8.

22为x?y??ax的下半圆周自A(-a,0)到O(0,0)一段.(a?0)， AnO10. 设曲线

.计算??exsiny?3y?dx??excosy?3?dy?AnO . ????Q?P?xx? ?????dxdy?ecosy?ecosy?3dxdy?3??dxdy????x?y?OA?D?DD2解题过程是：

解：补上线段OA，组成闭曲线,?AnOA ??AnO??1?a?3?a2?3??????,2?2?8a3?a23?a2x?? ?? ?? ???e?0?dx?e?3?0?AnOAnOAOA088.

??

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

1.在xoy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上点P(x,y)(x?0)的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax,(a?0)(1)求L的方程；8(2)当直线L与y?ax所围平面图形面积为时，确定a的值.3解题过程是：

解：(1)设曲线L的方程为y?f(x),由题设得，yy???ax,x

这是一阶线性微分方程.,由通解公式，

y1??xdx??e????1???dx?xaxedx?C????x(ax?C)?ax2?Cx

2f(1)?0,?C??a,y?ax?ax(x?0). 又故曲线L的方程为：

(2)L与直线y?ax(a?0)围成的平面图形面积

D?

?20?ax?ax2?ax?dx?a2?2x?x2?dx?4a?8???033??故a?2.222. 设曲面Σ是z?1?x?y(z?0)的上侧.，计算曲面积分

I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy.?

解题过程是：

解：补充xoy平面圆域x2?y2?1的下侧为Σ1，组成闭曲面. I?3323322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy.?????1???1

???1332222xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?6(x?y?z)dxdydz??????

?6?2?0d??dr?011?r20(z?r)rdz?12??211[r(1?r2)2?r3(1?r2)]dr?2?.02

而

?13322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy????x2?y2?1???3dxdy?3?

故I?2??3????.

3.求椭球面2x2?3y2?z2?9的平行于平面2x?3y?2z?1?0的切平面方程.

解题过程是：

解:设F(x,y,z)?2x2?3y2?z2?9,切点M(x0,y0,z0),

??????,Fy?,Fz?}?{4x,6y,2z},n0?{4x0,6y0,2z0},由题意n0?{2,?3,2},n0∥n,.n?{Fx 4x06y02z0??????,x0?,y0??,z0??,2?3222

222M(x0,y0,z0)在椭球面上2x0?3y0?z0?1,??????2???3?????2?9,解得???2.?2??2?

22切点(1,?1,2),(?1,1,?2),代入得切平面方程.2x?3y?2z?9,及2x?3y?2z??9.

4.设函数f(t)在(0,?)上连续，且对任意的t(t?0)满足下式：f(t)?1????[z2?f(?1x2?y2]dV2

其中?由不等式0?z?h,x2?y2?4t2确定，求f(t).解题过程是：

解：在柱坐标系下，等式可写为2πf(t)?1?0?rdθ?rdr?[z2?f()]dz202t02th

h2r即，f(t)?1?2πh?r[?f()]dr320

h2f?(t)?8?ht[?f(t)],3等式两边对t求导得 分离变量并积分f?(t)?h23dt??8πhtdt

?f(t)得h2ln(?f(t)?)4πh2t?C3

h2由原等式可得f(0)?limf(t)?1,?C?ln(?1),?3t?0 124πht2h2?f(t)?(1?h)e?.33

5.求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?(x,y)x2?y2?4,y?0上的最大值和最小值.

解题过程是：

????2x?2xy2,fy??4y?2x2y,求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2fx解：（1）的驻点

???2x?2xy2?0,?fx?222?f?4y?2xy?0?区域D?(x,y)x?y?4,y?0内的驻点为：y?

??(?2,1).

2222. （2）求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D边界上的极值222222L(x,y,?)?x?2y?xy??(x?y?4) 构造拉格朗日函数：

??L2??x?2x?2xy??(2x)?0??L?2??4y?2xy??(2y)?0??y??L?x2?y2?4?0? ???

条件极值驻点为：

(?53,)22

2222.最小值为0。最大值为（3）比较函数f(x,y)?x?2y?xy在这些点的值的大小，8.

6. 设曲面?:x?y?z?1，计算曲面积分?解题过程是：

??(x?y)dS.

解：由曲面?:x?y?z?1的对称性和被积函数对称轮换性，

??xdS?0,??ydS??xdS??zdS??=?=?，

??(x?y)dS?=???ydS=

11(??ydS???xdS???zdS)(x?y?z)dS??33???=

?

11?dS8?34?3??3=?=32=3.

???7.确定常数?使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).解题过程是：

解:令P(x,y)?2xy(x4?y2)?,Q(x,y)??x2(x4?y2)???u?u向量A(x,y)为某函数u(x,y)的梯度,则P?,Q?,?x?y ?Q?P由判别法则?,Pdx?Qdy为某函数u(x,y)的全微分.?x?y

?Q??2x(x4?y2)??x2?(x4?y2)??1?4x3??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1?x

?P?2x(x4?y2)??2?xy(x4?y2)??1?2y?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1?y 由?P?Q?得:4x(x4?y2)??4?x(x4?y2)??1(x4?y2)?0,?y?x

即4x(x4?y2)?(??1)?0????1. 在x?0的半平面取点(1,0),作起点,

(x,y)2xydx?x2dyx2x?0yx2yu(x,y)??C?dx?dy?C??arctan?C.(1,0)1x4?y20x4?y2x4?y2x2

???三、证明题（本题8分）：

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

证：构造辅助函数 h(x)?f(x)?g(x),则h(a)?0,h(b)?0, 证明思路存在x0?(a,b)，使得h(x0)?0,再用两次罗尔定理得到结论.

(a,b)内同一点x0取得，（1）若f(x),g(x)的最大值在则存在x0?(a,b)，使得h(x0)?0,

已知f(x),g(x)在(a,b)内具有二阶导数，用罗尔定理，?x1?(a,x0)与?x2?(x0,b)， 使得h?(x1)?0，h?(x2)?0，进而???(x1,x2)?(a,b)，使得h??(?)?0，即

f??(?)?g??(?).

(a,b)内同一点取得，则存在x1?(a,b)（2）若f(x),g(x)的最大值不在x1?(a,b)，x1?x2。

使得

与

f(x1)?maxf(x)?g(x2)?maxg(x)x?(a,b)x?(a,b)，

h(x1)?f(x1)?g(x1)?0且h(x2)?f(x2)?g(x2)?0，

由连续函数的零点定理，存在介于x1,x2之间的x0?(a,b)，使得h(x0)?0,又

h(a)?0,h(b)?0,

f(x),g(x)在(a,b)内具有二阶导数，由罗尔定理，??1?(a,x0)与??2?(x0,b)，

使得h?(?1)?0，h?(?2)?0，进而???(?1,?2)?(a,b)，使得h??(?)?0，即

f??(?)?g??(?).

综合上述，???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).证毕.

中国石油大学（华东）

第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

x2?1若lim(?ax?b)?0,a?x??x?11.

;b?.

解题过程是：

x2?ax?b（1）lim?5及lim(1?x)?0,?lim(x2?ax?b)?1?a?b?0,,?b??a?11?xx?1x?1x?1 x2?ax?bx2?ax?a?1(x?1?a)(x?1)5?lim?lim,??lim??a?2,?a??7.1?x1?xx?1x?1x?1x?1

?1?a?0x2?1(1?a)x2?(a?b)x?1?b（2）lim(?ax?b)?lim?0,??.?a?1,b??1.x?1x??x?1x????(a?b)?0

1?tanxx3lim().?x2. x?01?sin解题过程是：

13?1)]x1 .

1tanx?sinxx3]1?tanx原式?lim[1?(1?sinxx?0?lim?lim[1?x?01?sinx,.

tanx?sinx1sinx(1?cosx)1sinx1?cosx11??lim??lim???,(1?sinx)cosx2x?01?sinxx3x?0(1?sinx)cosxx3x?0xx21e2.?原式?

3. 设函数

f(x)??x20ln(2?t)dt，则f?(x)的零点个数为： 1

个 . 4.

设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y所确定,.

则3?z?z???x?y解:F(x,y,z)?e2x?3z?2y?z?z2e2x?3z?,2x?3z?x1?3e?z2?,2x?3z?y1?3e33?z?z??2.?x?y

dyy1?y?微分方程????满足yx?1?1的特解为：dxx2?x?5.

解题过程是：

.

解：令u?duydydudu1du1,y?xu,?u?x,?u?x?u??u?3,?x??u3xdxdxdx2dx221dxdu1dx11?y????,?????,????lnx?C,????lnx?C,2x2x2?x?u3u32u2x由yx?1?1，得C＝1，特解为：y?.1?lnx

36.曲线y?5?3x?x的拐点为： . 解：f?(x)?3?.

13x32,f??(x)?29xx32,f??(x)?0;但当x?0时，f??(x)不存在.，拐点为(0,5)7.设曲线积分?[f(x)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关，L其中f(x)一阶导数连续，且f(0)?0，则f(x)?.解题过程是：

?P?Q解：由曲线积分与路径无关的充要条件?,[f(x)?ex]cosy?f?(x)cosy,?y?x[f(x)?ex]?f?(x),f?(x)?f(x)??ex,y??y??ex,一阶线性微分方程.??dx?dxy?e?[??exe?dx?C?ex[??dx?C]??xex?Cex,由f(0)?0，?y??xex，f(x)??xex.设曲面?:x2?y2?z2?R2，??(x?y?z)2dS的值为：?

8. . 解题过程是：

I???(x2?y2?z2?2xy?2xz?2yz)dS???(x2?y2?z2)dS?2??(xy?xz?yz)dS??? ???R2dS?4?R4?. 9.

设Ω是由曲面 z? . 解题过程是：

22x2?y2 与 z?1,z?2所围成的区域.，???(x?y)dxdydz的值为：Ω

解: 先二后一法，2222?zI????（x2?y2)dxdydz??dz??x2?y2dxdy??dz??r2rdrd???dz?d??r3dr?1??Dz1Dz100?r4?z124?z5?2?251?312?24111???dz?d?????zdz?d??2???zdz?2?????2??????.?4?041?5?1?55?100144410??????

10.

22?y2设?为曲面z?1?x?(0?z?1)的上侧，I＝??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy的值为：42..

?解题过程是：

y2解：补上xoy平面上的曲面块?1,?1为被椭圆x??1所围部分的下侧.4?和?1组成闭曲面围成立体?，应用高斯公式，得2I1＝?＋?1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy＝???(z?2z?0)dxdydz??3zdz?01y2x??1?z42??dxdyI1＝?＋?1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy10y22x??1?z4＝???(z?2z?0)dxdydz??3zdz???dxdy??6?z(1?z)dz??.01

I2＝??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy＝?3?1y2x??142??xydxdy?0.I?I1?I2??..

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

1.计算?112x2?xcosx1?1?x2?1dx.

??12.

2x21?1?x102dx??1xcosx1?1?x102?1dx?4?1x21?1?x01x2(1?1?x2)dx?4dx2021?(1?x)??4?(1?1?x2)dx?4?4?1?x2dx?4??.

.

22.区域D是由x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围成的，(x?y?y)d?，.的值为：??D . 解题过程是：

解：把区域D分为D1、D2两个区域.令D1?{(x,y)|x2?y2?4},D2?{(x,y)|(x?1)2?y2?1}由对称性，??yd??0D??Dx2?y2d??2?0D1???x2?y2d??D2??x2?y2d???d??3?22?2cos?216?3216rdr??2d?rdr???(3??2)，003992?16故??(x2?y2?y)d??(3??2)9D

2.

22?x2y2?abxy???在点P?求函数z?1???,??1在此点的内法线方向的方向导数.?处,沿曲线22?a2b2?22??ab??

解题过程是：

2x?2y?2?2?解：gradzp?(?i?j)??i?j,22ababp?z?z2222??gradz?(?)?(?)??np?lpab2a2?b2.ab

4.设函数f(x)在（??,??）内具有一阶连续的偏导数,L是上半平面（y?0）内的分段光滑曲线，其起点为（1,4）,终点为（4,1）.求曲线积分I?1x22[1?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy的值.?y2yL

解题过程是：

?P?11?Q?[?yf(xy)]???f(xy)?xyf?(xy)?,所以曲线积分与路径无关，2?y?yy?xy

1x14I??[1?y2f(xy)]dx?[y2f(xy)?1]dy??[1?42f(4x)]dx??[y2f(4y)?1]dy22y4yyL144?1444115???4f(4x)dx??4f(4y)dy????＝。414144144141

5.

??x2?y2?2z2?0,已知曲线C：求曲线C上距离xOy面的最远的点.和最近的点.。???x?y?3z?5,

解题过程是：

解：

2222L(x,y,z,?,?)?z??(x?y?2z)??(x?y?3z?5) 构造拉格朗日函数：

??L?x?2?x???0 ??y?2?y???0??L?????L?z?2z?4?z?3??0??222x?y?2z?0 ????x?y?3z?5?0 ???x?y ?2x2?2z2?0?2x?3z?5?0

条件极值驻点为：(1,1,1)，(?5,?5,5)，最远点为(?5,?5,5)，最近点为(1,1,1) 6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数?(x)使曲面积分

??(1?xS2) ?(x) dydz?4xy ?(x) dzdx?4xz dxdy

与曲面S的形状无关.

?[解]以L为边界任作两个光滑曲面S1,S2，它们的法向量指向同一侧，

?????S1S2，记S*为S1与S2所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为?，则

????????S*S1?S2?0，由高斯公式得

????(?P?Q?R??)dV?0?x?y?z，由?的任意性得

?P?Q?R???0??2x?(x)?(1?x2)?'(x)?4x?(x)?4x?0, 即(1?x2)?'(x)?2x?(x)?4x?0解线?x?y?z2性非齐次方程得?(x)??cx?c?2.

2227. 设一球面的方程为x?y?(z?1)?4，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，

垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体?的体积.

[解]设点Q为(x0,y0,z0)，则球面的切平面方程为x0(x?x0)?y0(y?y0)?(z0?1)(z?z0)?0垂线

xyz???x0?tx,y0?ty,z0?1?tz222xyz?1000方程为代入x0?y0?(z0?1)?4及切平面方程得

x2?y2?z2?42222222t2，x2?y2?z2?z?t(x2?y2?z2)，即(x?y?z?z)?4(x?y?z)（P点轨

迹）.化为球坐标方程得??2?cos?.

V??d??sin?d?? 0 0 2? ? 2?cos? 02? ??d??(2?cos?)3d(2?cos?)?40?3 03.

2?

三、证明题（本题8分）：

设函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx,证明：至少存在一点??(1,3)，23使得???(?)?0.证：由定积分中值定理，可知 至少存在一点??[2,3]，又由

?2?(x)dx??(?)(3?2)??(?),

3?(2)???(x)dx??(?)知,2???3.23

对?(x)在[1,2]和[2,3]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到?(1)??(2),?(?)??(2),得

??(?1)??(2)??(1)2?1?0,1??1?2,??(?2)??(?)??(2)?0,2??2???3,??2

对??(x)在[?1,?2]应用拉格朗日中值定理，得

???(?)???(?2)???(?1)?0,??(?1,?2)?(1,3).?2??1

一、填空题（每小题4分，本题共20分）：

1??2?3?n??lim?1?cos?1?cos?1?cos?...?1?cos??n??nnnnn??_____ 1．

?1?etanx,x?0?x?f(x)??arctan2?2x?x?0在x?0处连续，则a?_______?2 ?ae,2．设

3．

?a?a??f(x)?f(?x)?sinx?a2?x2dx??

x2y2??1(2xy?3x2?4y2)ds?____?34．设L为椭圆4，其周长记为a，则L.12a

2225．设?的方程是x?y?z?R(R?0)，则?22dS?(x?y?z)??4?R4

二、选择题（每小题4分，本题共20分）：

x?01．若f(x)连续，且

limf(x)??1x(1?cosx)，则（A）

(A)x?0是f(x)的驻点，但不是f(x)的极值点；(B)x?0是f(x)的驻点，且是f(x)的极小值点；(C)x?0是f(x)的驻点，且是f(x)的极大值点；(D)x?0不是f(x)的驻点.

2．若f(x)可导，且在x?0的某邻域内有f(1?x)?2f(1?x)?3x?o(x),则（A）

(A)f(1)?0,f'(1)?1；(B)f(1)?0,f'(1)?2；(C)f(1)?0,f'(1)??1；(D)f(1)?0,f'(x)在x?1处不一定可导

1f(a?)n?limnlnn??f(a)3．设f(x)?0且可导，则（D）

f?(a) （A）0 （B）? （C）lnf?(a) （D）f(a)

324.设C为曲线y?x和直线y?x所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分

?Cx2ydx?y3dy?( B ).

1123?23;?;;.(A) 44 (B)44 (C)44 (D)44

22D?(x,y)x?y ?2y，则??f(u)5．设函数连续，区域D??f(xy)dxdy?（）

(A)(C)?? ? 0 1 ?1dx? 0 1?x2 ?1?x2f(xy)dy ;

(B)2?dy? 0 2 2y?y2 0f(xy)dx ;

d??2sin?f(r2sin?cos?)dr ;(D)? ? 0d??2si?n 0f(r2sin?co?s)rdr ;三、计算下列各题

1。（本题8分）如图，f(x),g(x)是两个逐段线性的连续函数，设

u(x)?f(g(x))，求u'(1)

解：u'(1)?f'(g(1))g'(1)

g(1)?3,g'(1)??3,f'(g(1))?f'(3)??u'(1)?34

14

所以

2．（本题8分）设f(x)为连续函数，且解：

???0f(xsinx)sinxdx?1

，求

??0f(xsinx)xcosxdx

??0f(xsinx)sinxdx??f(xsinx)xcosxdx0???f(xsinx)d(xsinx)?F(xsinx)0?0?0

其中F(x)为f(x)的原函数 ，又

所以

???0f(xsinx)sinxdx?1?0f(xsinx)xcosxdx??13．（本题8分）设函数f(x)是以2为周期的连续函数，它在

[0,2]上的图形为分段直线，g(x)是线性函数，y?f(x)，

求

? 2 0f(g(x))dx。

解：g(x)?3x?1,g?(x)?3.令g(x)?t，

则

y? 2 0 2 21 71f(g(x))dx??f(t)dt??3??f(t)dt??f(t)dt?1. 0 0313

l2l14. （本题9分）如图，曲线C的方程为y?f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)

432C1y?f(x)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，

xO1234计算定积分

?30(x2?x)f???(x)dx.

解 题设图形相当于已知f(x)在x?0的函数值与导数值，在x?3处的函数值及一阶、二阶导数值.由题设图形知，f(0)?0, f?(0)?2; f(3)?2, f?(3)??2,f??(3)?0.

由分部积分，知

?(x032?x)f???(x)dx??(x?x)df??(x)?(x?x)f??(x)03223030??f??(x)(2x?1)dx03

=

??(2x?1)df?(x)??(2x?1)f?(x)03?2?f?(x)dx03

=16?2[f(3)?f(0)]?20.

5. （本题9分）设函数f(x,y)在点(0,1)的某邻域内有定义，且在点(0,1)处可微，又

f(x,1?y)?1?2x?3y?o(?).

1??nlim?f(0,e)?22n???? 其中 ??x?y，求

n解：由于函数f(x,y)在点(0,1)处可微，故在点(0,1)处连续，对

f(x,1?y)?1?2x?3y?o(?).

取极限，得

limf(x,1?y)?f(0,1)?1.x?0y?0

将式子f(x,1?y)?1?2x?3y?o(?).变形为 f(0?x,1?y)?f(0,1)?2x?3y?o(?). 根据微分的定义得 fx(0,1)?2,fy(0,1)?3

因为函数f(x,y)在点(0,1)处连续且f(0,1)?1?0，有连续函数的局部保号性可知

1??n?f(0,e)??0? ?

1??nxn??f(0,e)???并取对数得 令

1n1n1nnnlnxn?nlnf(0,e)?

ln[0,1?(e?1)]?lnf(0,1)e?1?11en?1n

1nlimlnxn?limnlnf(0,e)?limn??n??n??ln[0,1?(e?1)]?lnf(0,1)e?11n1n?lim所以

e?1n??1n

1n?

?lnf(x,y)x?0fy(x,y)x?0fy(0,1)???3y?1f(x,y)y?1f(0,1)?y

6.

L（本题9分）计算

I??[exsiny?b(x?y)]dx?(excosy?ax)dy,其中a,b2A(2a,0)y?2ax?x为正的常数，L为从点沿曲线到点O(0,0)的弧（如图）.

解法1 可考虑添加有向线段L1:y?0，从点O(0,0)到点A(2a,0)，构成封闭曲线，然后利用格林公式计算.

?P?Q?Q?P?excosy?b,?excosy?a??b?a?y?x?x?y，， I???L1L?L1[exsiny?b(x?y)]dx?(excosy?ax)dy

??[exsiny?b(x?y)]dx?(excosy?ax)dy???(b?a)dxdy???bxdx?D02a?????a2(b?a)?2a2b???2?a2b?a322. ?2?解法2 此题亦可将其分为两部分进行计算.

I??exsinydx?excosydy??b(x?y)dx?axdyLL，其中，前一积分与路径无关，故可选

择沿直线段y?0从A(2a,0)到O(0,0)积分 ，得

?Lexsinydx?excosydy?0.

?x?a?acostL:??y?asint后一积分，可直接化为对参变量的定积分，，t从0到?.

?b(x?y)dx?axdy??L?0[b(a?acost?asint)(?asint)?a(a?acost)acost]dt

11????2a2b??a2b??a3I?(?2)a2b?a32222. ，故

7．（本题9分）证明：由x?a,x?b,y?f(x)及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所形成的立体

对x轴的转动惯量(密度?=1)为.

Ix??2?baf4(x)dx.其中f(x)是连续的正值函数.

22y?z?f(x) y?f(x)x证明：曲线弧绕轴旋转一周所形成的旋转曲面为

设y?rcos?,z?rsin?,曲面的柱坐标方程为r?f(x).

Ix????(y2?z2)dxdydz??dx??r2?rdrd???dx?d???aDXa0bb2?f(x)0r3dr

14?2??f(x)dx??42 =ab?baf4(x)dx.

一、填空题（每小题4分，本题共20分）：

n1、n??lime?e?e1n2nn?1n本页满分40分 ?e?2 。

?uyu?xy?2x，则?y= 。 2、设

本 页得分 3、设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分

可化成对弧长的曲线积分

_____ ______，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。

?2z?2z?22x?x?y= 。 4、设z?esiny?ecosy，则?x15、x?0lim(cosx)x?2 。

二、选择题（每小题4分，本题共20分）：

ex?1设I??xdx,则I?e?11、( )

(A)　ln(ex?1)?c (B)　lne(x?1)?c;

(C)　2ln(ex?1)?x?c;(D)　x?2ln(ex?1)?c

设　lim2、

x?af(x)?f(a)??1,则点x?a(x?a)2 ( )

(A)　是f(x)的极大值点　　　　　　　(B)是f(x)的极小值点(C)　是f(x)的驻点,但不是极值点,　　(D)不是f(x)的驻点

x03、方程0?1?tdt?(B)

2cosx?e?t2dt?0的根的个数 ( )

(D) 3

(A)0

4、若曲线x?ecost,y?esint,z?e在对应于值是( )

tttt??4点处的切线与zx平面交角的正弦

(A)

23

(B)

13

(C) 0 (D) 1

2L5、设C表示椭圆

(x?y，其方向为逆时针方向，则曲线积分?)dx?( )

(A) πab (B) 0

(C) a+b2 (D) －πab2

三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：

1、设f(x)二阶连续可微，且f(0)?1,f?(0)?0，试确定f(x)，使

本页满分14分 本 页得分 (f??曲线积分

L2?f)ydx?f?f?dy与路径无关。

(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．2、设函数f(x)在?a，b?上有连续导数

2?f(x)dx??r(?)d? 的值 ,其中??arctanab?2计算表达式

?f(a)f(b)，??arctan．ab

x?t12本页满分14分 本 页得分 3、设

f(x)??edt1，计算积分0?f(x)dx

4、设f(x)连续，且满足

f(a?ba?bf(x)dx??x)??f(?x)22，计算积分a

b本页满分14分 5、 计算二重积分

I???D1(x?y)223dxdy，其中D是由直线

y?x,x?2及上半圆周

本 页得分 y?2x?x2所围成的区域.

cosexxx[?esine?Lx 6、 计算coexslxyn(dx)?]dy22y，其中L是圆周(x?2)?(y?2)?2沿正向从点A(1,1)到点B(3,3)的一段圆弧.

四．证明题：（每小题6分，本题共18分）：

本页满分12分 本 1页f(0)?0,f(x)dx?001、设f(x)在[0，1]上连续，且。证明在（0，得?分 f(x)dx???f(?)1）内至少存在一点?，使得0。

??012、设f(x)连续，且?1点。

?xf(x)dx?0,?xf(x)dx?00，证明：f(x)在(?1,1)内至少有一个零

本页满分6分 本 页得分 3、 证明:由x?a,x?b,y?f(x)及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一

周所形成的立体对x轴的转动惯量 (密度?=1) 为 其中f(x)是连续的正值函数.

中国石油大学（华东）

第二十四届高等数学竞赛试题答案

一、填空题（每小题4分，本题共20分）：

Ix??2?abf4(x)dx.1、n??lime?e?en1n2nn?1n?e?

e 。

?uyu?xy?2x，则?y= 0 。 2.设

3.设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分

可化成对弧长的曲线积分___________，其中P(x,y)和Q(x,y)

2是在L上的连续函数。

?Lp(x,y)?2xQ(x,y)1?4x2ds

?2z?2z?22x?x?x?y= 0 。 z?esiny?ecosy4.设，则

15、

lim(cosx)x?0x2?e?12。

二、选择题（每小题4分，本题共20分）：

ex?1设I??xdx,则I?e?11、( C )

(A)　ln(ex?1)?c (B)　lne(x?1)?c; (C)　2ln(ex?1)?x?c; (D)　x?2lne(x?1)?c

设　lim2、

x?af(x)?f(a)??1,则点x?a(x?a)2(A)

(A)　是f(x)的极大值点　　　　　　　(B)是f(x)的极小值点(C)　是f(x)的驻点,但不是极值点,　　(D)不是f(x)的驻点x0

3、方程0?1?tdt?2cosx?te?dt?02的根的个数(B)

t (A)0 (B) 1 (C)2

tt (D) 3

4、若曲线x?ecost,y?esint,z?e在对应于值是(A)

t??4点处的切线与zx平面交角的正弦

(A)

23

(B)

13

(C) 0 (D) 1

5、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分

(B)

(A) πab (B) 0

(C) a+b2 (D) －πab2

三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：

1、设f(x)二阶连续可微，且f(0)?1,f?(0)?0，试确定f(x)，使曲线积分

?

L(f?2?f)ydx?f?f?dy与路径无关。

解 由曲线积分与路径无关的条件得

f?2?f?f?2?f?f??

f??(x)?1

即

积分两次得

f(x)?12x?C1x?C22

代入条件f(0)?1,f?(0)?0，得C1?0,C2?1

故所求函数为：

f(x)?12x?12

(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．2、设函数f(x)在?a，b?上有连续导数

2?f(x)dx??r2(?)d? 的值 ,其中??arctanab?计算表达式

?f(a)f(b)，??arctan．ab

因为r2?x2?f2(x)，??arctan解

?bf(x)xf?(x)?f(x)，d??2dx2xx?f(x)

于是　?r2(?)d????xf?(x)?f(x)?dx?a??xf?(x)dx??f(x)dxaababb

ba?xf(x)ba??f(x)dx??f(x)dx?bf(b)?af(a)?2?f(x)dxabb

所以　2?f(x)dx??r(?)d??bf(b)?af(a)a?2?x123、设

1f(x)??e?tdt1，计算积分0?f(x)dx

解

?021f(x)dx?xf(x)??xe?xdx?(e?1?1)002

114、设f(x)连续，且满足

bf(a?ba?bf(x)dx??x)??f(?x)22，计算积分a

b解 在ab?f(x)dx中令

x?a?b?t2，有

0b?a2?af(x)dx??b?a2?a?bf(?t)dt?2?b?a2?f(a?b?t)dt?2b?a2?0f(a?b?t)dt2

0b?a?在2?f(a?b?t)dt2中令t??u，则

b?a20b?a?2b?f(a?b?t)dt?2?0f(a?b?u)du??2b?a2?0f(a?b?u)du2

从而a?f(x)dx?0

5、 计算二重积分

I???D1(x?y)223dxdy，其中D是由直线y?x,x?2及上半圆周

y?2x?x2所围成的区域.

2?2cos??????cos???0?????4如图所示，可表示为?，则

解 积分域D

?40I??d??2cos?2cos?1?0??d????4?cos??3?1?21??d?2cos??

?1124??[sin??ln|sec??tan?|]0??[?ln（2?1）]222.

cosexxx[?esine?Lx 6、 计算coexslxyn(dx)?]dy22y，其中L是圆周(x?2)?(y?2)?2沿正向从点A(1,1)到点B(3,3)的一段圆弧.

?Pexsinex?Q????yy?x，积分与路径无关，选折线段AEB为积分路径. 解

cosexcosexxx?L[x?esineln(xy)]dx?ydy

cosexcosexcosexcosexxxxx??[?esineln(xy)]dx?dy??[?esineln(xy)]dx?dyAEEBxyxy

33cosecosexxx??(?esine?lnx)dx??dy11xy?2ln3?cose3. 3四．证明题：（每小题6分，本题共18分）： 1、设f(x)在[0，1]上连续，且

?f(0)?0,?f(x)dx?001。证明在（0，1）内至少存在一点

?，使得?0f(x)dx???f(?)。

证明：设：F（x）=x0,x?[0,1](2分)

F（x）在[0，1]连续，（0，1）可导，且F（0）＝F（1）＝0 由罗尔定理：F?(?)?0 即：

?xf(t)dt??0f(t)dt???f(?)

102、设f(x)连续，且?1点。

?xf(x)dx?0,?xf(x)dx?000，证明：f(x)在(?1,1)内至少有一个零

证明：由积分中値定理，存在?10xf(x)dx????[?1,0]使得

?11f(?1)?0

xf(x)dx?0?因，所以??11?0，于是存在?1?[?1,0)使得f(?1)?0，同理

存在?2?(0,1]使得f(?2)?0，由零点定理存在??(?1,?2)，使得f(?)?0

3、证明:由x?a,x?b,y?f(x)及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所形成的立体对x轴的转动惯量(密度?=1)为.

Ix??2?baf4(x)dx.其中f(x)是连续的正值函数.

22y?z?f(x)，则 证明：曲线弧y=f(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面为

Ix????(y2?z2)dxdydz? 其中 ?:a?x?b,(y,z)?Dx?{y?z?f(x)}.

222??dx??(y2?z2)dydzaDxb （用“先二后一法”）

??dx?ab2?0d??bf(x)0r3drs,z?rsin?,则Dx:0???2?,0?r?f(x).） （令y?rco?

=

?a2??14?f(x)dx?42?baf4(x)dx.

一、填空题（每小题4分，本题共20分）：

dx22tf(x?t)dt?_______________?0f(x)1、设连续，则dx。

____________。 2、已知z?e，则dz?__________3、函数u?xy?yz?zx在点P?(1,2,3)处沿向量OP的方向导数是

yx本页满分28分 本 页得分 _____，函数u 在点P处的方向导数取最大值的方向是_____，该点处

方向导数的最大值是_____。

?a(1?cosx),x?0?x2???x?0f(x)??8,?x?tbsinx???0edt,x?0??x4、设函数连续，则a? ，b? 。

5、极限

lim(1?3x)x?02sinx?。

二、选择题（每小题4分，本题共20分）：

1、设f(x)是可导函数，则下列各式不成立的是（ ）

(A)limx?0f(x)?f(0)?f?(0)x； f(a?2h)?f(a)?f?(a)h； f(x0)?f(x0??x)?f?(x0)?x； f(x0??x)?f(x0??x)?f?(x0)2?x。

、

设

?(B)limh?0(C)lim?x?0(D)lim2

??x?0sinx42(sin3x?cos4x)dx,P?2(x2sin3x?cos4x)dx,M??2?cosxdx,N??????1?x2??222则

()

?(A).N?P?M;(C).N?M?P;

(B).M?P?N;(D).P?M?N.

本页满分19分 本 页得分 ??（0，0）3、设函数f(x,y)在附近有定义，且fx(0,0)?3,fy(0,0)?1，

则（ ） (A)

dz(0,0)?3dx?dy;.

1，1}；（B）曲面z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3，

?z?f(x,y)?，0，3}； (C) 曲线?y?0在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1 ?z?f(x,y)?0，1}。 (D) 曲线?y?0在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3，lim4、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且y?0（A）点(0,0)不是f(x,y)的极值点； (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点；

x?0f(x,y)?xy?1222(x?y)，则（ ）

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