2014高考数学第一轮复习精品学案第32讲：不等式解法及应用

普通高考数学科一轮复习精品学案

第32讲 不等式解法及应用

一．课标要求

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2．一元二次不等式

①．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

二．命题走向

分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。

预测高考的命题趋势：

1．结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；

2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；

3．在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；

4．对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。

三．要点精讲

1．不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。 （1）同解不等式（(1)f(同解； x) gx()与fx() F(x) g(x) F(x)

（2）m 0，f(x) g(x)与mf()x mg()x同解，m 0，f(x) g(x)与

mf()x mg()x同解；

（3）

f(x)

同解）； 0与fxg() (x) 0(g(x) 0

g(x)

2．一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

(1)a 0

ax b 分 (2)a 0情况分别解之。

(3)a 0

3．一元二次不等式

22

或ax bx c 0(a 0) 分a 0及a 0情况分别解ax bx c 0(a 0)

之，还要注意 的三种情况，即 0或 0或 0，最好联系二次函数的图 b 4ac象。

4．分式不等式 分式不等式的等价变形：5．简单的绝对值不等式

绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。

解绝对值不等式的常用方法：

①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般

2

f(x)f(x)

>0 f(x)·g(x)>0，≥0 g(x)g(x)

f(x) g(x) 0

。

g(x) 0

不等式；

②等价变形：

解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|<a x<a －a<x<a(a>0)， |x|>a x>a x>a或x<－a(a>0)。 一般地有：

|f(x)|<g(x) －g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x) f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。 6．指数不等式 a

f(x)

gx()

a

2

22

2

(； 1)当a 1时，fx() g(x)

； (20)当 a 1时，f(x) g(x)7．对数不等式

a N b logaN

b

a 0，b 0，logb)logb，log (maaa

l og(fx) log(gx) aa

n

n

m

1

等，

logab

g(x) 0

（1）当a 时， ； 1

f(x) g(x) f(x) 0

（2）当0时， 。 a 1

f(x) g(x)

8．线性规划

（1）平面区域

一般地，二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式Ax By C 0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线Ax By C 0同侧的所有点的坐标(x,y)代入Ax By C，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C 0时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念

引例：设z 2x y，式中变量x,y满

y

x 1 C

足

x 4y 3

条件 3x 5y 25，求z的最大值和最小

x 1

由题意，变量x,y所满足的每个不等式表示一个平面区域，不等式组则表示这些平区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在

值。

A x 4y 3 0

O

3x 5y 25 0

x

都面公

共区域内，当x 0,y 0时，z 2x y 0，即点(0,0)在直线l0：2x y 0上，作一组平行于l0的直线l：2x y t，t R，可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足

2x y 0，即t 0，而且，直线l往右平移时，t随之增大。

由图象可知，当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，

当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zmax 2 5 2 12，zmin 2 1 1 3。 在上述引例中，不等式组是一组对变量x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z 2x y是要求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式，叫目标函数。又由于z 2x y是x,y的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

四．典例解析

题型1：简单不等式的求解问题

x2 1 0

例1．不等式组 的解集是（ ）

2

x 3x 0

A．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜0＜x＜1} 答案：C

B．｛x｜0＜x＜３} D．｛x｜－1＜x＜３}

x2 1 1 x 1解析：原不等式等价于： 0＜x＜1。

x(x 3) 0 0 x 3

点评：一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其它问题的基础。 例2．不等式

x 1

>0的解集为（ ） x 3

B.{x|x>3} D.{x|1<x<3}

A.{x|x<1}

C.{x|x<1或x>3} 答案：C 解析：由已知∴x<1或x>3.

x 1

0 （x－1）（x－3）>0， x 3

故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}。

点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）。

题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题

例3．（1）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ） A．｛x｜0≤x＜1}

B.｛x｜x＜0且x≠－1}

D.｛x｜x＜1且x≠－1}

C．｛x｜－1＜x＜1}

x 0

（2）不等式组 3 x2 x的解集是（ ）

|| 3 x2 x

A.｛x｜0＜x＜2} C.｛x｜0＜x＜

B.｛x｜0＜x＜2.5} D.｛x｜0＜x＜3}

}

解析：（1）答案：D；

解法一：①x≥0时，原不等式化为：（1＋x）（1－x）＞0， ∴（x＋1）（x－1）＜0， ∴

1 x 1

0≤x＜1。

x 0

②x＜0时，原不等式化为：（1＋x）（1＋x）＞0 （1＋x）2＞0， ∴x≠－1， ∴x＜0且x≠－1。

综上，不等式的解集为x＜1且x≠－1。

1 x 0 1 x 0解法二：原不等式化为： ①或

1 |x| 0 1 |x| 0 x 1

－1＜x＜1， ①解得

|x| 1 x 1②解得 即x＜－1，

|x| 1

∴原不等式的解集为x＜1且x≠－1。

②

点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。 （2）答案：C

解法一：当x≥2时，原不等式化为

3 xx 2

， 3 xx 2

去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2）， 即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0， 注意x≥2，得2≤x＜

6 x 6。

6；

当0＜x＜2时，原不等式化为

3 x2 x

，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。 3 x2 x

即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。

综上得0＜x＜

6，所以选C。

解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=

，不适合不等式，所以排除B；选C。

点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。

1x

例4．（1）不等式（）

3

2

8

＞3

－2x

的解集是_____。

（2）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ） A.（

4

，

2

）∪（π，

5

） 4

B.（

4

，π）

C.（

45 ，）

4

D.（

45 3

，π）∪（，）

42

x 1

2t,x 2, 2

（3）设f(x)= log(x 1),x 2, 则不等式f(x)>2的解集为（ ） t

(A)（1，2） （3，+∞） (B)（，+∞） (C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2） 解析：（1）答案：｛x|－2＜x＜4｝ 将不等式变形得3

x2 8

3 2x

则－x2＋8＞－2x，从而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．

评述：此题考查指数不等式的解法； （2）答案：C

解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标由图4—6可得C答案。

4

和

5 ，4

图4—6 图4—7

解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）。 （3）C；

点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。

题型3：含参数的不等式的求解问题

例5．（1）设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M ［1，4］，求实数a的取值范围？

（2）解关于x的不等式

a(x 1)

＞1(a≠1)。 x 2

分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。

解析：（1）M ［1，4］有两种情况：其一是M= ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。

设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) 当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= ［1，4］； 当Δ=0时，a=－1或2；

当a=－1时M={－1} ［1，4］；当a=2时，m={2} ［1，4］。 当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。

设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，

f(1) 0,且f(4) 0那么M=［x1，x2］，M ［1，4］ 1≤x1＜x2≤4 ，

1 a 4,且 0 a 3 0

18 7a 0

18

即 ，解得2＜a＜，

a 07 a 1或a 2

∴M ［1，4］时，a的取值范围是(－1，（2）原不等式可化为：

18)。 7

(a 1)x (2 a)

＞0，

x 2a 2

①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解。

a 1

由于

a 21

1 1 2， a 1a 1

a 2

)∪(2，+∞)。 a 1

a 2

②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解。

a 1

∴原不等式的解为(－∞，

a 21

， 1

a 1a 1

a 21a 2

若a＜0，，2)； 1 2，解集为(

a 1a 1a 1

a 21

若a=0时， 1 2，解集为 ；

a 1a 1a 21a 2

若0＜a＜1，)。 1 2，解集为(2，

a 1a 1a 1

由于

a 2a 2)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；a 1a 1

a 2

当a=0时，解集为 ；当a＜0时，解集为(，2)。

a 1

综上所述：当a＞1时解集为(－∞，

点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。

例6．（1）设a＞0,n 1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为______ _；

（2）设a 0,a 1，函数f(x) loga(x 2x 3)有最小值，则不等式loga(x 1) 0的解集为 。

解析：（1）由于函数有最大值，则0 a 1。所以原不等式可转化为0 x 5x 7 1，又因为x 5x 7 (x )

2

2

2

5

2

2

3

0恒成立，由x2 5x 7 1解得2 x 3； 4

（2）由于函数有最小值，故a 1。原不等式化为x 1 0，即x 1。

点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类

标准为a 1,0 a 1两种情况，这也是分类的标准。 题型4：线性规划问题

x y 1 0

例7．（1）如果实数x、y满足条件 y 1 0， 那么2x y的最大值为（ ）

x y 1 0

A．2 B．1 C． 2 D． 3

y x

（2）设变量x、y满足约束条件 x y 2，则目标函数z 2x y的最小值为（ ）

y 3x 6

A．2 B．3 C．4 D．9 解析：（1）当直线2x y t过点(0，-1)时，t最大，故选B； （2）B．

点评：近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分知识大多都属于基础题目，属于中低档题目。

例8．（1）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1,b1，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2,b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1,d2元，月初一次性够进本月用原料A,B各c1,c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z d1x d2y最大的数学模型中，约束条件为（ ）

a1x a2y c1 a1x b1y c1

bx by c 122 （B） a2x b2y c2 （A）

x 0x 0

y 0y 0 a1x a2y c1 a1x a2y c1

bx by c bx by c 122122 （C） （D）

x 0x 0 y 0y 0

x y 2 0,

（2）在平面直角坐标系中，不等式组 x y 2 0,表示的平面区域的面积是（ ）

x 2

(A)

1913

(B) (C) (D)

8822

x y 4

（3）已知点 P（x，y）的坐标满足条件 y x,点O为坐标原点，那么|PO |的最小值

y 1,

等于________，最大值等于________。

a1x a2y c1 bx by c122，选C； 解析：（1）约束条件为

x 0 y 0

（2）A；

（3

点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现。

题型5：不等式的应用

例9．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：

1

污物质量

）为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99。有两种方案可供选择，

物体质量（含污物）

方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1 a 3)。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是

x 0.8

(x a 1)，用y单位x 1

质量的水第二次清洗后的清洁度是洁度。

y ac

，其中c(0.8 c 0.99)是该物体初次清洗后的清y a

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c 0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少； (Ⅱ)若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。

解析：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有

x 0.8

=0.99,解得x=19。 x 1

由c 0.95得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程：

y 0.95a

0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3。

y a

因为当1 a 3时,x z 4(4 a) 0,即x z,故方案乙的用水量较少。 （II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得x ， y a(99 100c)（*）

于是x y

5c 4

，

5(1 c)

5c 41

+a(99 100c) 100a(1 c) a 1，

5(1 c)5(1 c)

当a为定值时

,x y a 1 a 1，

当且仅当

1

100a(1 c)时等号成立。

5(1 c)

不合题意,舍去)或c 1(0.8,0.99),

此时c 1

将c 1*

）式得x 1 a 1,y a.

故c 1, 此时第一次与第二次用水量分别为：

1与a,

最少总用水量是T(a) a 1.

当1 a 3时,T(a)

'

1 0，故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明，随着a的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。

点评：通过实际情景建立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，解题的关键是建立函数模型，通过函数的性质特别是单调性建立不等关系求得结果。

例10．如图6—1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=

k

，其中k＞0为比例系数，依题意，ab

即所求的a、b值使y值最小。

根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）， 得b=

30 a

（0＜a＜30) ①， 2 a

于是y

kkkk

2

ab30a a

a 32 34 (a 2 )

a 2a 22 a

k

64

a 2

k。 18

34 2(a 2)

当a+2=

64

时取等号，y达到最小值。 a 2

这时a=6，a=－10（舍去） 将a=6代入①式得b=3，

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。 由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）， 即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）。 ∵a+2b≥2

2ab ∴22ab＋ab≤30，

当且仅当a=2b时，上式取等号. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。 ∴2b2＝18．解得b=3，a=6。

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

点评：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力。

五．思维总结

1．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习

解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解。

加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。

加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视。

2．强化不等式的应用

突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识。 高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。

如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。

3．突出重点

综合考查在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重。在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点。

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