云南省水富县17学年高二数学下学期阶段检测试题（三）理

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2016—2017学年度下学期阶段测试（三）

高二年级理科数学试卷

【考试时间：06月02日】 第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．）

1、设全集U?M?N??1,2,3,4,5?,M?CUN??2,4?，则N?（ ）

?A??1,2,3? ?B??1,3,5? ?C??1,4,5? ?D??2,3,4?

2、已知复数z?1?i，其中i为虚数单位，则z?（ ） i?A?1 ?B?22 ?C?2 ?D?2 23、设向量a???1,2?,b??m,1?，若向量a?2b与2a?b平行，则m?（ ）

?A??7 ?B??1 ?C?3 ?D?5

22224、阅读右边的程序框图，若输出S的值为?14，则判断框内可

填写（ ）

第4题

?A?i?6? ?B?i?5? ?C?i?8? ?D?i?7?

5、在等差数列?an?中，已知a4?a8?16，则该数列的前11项和S11?（ ）

?A?58 ?B?88 ?C?143 ?D?176

6、已知角?的终边经过点??4,3?，则cos??（ ）

?A?4 ?B?3 ?C??3 ?D??4

55557、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法总数为（ ）

1

?A?3?3! ?B?3??3!?3 ?C??3!?4 ?D?9!

8、已知圆C:x2?y2?2x?4y?1?0上存在两点关于直线l:x?my?1?0对称，经过点M?m,m?作圆C的切线，切点为P，则MP?（ ）

?A?6 ?B?2 ?C?29、由曲线y?2 ?D?3

x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

3?A?10 ?B?4 ?C?16 ?D?6

310、设a?R，若函数y?ex?ax,x?R有大于零的极值点，则（ ）

?A?a??1 ?B?a??1 ?C?a??1 ?D?a??1

ee11、若不等式2xlnx??x?ax?3对x??0,???恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

2?A????,0? ?B??0,??? ?C????,4? ?D??4,???

x2x212、已知O为坐标原点，F是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左焦点，A,B分别为C的左右顶点，

abP为C上一点，且PF?x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率是（ ）

?A?1 ?B?1 ?C?2 ?D?3

3234

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分．）

?x?y?2?0,?13、若x，y满足约束条件?x?2y?2?0,，则z?3x?y的最大值为 .

?x?y?2?0,?1??214、?2x??展开式中x的系数为 .

2??6 2

15、如右图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为 .

16、已知a?0且a?1，函数f(x)?ax?x?4的零点为m，函数g(x)?logax?x?4的零点为n，则

12?的最小值为 . mn 三、解答题（本题共6题，共70分．）

17、（本小题满分10分）已知各项都为正数的等比数列

?an?满足5a1?4a2?a3，且a1a2?a3.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?log5an，且Sn为数列?bn?的前n项和，

?1?求数列的??的前n项和Tn.

?Sn?

18、（本小题满分12分）已知向量m??sinA,sinB?,n??cosB,cosA?,m?n?sin2C，且角

A、B、C分别为?ABC的三边a,b,c所对的角．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且CA?CB?18，求c边的长．

19、（本题满分12分）某城市预测2013年到2017年人口总数y与年份x的关系如下表所示：

年份201x(年) 人口总数y(十万) 3 5 4 7 5 8 6 11 7 19 ?x?a??b?，据此估计（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y2018年该城市人口的总数；

（Ⅱ）现从这5组数据中随机选取2组数据，求选取的2组数据恰好是不相邻2年的数据的概率．

??(备注：b?xyii?1nni?nxy?nx2?x?a?）,y?b．

?xi?12i20、（本小题满分12分）

3

已知P?ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且AD?PC,如图所示． （Ⅰ）求证：PC?平面PAB；

（Ⅱ）求二面角D?AC?B的平面角的余弦值.

x2y221、（本题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭

ab圆上，且PF1?1F2?4，PF1?F1F2?0，F（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）经过点P(3,0)的直线l和椭圆C交于A,B两个不同的点，设AB的中点为Q(x0,y0)，求

5. 5x0?y0的取值范围.

22、（本小题满分12分）已知函数f?x??xlnx?1． （Ⅰ）求函数f?x?在e?2,e2上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若x?1时，函数y?f?x?的图像恒在直线y?kx上方，求实数k的取值范围； （III）证明：当n?N时，ln?n?1??*??1111???????． 234n?1

2016—2017学年度下学期阶段测试（三）

高二年级理数答案

4

一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ?B? ?C? ?B? ?C? ?B? ?D? ?C? ?D? ?C? ?A? ?C? ?A? 1、【解析】故选?B?．考?2,4?N，?N??1,3,5?．1,2,3,4,5?,M?CUN??2,4?，?U?M?N??点 ：集合的运算．

2、解析：由题意得，z?1?i，∴|z|?2，故选?C?． 考点：复数的运算．

3、解析：a?2b???1?2m,4?,2a?b???2?m,5?，这两个向量平行，

故5??1?2m??4??2?m??0，解得m??1.故选?B?．考点：向量运算，向量共线． 24、【解析】i?1,S?2?1?1,i?3;i?3,S?1?3??2,i?5;

i?5,S??2?5??7,i?7;i?7,S??7?7??14,i?9，故选?C?．考点：算法及程序框图． 5、【解析】?a4?a8?a1?a11?16,?S11?及前n项和．

11?a1?a11??88，故选?B?．考点：等差数列的性质

2x4??．故选?D?．考r56、?cos???x??4,y?3,r?5，【解析】?角?的终边经过点??4,3?，

点：三角函数的定义．

37、（捆绑）先把3个家庭进行全排列有A3（松绑）再把3个家庭内部成员分别排列，?3!种排法；3每个家庭有A3?3!种排法，3个家庭共有3!?3!?3!??3!?种排法．因此不同的坐法总数为

3343!??3!???3!?．故选?C?．考点：排列．

8、【解析】?C:?x?1?2??y?2?2?4，且圆C上存在两点关于直线l:x?my?1?0对称,故直

线l经过圆心C?1,2?，?1?2m?1?0?m??1，则MC???1?1?2???1?2?2?13,

?MP?MC?r2?13?4?3.故选?D?.考点:圆的对称性、数形结合思想的应用.

2?y?x?x?49、??【解析】：画出图形，联立?，即曲线y?x于直线y?x?2的交点为?2,4?，

y?2?y?x?2?所求面积为

5

S??40?x??x?2?????40x??x?2?????40?23?12162??．故选?C?．考x?x?2??x?x?2x?3?2??03?4点：定积分的应用．

xx10、【解析】?y??ex?a，函数y?ex?ax,x?R有大于零的极值点，即e?a?0?e??a有

正根，?x?0,?ex?1,??a?1?a??1，故选?A?．考点：函数的极值．

11、【解析】?2xlnx??x2?ax?3?x?0?，?a?2lnx?x?3在?0,???上恒成立，令xf(x)?2lnx?x?3?x?0?，题设等价转化为a?f?x?min． x23x2?2x?3?x?3??x?1??x?0?，令f??x??0?x?1或x??3（舍去）?f??x???1?2??，22xxxx?f?x?在?0,1?上递减，在?1,???上递增，?f?x?min?f?1??4，?a?4．故选?C?．考点：函数

及导数，不等式综合．

12、【解析】由题意画出图形，设经过OE的中点为N，则由MF//OE，得

1OEMFAFa?cONBOaa2?，又由ON//MF得，即，两式相乘????MFa?cOEAOaMFBFa?c得

11a?cc1??a?3c?e??，所以椭圆的离心率e?，故选?A?．考点：椭圆方程与

32a?ca3几何性质． 二、填空题

13、

153?2210； 14、； 15、182?9； 16、．

44310?24?13、【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点A?,?取得最大值为.考点：线

3?33?性规划.

6

1?1?6?rrr6?r?14、【解析】通向公式Tr?1?C6?2x?6?r?????C6?2?????x，令6?r?2?r?4， ?2??2??1?15?展开式中x的系数为C?2?????.考点：二项式定理.

4?2?2rr446215、【解析】该四面体如图，AC?平面BCD,E为BD中点，易求得

AB?AD?3?322??2?33,

AE?32.

S?111?6?32??6?3??3?32?2?182?9 222考点：三视图.

?am?4?m16、【解析】依题意得?，在同一个坐标系中作出y?ax,y?logax,y?4?x的图象，

?logan?4?n知y?a与y?4?x的交点P?m,4?m?，知y?logxax与y?4?x的交点Q?n,4?n?，?y?ax与

?P,Q关于直线y?x对直线y?4?x与直线y?x垂直，y?logax的图象关于直线y?x对称，

称，故有

m?n?4?m???4?n???m?n?4，又由图形知m?0,n?0.

22?121?12?1?n2m?1?n2m?3?22?????????m?n???3???3?2?，当且仅当且仅当??mn4?mn?4?mn?4?mn?4??m?n?43?22??12??时取“”..考点：函数的零点，不等式综合. ??????n2m4??mn?min?n?m三、解答题

7

17、【解析】（I）设等比数列?an?的公比为q，由题意知q?0，

????5a?4a211q?a1q?，解得a?q?5，故an.…………………………5分 ?a21n?51?a1q?a1q（II）由（I）知bn?log5an?n，?S?n?1?n?n2…………………………6分

?12S??n?1??2??1?n?1?n?1??…………………………8分 nn故数列的??1??的前n项和为 ?Sn?T?2??????1?1?2?????1?2?1?3?????????11???1?2nn?n?n?1?????2??1?n?1???n?1…………………10分 考点：数列的基本概念，裂项求和法．

18、【解析】（Ⅰ）?m?n?sinAcosB?sinBcosA?sin?A?B?,A?B???C，

?sin?A?B??sinC,又m?n?sin2C?2sinCcosC，

?sinC?2sinCcosC,?C??0,??,?sinC?0,故cosC?12,C??3；………………6分 （Ⅱ）由sinA,sinC,sinB成等差数列，得2sinC?sinA?sinB，由正弦定理得2c?a?b，∵CACB?18，即abcosC?18,ab?36，

由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC??a?b?2?3ab， ∴c2?4c2?3?36,c2?36，

c2?a2?b2?2abcosC??a?b?2?3ab

∴c?6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：三角恒等变换、向量运算、等差中项、解三角形．

19、【解析】（Ⅰ）x?3?4?5?6?75?5,y?5?7?8?11?195?10，

?5x2i?32?42?52?62?72?135，

i?1 8

?5xiyi?3?5?4?7?5?8?6?11?7?19?282i?1，

5iyi?5xy?b???xi?1282?5?5?105??x2i?5x2135?5?52?3.2i?1，

a??y?bx??10?3.2?5??6，

?y关于x的线性回归方程为y??3.2x?6．……………………5分 根据表格提供的数据知，当x?8时，y??3.2?8?6?19.6（十万） ?2018年该城市人口的总数估计为19.6（单位：十万）…………7分…………

（Ⅱ）现从这5组数据中随机选取2组数据，所有的基本事件有共C25?10个，

记事件A：“选取的2组数据恰好是不相邻2年的数据”，其对立事件A：“选取的2组数据恰好是

相邻2年的数据”，A包含的基本事件有?5,7??,7,8??,8,11??,11,19?共4个，故

P?A??1?P?A??1?410?35．故选取的2组数据恰好是不相邻2年的数据的概率为35．……12分 考点：线性回归直线方程，古典概型求事件的概率．

20、【解析】（Ⅰ）（法一：几何法）

取AB的中点E，连接EC,过点P作PF?平面ABC于点F,

? P?ABC为正三棱锥

?EC?AB,F为?ABC的中心，且F?EC,FC?2EF…………2分

?PF?平面ABC,?PF?AB

AB?EC??AB?PF???AB?平面PEC………………4分 PF?EC?E?? 9

??PC?AD????PC?平面PAB…………6分 AD?AB?A?AD,AB?平面PAB??（法二：向量法）（Ⅰ）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴建立如图坐标系，各点坐标PC?AB如下：A(0,1,0)，B(0,?1,0)，C(3,0,0)，由于点P在?ABC中的射影为?ABC的中心，

故可设P(33,0,h)，故PC?(233,0,?h)，而AB?(0,?2,0)…………3分

PC?AB?233?0?0?(?2)?(?h)?0?0，所以PC?AB，而PC?AD 又AB?AD?A,AB,AD?平面PAB，?PC?平面PAB.……………………6分

（Ⅱ）由中点公式知D(36,?12,h2)，由AD?PC?0知： (3,?3,h)?(23,0,?h)?1?1h2?02622332，解得h?3……………………7分 设平面ACD的法向量为a?(x,y,z)，

由上面的计算知AD?(36,?32,66) AC?(3,?1,0)，由AD?a?0及AC?a?0知：

??3?x?3y?6z?0，解得a?(2,6,8)，………………?62610分 ?3x?y?0显然平面ABC的法向量为b?(0,0,1) 设所求二面角的平面角为???为锐角?，

?cos??a?b8a?72?22b?3.……………………12分

21、【解析】（Ⅰ）由2c?4?c?2，?PF1?F1F2?0，?PF1?PF2，

10

由勾股定理PF22192?PF1?F1F2?5?16?55， 由椭圆定义2a?PF51?PF5?952?5?25?a?5，从而b?a2?c2?1， 故椭圆方程为x25?y2?1.……………………………………4分 （Ⅱ）当直线与x轴重合时，Q(0,0)，此时x0?y0?0……………5分

若直线与x轴不重合，设l的方程为x?my?3，与椭圆联立得(m2?5)y2?6my?4?0由??20m2?80?0?m?2或m??2………………7分

由韦达定理：y?6m1?y2?m2?5?yy1?y2?30?2?mm2?5， 令u?x?(m?1)y15?3m0?y0?my0?3?y00?3?m2?5?3tt2?10t?30，

其中t?5?m?(??,3)?(7,??) 当t?0时u?0，

当t?0时u?3t3t2?10t?30?……………………………………10分t?30 t?10设f(t)?t?30t?10，其中t?(??,0)?(0,3)?(7,??)，结合双钩函数图像知： f(t)?(9315?33077,??)?(??,?10?230]，从而u?f(t)?[10,0)?(0,3)

综上u?x0?y0?[15?33010,73)．……………………………12分

22、【解析】（Ⅰ）定义域为?0,???，且f??x??lnx?1， ………………1分

令f??x??0?x?e?1

当e?2?x?e?1时，f??x??0，当e?1?x?e2时，f??x??0，

?f?x?在?e?2,e?1?上为减函数；在?e?1,e2?上为增函数，………………2分

?f?x?min?f?e?1??1?e?1 ，………………3分

11

?2??f?x?max?maxfe?2,fe2?max?1?2,2e2?1??2e2?1………………4分

?e???????（Ⅱ）当x?1时，函数y?f?x?的图像恒在直线y?kx上方，等价于x??1,???时，不等式

xlnx?1?kx恒成立，即k?xlnx?1x?lnx?1x恒成立……………………5分 令g?x??lnx?1x?x?1?,则g??x??11x?1x?x2?x2?x?1?…………………6分

?x?1,?g??x??0，故g?x?在?1,???递增， ?g?x??g?1??1．…………………7分

?k?1，即实数k的取值范围为???,1?．…………………8分

（III）证明：由（Ⅱ）知当x?1时，xlnx?1?x?lnx?1?1x………………9分令x?n?1n，则lnn?1n?1?nn?1，化简得ln?n?1??lnn?1n?1……………10分

?ln2?ln1?12,ln3?ln2?13,???,ln?n?1??lnn?1n?1

以上不等式同向可加得

?ln2?ln1???ln3?ln2???????ln?n?1??lnn??112??13?????n?1 即ln?n?1??ln1?12?113?????n?1 ?当n?N*时，ln?n?1??11112?3?4?????n?1．……………12分

12

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