向量组的线性相关性习题课

更新时间：2023-08-29 02:33:01 阅读量：教育文库文档下载

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1 向量的定义

定义

n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,

第i个数 a i 称为第i个分量.

分量全为实数的向量称为实向量. 分量全为复数的向量称为复向量.

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n维向量写成列的形式, 称为列向量, 即 a1 a2 a an

n维向量写成行的形式, 称为行向量, 即 a a 1 , a 2 , , a n T

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向量的相等设 a T (a 1 , a 2 , , a n ), bT (b1 , b 2 , , b n ) 则 a T bT a i b i ( i 1,2, , n)零向量分量全为0的向量称为零向量. T a O a i 0( i 1,2, , n) T 0 a O a i 中至少有一个不为 , ( i 1,2, , n) 负向量向量 a T (a 1 , a 2 , , a n )的负向量记作 a T , 且 a T ( a 1 , a 2 , , a n ).首页上页返回下页结束

2 向量的线性运算

向量加法设 a T (a 1 , a 2 , , a n ), bT (b1 , b 2 , , b n ), 定义向量 a T 与 bT 的加法为:T T a b ( a 1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n )

向量减法定义为 bT ( a 1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n ) aT

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数乘向量数k与向量 a T 的乘积, 称为向量的数量乘法简称数乘向量, 定义为 k a T ( k a 1 , k a 2 , , k a n )

向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则： (1)加法交换律 ;( 2)加法结合律 ( ) ( );

( 3)对任一个向量 , 有 O ;首页上页返回下页结束

(4)对任一个向量 , 存在负向量 , 有

( ) O; (5) 1 ;(6)数乘结合律 (7 )数乘分配律 (8)数乘分配律 k ( l ) ( kl ) ; k ( ) k k ; ( k l ) k l .

其中 , , 为n维向量,1, k , l为数, O为零向量.首页上页返回下页结束

除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：(1' ) 0 O , kO O(其中0为数零, k为任意数); ( 2' )若k O , 则或者k 0, 或者 O; ( 3' )向量方程 x 有唯一解x .

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3 线性组合若干个同维数的列(行)向量所组成的集合叫做向量组.定义给定向量组A : a 1 , a 2 , , a m , 对于任何一组实数 k 1 , k 2 , , k m ,向量 k 1 a1 k 2 a 2 k m a m 称为向量组A的一个线性组合, k 1 , k 2 , , k m 称为这个线性组合的系数.

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4 线性表示

定义给定向量组A : a 1 , a 2 , , a m 和向量b, 如果存在一组实数k 1 , k 2 , , k m , 使 b k 1 a1

k 2 a 2 k m a m , 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示.

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定理向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵B (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩.

定义设有两个向量组A : a 1 , a 2 , , a m 及B : b1 ,b 2 , , b s , 若B组中的每个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示. 若向量组A与向量组B能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.首页上页返回下页结束

5 线性相关定义给定向量组A : a 1 , a 2 , , a m , 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m , 使 k 1 a 1 k 2 a 2 k m a m 0, 则称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关.

定理向量组 a 1 , a 2 , , a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A ( a 1 , a 2 , , a m )的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A) m .首页上页返回下页结束

定理 (1)若向量组A : a 1 , a 2 , , a m 线性相关, 则向量组B : a 1 , a 2 , , a m , a m 1 也线性相关.反言之, 若向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关. a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向量 b j .若向量组A : a 1 , a 2 , , a m 线性无关, 则向量组B : b1 , b 2 , , b m 也线性无关.反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.首页上页返回下页结束

( 3)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.

(4)设向量组A : a 1 , a 2 , , a m 线性无关, 而向量组B : a 1 , a 2 , , a m , b线性相关, 则向量b必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的.

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6 向量组的秩定义设有向量组A, 如果在A中能选出r个向量 a 1 ,a 2 , , a r , 满足(1)向量组 A0 : a 1 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1

个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组); 最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩.首页上页返回下页结束

定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩.

推论1 等价的向量组的秩相等.

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