河北省邢台市一中2015-2016学年高二12月月考数学试卷(文)

邢台一中2015-2016学年上学期第四次月考

高二年级数学试题（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项符合题目要求． 1.抛物线y x2的准线方程是（ ） A．4y 1 0

B．4x 1 0

C．2y 1 0

D．2x 1 0

x2y2

1的右焦点重合，则p的值为 2.若抛物线y 2px的焦点与椭圆62

2

A． 2 B．2 C． 4 D．4

3.若直线ax by 2与圆x2 y2 1有公共点,则

22

A．a b 4 .

22

B．a b 4 .

（ ）

C．

11 4 . a2b2

D．

11 4. a2b2

4.如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (-∞,1) D. (0,1) 5.“a 1”是“函数f(x) (x 1)在区间[a, )上为增函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2

x2y2x2y2

1(5 m 9)的 ( ) 1(m 6)与曲线6.曲线

5 m9 m10 m6 m

A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同

x2y2y2x27.若椭圆2 2 1(a b

0)的离心率为，则双曲线2 2 1的渐近线方程为

abab

（ ）

A．y 2x

B．y

1

x 2

C．y 4x D．y

1x 4

8.下列有关命题的说法正确的是 ( )．

22

A．命题“若x 1，则x 1”的否命题为：“若x 1，则x 1”．

B．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它

1

不是负数”

C．命题“若x y，则sinx siny”的逆否命题为真命题.

D．命题“ x R使得x2 x 1 0”的否定是：“ x R均有x2 x 1 0”． 9. 已知直线l:y x m(m R),若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且P在y轴

上,则该圆的方程为 （ ）

A．(x 2)2 y2 8 B．(x 2)2 y2 4

22

C．x (y 2) 8 D．x (y 2) 4

2

2

10.棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,点M,N分别在线段 AB1,BC1 上,且AM BN,给出以下结论:

①AA1 MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60° ③四面体B1D1CA的体积为

1

④A1C AB1,A1C BC1, 3

其中正确的结论的个数为( )

A．1 B. 2 C．3 D．4

11.一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为

1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A.

B. C. D. 12

4

3

4

x2y2

12.已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线

ab

与双曲线

的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2) B. (1,2] C. [2, ) D. (2, )

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 13.抛物线y x上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 ．

2

2

x2y2

1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线14.设圆过双曲线

916

中心的

距离是______

0)和C(4，0)，顶点B在双曲线 15.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A( 4，sinA sinCx2y2

_____． 1上，则

sinB97

222

16.已知点A 5,0 ，B 1, 3 ，若圆x y r r 0 上共有四个点M,N,P,Q，使得

MAB、

NAB、 PAB、 QAB的面积均为5，则r的取值范围是 ． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（10分)已知以点C(1, 2)为圆心的圆与直线x y 1 0相切． （1）求圆C的标准方程；

（2）求过圆内一点P(2, )的最短弦所在直线的方程．

2

18.(12分)已知抛物线C：y＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线

OA与l的距离等于

5

l的方程；若不存在，说明理由． 5

52

19.(12分)已知圆C与两平行直线x y 0及x y 4 0都相切，且圆心C在直线

x y 0上，

（1）求圆C的方程；

（2）斜率为2的直线l与圆C相交于A,B两点，O为坐标原点且满足OA OB，求直线l 的方程.

20. (12分)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，

AB BC，AB 2CD 2BC，EA EB．

3

（1）求证：AB DE；

（2）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出在，

说明理由．

21. (12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0). （1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l:y kx 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA OB 2 （其中O为原点）. 求k的取值范围.

322.(12分)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 A(－2,0)、B(1)两

2点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线

EF

；若不存EA

l：x＝my＋1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

高二年级数学（文科）答案

一、 选择题

ADBDA AACAD BC

二、 填空题 13.

4163 ; 14. ; 15. ; 16. (5,

). 334

4

三、解答题

17.解：（1）圆的半径r=

=，所以圆的方程为

（2）4x 2y 13 0

18.解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2

＝2p²1，所以p＝2.

故所求抛物线C的方程为y2

＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t， 由

y 2x t得y2

＋2y－2t＝0. y2

4x

因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－1

2由直线OA与l的距离d＝

55可得|t|51

5

，解得t＝±1. 因为－1 －12，＋∞ ，1∈ －12，＋∞

，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

19.解：（1）由题意知圆C的直径为两平行线 x y 0及x y 4 0之间的距离

∴d 2R

解得R ，

设圆心C(a, a)由圆心C到 x y

0 R a 1，

检验得a 1

∴圆C的方程为(x 1)2

(y 1)2

2

（2）由（1）知圆C过原点，若OA OB，则l经过圆心，

易得l方程：2x

y 3 0

20.

5

【解析】（Ⅰ）取AB中点O，连结EO，DO．因为EB EA，所以EO AB......①．

因为四边形ABCD为直角梯形，AB 2CD 2BC，AB BC， 所以四边形OBCD为正方形，所以AB OD...... ②． 又EO OD O.......③

由①②③可知AB 平面EOD． 所以 AB ED． （2）连结AC交BD于M,由AB∥CD，易证 MAB与 MCD相似，

CMCD1

. AMAB2

若线段EA上存在点F，使EC// 平面FBD 则EC//FM

由平行线分线段成比例 得

EFCM1

EACA3

x2y2

21. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为2 2 1 (a 0,b 0).

ab

由已知得a ,c 2,再由a2 b2 22,得b2 1.

x2

y2 1. 故双曲线C的方程为3

x2

y2 1得 (1 3k2)x2 62kx 9 0. （Ⅱ）将y kx 2代入3

2

1 3k 0,

由直线l与双曲线交于不同的两点得

222

(62k) 36(1 3k) 36(1 k) 0.

122

即k 且k 1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

3

xA xB

62k 9

,xx ,由 2得xAxB yAyB 2, AB

1 3k21 3k2

6

而xAxB yAyB xAxB (kxA 2)(kxB 2) (k2 1)xAxB 2k(xA xB) 2

(k2

1) 91 3k2 2k62k1 3k2 2 3k2 7

3k2 1

.

于是

3k2 7 3k23k2 1 2,即 93k2 1 0,解此不等式得 1

3

k2 3. ② 由①、②得 12

3

k 1.

故k的取值范围为( 1, 33) (3

3

,1).

22. 解：(1)设椭圆E的方程为mx2 ny2 1(m 0,n 0)， ∵椭圆E经过A(－2,0)、B(13

2

)两点，

4m m 1 1 ，解得 4

m 9

4n 1

n 13∴椭圆E的方程为x2y2

4＋3

＝1.

(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＜0， 如图，设△FMN的内切圆的半径为R，则

S11△FMN＝2MN|＋|MF|＋|NF|)R＝2

[(|MF|＋|MH|)＋(|NF|＋|NH|)]R＝4R

当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大， 又S11

△FMN＝2|FH||y1|＋2FH||y2|，

|FH|＝2c＝2

∴S△FMN＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|

7

由 x＝my＋1 x2222

＋y

＝1＋4)y＋6my－9＝0，

43

得(3m则Δ＝(6m)2＋4³9(3m2

＋4)＞0恒成立，y－6m1＋y2＝3m2＋4

y9

1²y2－3m2

＋4

∴|y2

1－y2|＝ y1＋y2 －4y1y2 2

＝

－6m2－912m＋13m＋4 －4³3m＋43m＋4

2

∴S12m＋1

△FMN＝3m2

＋4

设m＋1＝t，则t≥1，且m2

＝t－1， ∴S12t12t

△FMN＝3 t－1 2

＋4＝3t2＋1 设f(t)＝12t12

3t2＋1=3t

，

t

∴函数f(t)在[1，＋∞)上是单调减函数， ∴fmax(t)＝f(1)＝3，即S△FMN的最大值是3 ∴4R≤3，R33

4R4

，

∴△FMN的内切圆的面积的最大值是9π

16

，此时，m＝0，直线l的方程是x＝1.

8

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