2018年高考数学一轮复习专题6.4数列求和（练）

专题6.4 数列求和

【基础巩固】

一、填空题

11111

1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋n，…的前n项和Sn＝________.

24816212

【答案】n＋1－n

2

1

【解析】该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋n，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋

2

?1＋12＋…＋1n?＝n2＋1－1. ?22n2?2??

2．(2017·南通调研)若等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S4＝10，则数列?项和为________． 2 017

【答案】

2 018

??anan＋1?

1?

?的前2 017

3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)【答案】－200

【解析】S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16＝________. 【答案】7

【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.

又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.

1*

5．(2017·泰州模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，

2

n－1

·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝________.

则S21＝________. 【答案】6

1

【解析】由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，

2则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20， ∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21) 1

＝1＋10×＝6.

2

6．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N)，

100

*

则∑ (akak＋1)的值为________． k＝1100【答案】

101

7．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________． 【答案】60

【解析】由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， ∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18 ＝S10－(S18－S10)＝60.

8．(2017·镇江期末)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－

1

(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.

n【答案】4－1

【解析】由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)

n－1

，∴|bn|＝3×4－41－4

nnn－1

，即{|bn|}

是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝二、解答题

＝4－1.

9．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

10．(2017·苏北四市调研)已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N)． (1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值； 1

(2)若λ＝，求Sn.

2

解 (1)令n＝1，a1S2－a2S1＋a1－a2＝λa1a2，解得a2＝令n＝2，a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，解得a3＝由a2＝a1a3得?

2

*

2. 1＋λ

2λ＋4

.

λ＋12λ＋1

2λ＋4?2?2＝

?λ＋λ＋?1＋λ?

，

因为λ≠0，所以λ＝1.

11

(2)当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，

22所以

Sn＋1Sn111Sn＋1＋1Sn＋11－＋－＝，即－＝， an＋1anan＋1an2an＋1an2

?Sn＋1?1

?是以2为首项，为公差的等差数列，

2?an?

所以数列?所以

Sn＋11

＝2＋(n－1)·， an2

n＋3

an，①

2

即Sn＋1＝

当n≥2时，Sn－1＋1＝由①－②得an＝

n＋2

an－1，②

2

n＋3n＋2

an－an－1，

2

2

＝(n≥2)，

n＋2n＋1

1

即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以所以?

?

anan－1

?是首项为的常数列，所以an＝(n＋2)． n＋233??

an?1

n＋3n2＋5n代入①得Sn＝an－1＝. 2

6

【能力提升】

11．(2017·长治联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则最小值是________． 9【答案】

2

【解析】an＝1＋(n－1)＝n，Sn＝

Sn＋8

的ann＋n， 2

n∴

Sn＋8

＝an16

＋n＋82

n1?16?＝?n＋＋1?≥

n2??

1?

?22?

n·＋1?＝，

n?2

?9

当且仅当n＝4时，取等号． ∴

Sn＋89的最小值是. an2

n12．(2017·盐城中学模拟)在数列{an}中，an＋1＋(－1)an＝2n－1，则数列{an}的前12项和为________． 【答案】78

?1－x－2，0≤x<2，13．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝?

?fx－，x≥2，

若对于正数kn(n∈N)，直线y＝knx与函数y＝f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，则数列{kn}的前n项和为________． 【答案】

4n＋4

【解析】函数f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，因为直线y＝knx与f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，所以直线y＝knx与第(n＋1)个半圆相切，则14nn＋

*2

nn＋

1＋kn2

kn＝1，化简得kn＝

2

1?11?1?1?1?11?111222

1－＋－＋…＋－1－＝?－，则k＋k＋…＋k＝＝?12n???＝

nn＋1?4?nn＋1?4?223?4?n＋1?

n. 4n＋4

14．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)正项数列a1，a2，…，am(m≥4，m∈N)，满足a1，a2，

*

a3，…，ak－1，ak(k

的等比数列．

(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm； (2)若a1＝d＝2，m<2 016，求m的最大值；

(3)是否存在正整数k，满足a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝3(ak＋1＋ak＋2＋…＋am－1＋am)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

又a1，am，am－1，…，ak＋1，ak是公比为2的等比数列， 则ak＝a1·2

m＋1－k，

m＋1－k故a1＋(k－1)d＝a1·2，即(k－1)d＝a1(2

m＋1－k－1)．

又a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝3(ak＋1＋ak＋2＋…＋am－1＋am)，am＝2a1， 11－2

则ka1＋k(k－1)d＝3×2a1×，

21－21m＋1－km－k即ka1＋ka1(2－1)＝3×2a1(2－1)，

211m＋1－km－k则k·2＋k＝6(2－1)， 22即k·2

m＋1－km－k＋k＝6×2

m＋1－km＋1－k－12，

显然k≠6，则2＝

k＋1218

＝－1＋， 6－k6－k

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