山西省朔州市平鲁区李林中学2013届高三2月月考数学（文）试题 - 图文

（考查时间：120分钟） 命题人：王会平 审核：高三数学组一、选择题：（每小题5分，共60分） 1.已知集合M?yy?2x,x?0,N?xy?lg(2x?x2),M A.(1,2)

B. (1,??)

C. [2,??)

????N为( )

D. [1,??)

2.命题“?x?R，ex?x”的否定是( )

A．?x?R，ex＞x B.?x?R，ex≥x C.?x?R，ex≥x D.?x?R，ex＞x

3.已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4. 在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是( )

2111A. B. C. D. 32341，则t的值为 ( ） 222A． B.2 C. ? D. ?2

22x?26.设函数f?x??log3?a在区间?1,2?内有零点,则实数a的取值范围是( )

xA.(?1,?log32) B.(0,log32) C.(log32,1) D. (1,log34)

5.设f(sin??cos?)?sin?cos?，若f(t)?7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x(万元) 4 2 销售额y(万元) 49 26 3 39 5 54 ?为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) ??a??bx?中的b根据上表可得回归方程yA. 65.5万元 B. 63.6万元 C. 67.7万元 D.72.0万元 8．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 12? B. 48? C. 24? D. 32?

?x?y≥1?9.若x,y满足?x?y≥?1且z?ax?2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围

?2x?y≤2?是( ) A.(?1,2) B.(?2,4) C.(?4,0] D.(?4,2)

10. 已知函数f(x)?x???的定义域为(?,)，当xi?(i?1,2,3)时，f(x1)?f(x2)?0，

22cosx2f(x2)?f(x3)?0，f(x3)?f(x1)?0则有( )

A．x1?x2?x3?0 B．f(x1?x2?x3)?0 C．f(x1?x2?x3)?0 D．x1?x2?x3?0

11.设A,B,C,D是半径为2的球面上四个不同的点，且满足AB?AC?0，AD?AC?0，AB?AD?0，则S?ABC?S?ABD?S?ACD的最大值为( )

A．16 B．8 C．4 D．2

x2y222212.从双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F引圆x?y?a的切线，切点为T，延长FT交双曲

ab线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO?MT与b?a的大小关系为（ ）

A．MO?MT?b?a B．MO?MT?b?a C．MO?MT?b?a D．不确定． 二、填空题：（每小题5分，共20分）

13．已知实数x?[1,9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x不小于55的概率为 ． 14．设函数f(x)?a1?a2x?a3x?2*2开始 输入x ?anxn?1,若已知

n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出x （第13题） f(0)?1,2式

且数列{an}满足f(1)?nan(n?N),则数列{an}的通项公

an?__________.

15. 已知直线x?y?m?0与圆x?y?2交于不同的两

22点A、B，

是

O是坐标原点，OA?OB?AB，那么实数m的取值范围

________．

16. 给出下列六个命题：

①函数f(x)?lnx?2?x在区间(1,e)上存在零点； ②若f?(x0)?0，则函数y?f(x)在x?x0处取得极值； ③若m??1，则函数y?log1(x?2x?m)的值域为R；

22Y 结束 a?ex④“a?1”是“函数f(x)?在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；

1?aex⑤函数y?f(1?x)的图像与函数y?f(1?x)的图像关于y轴对称；

⑥满足条件AC?3,?B?60,AB?1的?ABC有两个． 其中正确命题的序号是 。 三、解答题：

17.（本题满分12分）

在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，tanC??sinA?sinB．

cosA?cosB（I）求角C的大小；

(Ⅱ)若?ABC的外接圆直径为1，求a2?b2的取值范围． 18.（本小题满分12分）

某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据:

序 号 身高x(厘米) 脚长y( 码 ) 序 号 身高x(厘米) 脚长y( 码 ) 1 192 48 11 169 2 164 38 12 178 3 172 40 13 167 4 177 43 14 174 5 176 44 15 168 6 159 37 16 179 7 171 40 17 165 8 166 39 18 170 9 182 46 19 162 10 166 39 20 170 43 41 40 43 40 44 38 42 39 41 (Ⅰ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面的2?2联列表:

高 个 非高个 合 计 大 脚 非大脚 合 计 12 20 (Ⅱ)根据题(1)中表格的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系? (Ⅲ)若按下面的方

法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求: ①抽到12号的概率； ②抽到“无效序号(超过20号)”的概率.

O,DOPAB??BC?kPAn(ad?bc)2附: K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2?k) 0.050 0.010 0.001 10.828 ，，点

分别是AC、PC3.841 6.635 19(本小题12分)如图，在三棱锥P?ABC中，的中点，底面ABC （I）求证：OD//平面PAB

k 1时，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值； 2(Ⅲ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心？

(Ⅱ)当k?20.（本小题满分12分）已知两定点E?2,0,F???2,0，动点P满

?足

PE?PF?0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足PM??2?1MQ，点M的轨迹为C.

?（I）求曲线C的方程；

（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且AB?2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值. 21（本题满分12分）已知函数f(x)?x?ax(x?0且x?1)

lnx（I）若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值；

（II）若?x1,x2?[e,e2]，使f(x1)?f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围． 22. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》 在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为??x?2cos? (?为参数) M是C1上的动点，P点满足

?y?2?2sin?OP?2OM，P点的轨迹为曲线C2. （Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??的异于极点的交点为B，求AB.

?3与C1的异于极点的交点为A，与C2

(2)由C?π,设A?π??,B?π??,0?A,B?2π,知-π???π．

333333因a?2RsinA?sinA,b?2RsinB?sinB， ?????8分 故a2?b2?sin2A?sin2B?1?cos2A?1?cos2B

22=1?1?cos(2π?2?)?cos(2π?2?)??1?1cos2?．??11分

??2?332?由-π???π,知-2π?2??2π,?1?cos2?≤1，

33332故3?a2?b2≤3．???????????14分 4218、解: (Ⅰ)表格为: 高 个 非高个 大 5 2 脚 非大1 脚 合 6 14 计 (Ⅱ)提出假设H0: 人的脚的大小与身高之间没有关系.

合 计 7 13 20?(5?12?1?2)2根据上述列联表可以求得???8.802.

6?14?7?132 当H0成立时,??6.635的概率约为0.010,而这里8.802>6.635,

2所以我们有99%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. (Ⅲ) ①抽到12号的概率为P1?41? 369

61? 36619解：方法一：（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，? OD∥PA 又PA?平面PAB， ? OD∥平面PAB…………（2分） （Ⅱ） AB?BC，OA?OC， ? OA?OB?OC，②抽到“无效序号(超过20号)”的概率为P2?P又 OP?平面ABC，? PA?PB?PC. 取BC中点E，连结PE，则BC?平面POE D作OF?PE于F，连结DF，则OF?平面PBC F? ?ODF是OD与平面PBC所成的角.．．（5分） OCA又OD∥PA， EB?PA与平面PBC所成的角的大小等于?ODF， OF210在Rt?ODF中，sin?ODF??, OD30210? PA与平面PBC所成的角为arcsin.……………（8分） 30（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF?平面PBC， ∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点，若点F是?PBC的重心，则B，F，D三点共线， ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

．（10分） OB?PC,?PC?BD,?PB?PC，即k?1………．

反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC的重心…………．．（12分）

方法二：OP?平面ABC，OA?OC,AB?BC，?OA?OB,OA?OP,OB?OP.

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz（如图）设AB?a,则

?2???2??2， A?a,0,0,B0,,0,C?,0,0????2???2???2???????设OP?h，则P?0,0,h? ?21?（Ⅰ）D为PC的中点，?OD???， ?4a,0,2h?????2?1又PA??a,0,?h,?OD??PA,?OD//PA，? OD∥平面PAB ??2?2???2177?（Ⅱ）k?，即PA?2a,?h?， a,?PA???2a,0,?2a??22???PA?n2101?可求得平面PBC的法向量n??1,?1,?，?cos?PA,n??， ????307?|PA|?|n|?设PA与平面PBC所成的角为?，则sin??|cos?PA,n?|?（Ⅲ）?PBC的重心G??210， 30PD?221?，a,a,h??6?63??OG?平面PBC,?OG?PB， xAz?221?， ?OG???a,a,h??6?63??C又OBy??212122PB??0,a,?h,?OG?PB?a?h?0,?h?a， ??2?632???PA?OA2?h2?a，即k?1， 反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC的重心

21解：（1）因f(x)在(1,??)上为减函数，

1?a?0在(1,??)上恒成立． ??????2分 故f?(x)?lnx?2(lnx)所以当x?(1,??)时，f?(x)max?0． 1?a??1又f?(x)?lnx?2lnx(lnx)??2?1?a??1?1lnxlnx2??a， ??142故当1?1，即x?e2时，f?(x)max?1?a．

lnx24所以1?a?0,于是a≥1，故a的最小值为1． ?????6分 444（2）命题“若?x1,x2?[e,e2],使f(x1)?f??x2??a成立”等价于 “当x?[e,e2]时，有f(x)min?f??x?max?a”． ???7分

由（1），当x?[e,e2]时，f?(x)max?1?a，?f??x?max?a?1．

44问题等价于：“当x?[e,e2]时，有f(x)min?1”． ???8分

4，f(x)在[e,e2]上为减函数， 10当a?1时，由（1）

42则f(x)min=f(e2)?e?ae2?1，故a?1?12． ???10分

24e242当a?1时，由于f?(x)??1?14lnx20??a在[e,e]上为增函数， ??1422故f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)]，即[?a,1?a]．

4(i)若?a?0，即a?0，f?(x)?0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)min=f(e)?e?ae?e>1，不合． ??12分

4(ii)若?a?0，即0?a?1，由f?(x)的单调性和值域知，

4?唯一x0?(e,e2)，使f?(x0)?0，且满足：

当x?(e,x0)时，f?(x)?0，f(x)为减函数；当x?(x0,e2)时，f?(x)?0，f(x)为增函数； 所以，f(x)min=f(x0)?x0?ax0?1，x0?(e,e2)． lnx04所以，a?1?1?12?1?1?1?1，与0?a?1矛盾，不合． ???15分

lnx04x0lne4e2444综上，得a?1?12． ????????16分 24e??（23）解：(1)设P(x，y)，则由条件知M?，?， ?22?

x??2＝2cosα，

由于M点在C上，所以?y??2＝2＋2sinα.

1

xy

??x＝4cosα，

从而C2的参数方程为?

?y＝4＋4sinα.?

(α为参数) 。。。。。。。5分

π

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极

3

π

径为ρ1＝4sin，

3ππ

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.

33所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.。。。。。。。。。。10分

（24）解：（Ⅰ）当a?1时，

f(x)?3x?2可化为x?1?2.由此可得 x?3或x??1.

故不等式f?x??3x?2的解集为?x|x?3或x??1?.。。。。。。5分

(Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0

?x?a?x?a 或?

?x?a?3x?0?a?x?3x?0?x?a?x?a??即 ?a 或?a

x?x?????4?2a??因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x???

2??a由题设可得???1，故a?2 .。。。。。。。。。。。。。10分

此不等式化为不等式组?2

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