2016届江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．

1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．

2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名． 3．如果复数z=

（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．

4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______． 5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．

6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______． 8．若α，β∈（0，于______． 9．设向量

=（sin

，cos

），

=（sin

，cos

）（n∈N+），则

（

?

）

），cos（α﹣

）=

，sin（

﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等

=______．

10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．

11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．

12．已知等比数列{an}，首项a1=2，公比q=3，ap+ap+1+…+ak=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．

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13．设函数f（x）=值范围是______．

，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取

14．y＞，对任意实数x＞1，不等式p≤+ 恒成立，则实数p的最大值为______．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长． 16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D． （1）求证：AD⊥平面BCC1B1；

（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右

准线方程为x=4．

（1）求椭圆的标准方程； （2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m?n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．

（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式； （2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？

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19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=ax﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．

（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数； （2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值； （3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e

时，函数F（x）过点A

（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．

20．已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且数列{bn}的前n项和为Sn． （1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；

（2）若Sn+1﹣2Sn=2，试问数列{bn}中是否存在一点bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？

（3）若b1=ar，b2=as≠ar，b3=at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．

[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：

[选修4-2：矩阵与变换]

22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵7），求M﹣1．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，设直线l过点

（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．

[选修4-5：不等式选讲] 24．求函数

的最大值．

ρ=asinθ，且直线l与曲线C：对应的变换下得到点Q（3，

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25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且

．

（1）求文娱队的队员人数；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）． 26．已知有穷数列{an}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有ai∈{1，2，3}，且首项a1与末项am不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{an}的个数为f（m）． （1）写出f（3），f（4）的值；

（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．

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2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．

1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B= {x|0＜x≤2} ． 【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}， ∴A∩B={x|0＜x≤2}， 故答案为：{x|0＜x≤2}

2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有 108 名． 【考点】分层抽样方法．

【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．

【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人， ∴样本中女生数为27人， 又分层抽样的抽取比例为

=，

∴总体中女生数为27×4=108人． 故答案为：108．

3．如果复数z=

（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|= ．

【考点】复数求模．

【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数z=∴∴z=∴|z|=故答案为：

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==的实部与虚部互为相反数，

+=0，解得a=0． ．

=

．

．

4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为 [，1） ．

【考点】复合函数的单调性．

【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．

【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1）， f（x）=g（t）=lnt．

本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1）， 故答案为：[，1）．

5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是 4 ．

【考点】程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 第一次循环，s=5，k=1， 第二次循环，s=13，k=2， 第三次循环，s=13，k=3， 第四次循环，s=29，k=4， 退出循环，输出k=4． 故答案为：4．

6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是

．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．

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【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，

基本事件总数n=23=8，

每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有法，

∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=． 故答案为：．

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为 10 ． 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列的前n项和公式得到

，由此能求出a6的最大值．

=3种放

【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3≥6，S5≤20， ∴

，∴

，

∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10， ∴a6的最大值为10． 故答案为：10．

8．若α，β∈（0，于 ﹣ ．

【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】根据题意可得 α﹣的值．

【解答】解：∵α，β∈（0，∴α﹣

=±

，

﹣β=﹣

），cos（α﹣，∴α=β=

）=

，sin（

﹣β）=﹣，

=±

，

﹣β=﹣

，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）

），cos（α﹣

）=

，sin（

﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等

或α+β=0（舍去）．

∴cos（α+β）=﹣， 故答案为：﹣．

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9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos

）（n∈N+），则

（?）

= ﹣1 ．

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】化简

?

=cos

．于是根据诱导公式可得

+

=

+=+=…=+=0，所以（?）=

+=cos+cosπ=﹣1． ?

=sin=cos

sin+cos

+cos

cos

=cos（ +

﹣

）=cos=0，

+

．

【解答】解：∴=0，…

+

+

=0，同理，

=0．

∴（?）=+=cos+cosπ=﹣1．

故答案为﹣1．

10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为﹣1，则实数m的取值范围是 [﹣2【考点】圆方程的综合应用．

，2

] ．

【分析】设出M的坐标，由kMA与kMB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围． 【解答】解：设M（x，y），由kMA?kMB=3，得联立

，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．

?

=﹣1，即x2+y2=4．

要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率kMA与kMB之积为﹣1，

则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20． 解得m∈[﹣2，2]．

∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]． 故答案为：[﹣2，2]．

11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为 3 cm．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

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【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值． 【解答】解：设底面半径为r，高为h， 则由题意得h=∴S=2πrh+πr2=∴S′=

， ，

，

，由此利用导数

当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0， 故r=3时，取得极小值，也是最小值，

∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3． 故答案为：3．

12．已知等比数列{an}，首项a1=2，公比q=3，ap+ap+1+…+ak=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k= 10 ．

【考点】数列的求和．

【分析】通过an=2?3n﹣1可知ap+ap+1+…+ak=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32?（35﹣1）比较即得结论．

【解答】解：依题意，an=2?3n﹣1， 则2178=ap+ap+1+…+ak =

=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1）， 又∵2178=9=32?（35﹣1）， ∴

，即

，

∴p+k=10， 故答案为：10．

13．设函数f（x）=

，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取

值范围是 （﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1） ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：， 由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，

当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点， 此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，

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当g（x）=2x﹣b与f（x）=ex﹣1相切时，

由f′（x）=ex=2得x=ln2，y=eln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1）， 此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，

当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0， ∴要使两个函数有两个交点， 则此时0＜b＜2ln2﹣1，

综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，

故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）， 故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）

14．y＞，对任意实数x＞1，不等式p≤【考点】函数恒成立问题． 【分析】根据不等式p≤

+

恒成立，转化为求

+

的最小值即可，利

+

恒成立，则实数p的最大值为 8 ．

用换元法，结合基本不等式进行求解即可． 【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1， ∵x＞1，y＞，

∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），

则+=+≥2×=2×=2（+

+）≥2×（2+）=2（2+2）=8，

当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．

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