幂函数教案

2.3 幂函数

教学分析

一、 教学目标：

1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?，

-1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，

培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

1 教师：将幂函数y?x,y?x,y?x,y?x2,y?x图象提前画

在小黑板上。

23?1四、教学导图:

情境引入 函数的概念幂 课堂练习 画出α=1,2,3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习 例题分析 课堂小结 课后作业 教学设计

一、 教学过程：

（一）教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函

数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。

师生活动：

教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，

这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W千克，老师总共需要花的钱P是多少？

教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二

个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？

教师：回答的非常正确。面积S= a. 下面的

问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？

教师：对。正方体的体积V=a。第四个问题，

23

如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多少了？

教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，

根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S的二分之一次方。那么我们的边长a=S。最后一个问题，认真

21听，某人ts内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少？

教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s

所以v=1=t。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达

?1t式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了？

教师：非常好，第三个表达式了？ 教师：第四个表达式了？ 教师：第五个了？

教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函

数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。

教师：第二个表达式？ 教师：第三个表达式？ 教师：第四个表达式？ 教师: 第五个表达式？

教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察

老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请

同学起来给大家分享一下你观察的结果。给大家一分钟时间思考。（一分钟后。。。）有那个同学主动给大家分享一下你得出哪些共同特征？

教师：还有其他的共同特征吗？

教师：同学们都回答的非常正确哈。以后了我

们就把具有这样性质的函数叫做幂函数。现在我们来给幂函数下个确的定义。一般的，他形如y?x 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。同学们一定要注意，幂函数与前面学习的指数函数对数函数一样，都是形式化 定义，必须具有定义所给的形式，才能叫做幂函数，否者都不是幂函数。 (二)教学内容: 幂函数与指数函数的区别与联系。

设计意图：巩固幂函数的概念，让学生回顾前面学过的幂函数的特例，较少陌生感，并且用联系的观点，让学生比较幂函数与指数函数的区别，从而加深对幂函数概念的的理解与掌握。

师生活动：

教师:有的同学已经发现，今天学习的幂函数与前面学习的指数函数形式上有些相似，但是老师高手你们她们两个函数有着本质的区别。黑板上已经有五个幂函数的具体例子，请同学们说几个前面学习过的指数函数的例子。

教师：非常好。还有其他的吗?

教师：那现在我们通过观察黑板上的例子找到这

两个函数本质上的区别与联系.同学们发现了吗？她们有哪些相

a

同点？哪些不同点？

教师：不同了？

教师：回答非常正确哈。所以同学们一定不要

混淆了这两类函数，记清楚那个函数的自变量在底数，那个函数的自变量在指数。我们已经明确给出了幂函数的定义，并且却别了幂函数与指数函数。现在我们来做一个练习。 （三）教学内容：课堂练习

设计意图：进一步巩固幂函数概念的理解. 师生活动：

教师: 练习，判断下列函数是否为幂函数

1y?4,y?x,y?x21x2,y?2x,y?x?2。请同学么能严格按照定

23义，自己动手做一下这几个题目。好。。。第一个是幂函数吗？ 教师：为什么了？ 教师：非常正确，第二个?

教师：很好，第三个了？

教师：到底是还不是？好好根据定义判断，也

不要忘了形式间的等价转换。

教师:对的，它是一个幂函数，因为我们知道

y?1x2?x?2，所以根据定义就是一个幂函数。第四个了？

教师：因为我们知道幂前面的系数必须是1，而

本题为2，所以不是。第五个了？

教师：对。定义中没常数项。所以同学没要牢

记定义，只要和定义有一点区别都都不是幂函数。 （四）教学内容：幂函数图象与性质的探究

设计意图：通过前面研究指数函数与对数函数的性质的思路方法及步骤，让学生自主探究幂函数的性质，培养学生的自主探究意识及发现问题、解决问题的能力。 师生活动：

教师：通过前面指数函数与对数函数的学习，

同学们还记得我们当时是如何来研究函数的性质的吗?

教师：回答的非常正确，根据具体一些函数的

图象来研究函数的性质。我们的幂函数也是采取同样的方法。那下面请同学们拿出你们的铅笔、橡皮、直尺和本子，运用列表、描点、连线的方法在同一坐标系下画出黑板上老师给出的这五个例子的图象。这五个例子其实有几个大家并不陌生，在初中的时候就知道它的图象，比如y=x是通过一三象限的一条直线；

y?x是开口向上，在x轴上方的抛物线。下面给大家五分钟

的时间画出这五个函数的图象。（教师巡视指导，五分钟后。。。。）

教师：同学们都画完了吗？

教师：好的。老师把我们这五个图带到了教室。

现在请同学们看着黑板，看一下你画的和老师画的一样吗？ 教师：非常好哈。那现在我们根据函数的图象来完成78页的表格。首先我们来填写第一行---定义域。同学们通过前面的的学习知道定义域对于函数十分重要，研究函数首先就

2

得看定义域。所以同学们在以后做题中要牢记。其实定义域就是x的取值范围，所以只需左右观察函数的图象。那y?x得定义域是多少了？

教师：非常正确。通过图象就一眼看出y?x的

2X是没有任何限制，可以取遍整个实数R。同理y?x的定义域？

教师：y?x

31教师：y?x2

1教师：回答正确。通过图象看出y?x2的图象

只取到零到正无穷，所以定义域为零到正无穷。y?x了？

教师：非常好。同学们要注意一点就是定义域，

值域都要写成集合或者区间形式，不要忘记了！下面我们一起来填写第二行—值域。值域就是y的取值范围，所以只需要上下看。

y?x?1的值域为多少了？

教师：y?x？

教师：因为图象只取到零到正无穷。y?x？

12y?x教师：？

?1教师：y?x？

23教师:回答非常正确哈。下面我们来填写第三行

—奇偶性。我们知道奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。那根据这个道理y?x是什么函数?

教师：y?x？ 教师：y?x？

123教师：y?x2?

教师：因为定义域都不关于原点对称，更不用

说奇偶性了。所以是非奇非偶的函数。y?x？

?1教师：第四行—单调性。前面学习知道单调性

就是反应函数图象在某个区间是上升还是下降趋势。所以只需要看图像的上升还是下降即可。y=x?

2 教师：y?x？ 3 教师：y?x？

教师：

1y?x2？ ？

教师：y?x?1 教师：同学们看出这五个图象在坐标系下过那个公共点了吗？

教师：非常正确哈。任何数学问题的研究都是从特殊到一般，从具体到抽象。那通过这5个具体函数的分析，同学们能像前面学习指数函数和对数函数那样归纳出幂函数的性质吗？首先，幂函数不再像前面学习的指数函数、对数函数图象那样具有很强的规律性，它的图象会随着a的不同，定义域，奇偶性，单调性截然不同。其次，所有的幂函数在(0,?)都有定义，并且都过点（1,1）。第三点，不知道同学们发现没 ，只要a＞0时，幂函数在[0,?)都为增函数；a＜0时，幂函数在(0,?)为减函

数。其实还有很多性质，同学们可以自己观察更多的幂函数图象总结。最后我们来看看图像的走势。y=x就好像一个分界线。有些函数图象位于y=x的上方，有些函数图象位于y=x下方。仔细观察我们会发现其实这与a的取值范围是有密切关系的。当0＜a＜1时，在（0，1）幂函数图象在ｙ＝ｘ上方，在(1,?)幂函数在ｙ＝ｘ下方。当a＞1时，在（0，1）幂函数图象在y=x的下方，在(1,?)幂函数图象在y=x的上方。ａ＜0时，幂函数图象与y轴无限接近与x轴无限接近。 （五）教学内容：课堂练习

设计意图：通过练习，使学生进一步熟悉幂函数的几个重要性质。

师生活动：

教师：下面门来做一个关于幂函数性质的练习。

根据幂函数性质比较下列数的大小。(1)1.5(3)2.2-23-2353与1.75 (2)0.71.5与0.61.5

与1.83 （4）0.15-1.2与0.17-1.2同学么能把草稿子拿出来。根

据性质好好做一做。请两位同学上黑板来做。你做一二题，你做三四题。下面的同学自己动手做（老师巡视指导）

教师：下面的同学做完了吗？做完了的和黑板上

同学做的对照一下，这两位同学做得是否正确（因学生做的具体情况分析）

（六）教学内容：例题分析

设计意图：图象得出德尔单调性是不严密的，应该运用严

格的数学推理来证明单调性。 师生活动：

教师：前面通过观察图象知道y?x在[0,?)是

21增函数，但是仅凭图象是不严密的。下面我们将运用严密的数学知识证明幂函数y?x在在前面是增函数。证明函数单调性在前

21面的学习中已经归纳出具体的五个步骤，同学们还记得吗!首先。。。。。。

教师：然后比较函数值大小。第三步？ 教师：第四步了？

教师：最后得出结论。下面我们运用同样的步骤来证明。任取x,x∈[0,?)且x＜x，则f(x)?12121f(x2)?x1?x2 。现在

1应该如何变形才能使f(x)?1f(x2)含有已知的假设的条件x?x2＜0了？同学知道吗？

教师：非常好哈。同学们知道这位同学说的意思吗？因为我们知道的就只有x为关于x11?x2＜0这个条件。想将x1?x2化?x2的形式只需要分子分母同时乘上x1?x2，此时分子x1?x2x1?x2利用平方差公式就得到了x为

x1?x21?x2。原式f(x1)?f(x2)＝又因

很大于零，所以f(x)?1f(x2)＞０.即f(x1)＞f(x2)，此时即

可根据单调性定义得到所要证明的结果。 （七）教学内容：课堂小结

设计目的：教师总结本节课的重难点，使知识更清晰，学生更容易掌握、理解。

师生活动：

教师：本节课学习了幂函数的定义，同学们要牢

记定义的内容，并且深知知识一种形式化的定义。第二点通过研究幂函数的图象与性质，同学们要牢记着五种幂函数的图象与基本性质，为以后解题带来方便。幂函数已经是本章的最后一节了，函数是有无穷多的，但是通过对本节三种基本初等函数的学习，同学们要掌握的是一种方法，一种如何研究函数性质的方法，在以后遇见陌生的函数同学们也能通过研究函数的大致图象来研究。

（八）教学内容：课后作业

设计目的：学生自己亲手动手独立思考，通过作业检查学生对本节内容掌握的程度。 师生活动：

教师：本节课的作业就是教科书８２页复习参考

题Ａ组的第１０题,８３页Ｂ组的第６题，请同学们独立思考完成。

1113221.1，1.4，1.1的大小关系是什么？ 备选练习：１、

２、已知函数y?(aa=________。

2?3a?3)xa(a是常数)为幂函数，则

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