定积分（与应用）习题及答案

第五章 定积分

(A层次)

?2031．?sinxcosxdx； 2．?x0a2a?xdx； 3．?223dxx211?x2；

4．?7．?1?1xdx5?4xdx； 5．?4dxx?11； 6．?341dx1?x?1；

e21?dx； 8．?2； 9．?1?cos2xdx；

?2x?2x?20x1?lnx032xsinxdx；10．?xsinxdx； 11．?2?4cosxdx； 12．?4

?5x?2x2?1???2??4454lnx1xdx13．??； 14．； 15．dxxarctgxdx； ?2?10sinxx4?3?016．?2e2xcosxdx； 17．??3?2?xsinx?dx； 18．?sin?lnx?dx； 01?e?019．?2?cosx?cosxdx； 20．?44?sinxxsinxdx； dx； 21．?01?cos2x1?sinx22．?1202??1?x1?xxlndx； 23．?dx； 24．?2lnsinxdx； 40??1?x1?x?25．? (B层次)

??0?dxdx???0?。

1?x21?x????1．求由?edt??costdt?0所决定的隐函数y对x的导数

00ytxdy。 dx2．当x为何值时，函数I?x???te?tdt有极值？

2x03．

dcosxcos?t2dt。 ?dxsinx???x?1,x?12?4．设f?x???12，求?f?x?dx。

0x,x?1??2 1

5．lim2??arctgtdt?0xx???x?12。

?1x?sinx,0?x??6．设f?x???2，求??x???f?t?dt。

0?其它?0,?1,当x?0时??1?x7．设f?x????1,当x?0时??1?ex，求?f?x?1?dx。

028．lim1n??n2?n?n2n???n2。

kn2kn?9．求lim?n??k?1e。

1n?ne10．设f?x?是连续函数，且f?x??x?2?f?t?dt，求f?x?。

011．若?2ln2xdte?1?12t??61，求x。

12．证明：2e???212e?xdx?2。

2???x?a?2?2x13．已知lim??4xedx，求常数a。 ??ax???x?a??2??1?x,14．设f?x????x??e,xx?0x?0，求?f?x?2?dx。

1315．设f?x?有一个原函数为1?sinx，求?2xf??2x?dx。

2?016．设f?x??ax?b?lnx，在?1,3?上f?x??0，求出常数a，b使?f?x?dx最

13小。

17．已知f?x??e?x2，求?f??x?f???x?dx。

02100118．设f?x??x2?x?f?x?dx?2?f?x?dx，求f?x?。 19．?

?0?f?cosx?cosx?f??cosx?sinx?dx。

22

20．设x?0时，F?x???x2?t2f???t?dt的导数与x2是等价无穷小，试求

0x??f???0?。 (C层次)

1．设f?x?是任意的二次多项式，g?x?是某个二次多项式，已知

?10f?x?dx?b?1??1?，求????f0?4f?f1g?x?dx。 ?????a6??2??2．设函数f?x?在闭区间?a,b?上具有连续的二阶导数，则在?a,b?内存在?，

b?a?b?13使得?f?x?dx??b?a?f???b?a?f?????。 ?a?2?243．f?x?在?a,b?上二次可微，且f??x??0，f???x??0。试证

?b?a?f?a???af?x?dx??b?a?f?b??f?a?。

b24．设函数f?x?在?a,b?上连续，f??x?在?a,b?上存在且可积，f?a??f?b??0，试证f?x??1bf??x?dx(a?x?b)。 ?a211005．设f?x?在?0,1?上连续，?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1，求证存在一点x，

0?x?1，使f?x??4。

6．设f?x?可微，f?0??0，f??0??1，F?x???tfx2?t2dt，求lim0x?0x??F?x?。 4x7．设f?x?在

4b?a,b?上连续可微，若f?a??f?b??0，则

f?x?dx?maxf??x?。 ??b?a?2aa?x?b8．设f?x?在?A,B?上连续，A?a?b?B，求证lim?k?0baf?x?k??f?x?dx

k?f?b??f?a?。

9．设f?x?为奇函数，在???,???内连续且单调增加，F?x????x?3t?f?t?dt，

0x证明：(1)F?x?为奇函数；(2)F?x?在?0,???上单调减少。

3

10．设f?x?可微且积分??f?x??xf?xt??dt的结果与x无关，试求f?x?。

0111．若f???x?在?0,??连续，f?0??2，f????1，证明：

??f?x??f???x??sinxdx?3。

0?12．求曲线y???t?1??t?2?dt在点(0,0)处的切线方程。

0x13．设f?x?为连续函数，对任意实数a有

????a?asinxf?x?dx?0，求证

f?2??x??f?x?。

14．设方程2x?tg?x?y???x?y0d2ysectdt，求2。

dx215．设f?x?在?a,b?上连续，求证：

h?0lim?1x?f?t?h??f?t??dt?f?x??f?a?(a?x?b) h?ax2?1?x?016．当x?0时，f?x?连续，且满足?f?t?dt?x，求f?2?。

17．设f?x?在?0,1?连续且递减，证明

??f?x?dx??f?x?dx，其中???0,1?。

001?18．设f??x?连续，F?x???f?t?f??2a?t?dt，f?0??0，f?a??1，试证：

0xF?2a??2F?a??1。

19．设g?x?是?a,b?上的连续函数，f?x???g?t?dt，试证在?a,b?内方程

axg?x??f?b??0至少有一个根。 b?axxab20．设f?x?在?a,b?连续，且f?x??0，又F?x???f?t?dt??(1)F??x??2 (2)F?x??0在?a,b?内有且仅有一个根。 21．设f?x?在?0,2a?上连续，则?2a01 dt，证明：

f?t?f?x?dx???f?x??f?2a?x??dx。

0a22．设f?x?是以?为周期的连续函数，证明：

?0?sinx?x?f?x?dx??0?2x???f?x?dx。

4

2??23．设f?x?在?a,b?上正值，连续，则在?a,b?内至少存在一点?，使

??af?x?dx??f?x?dx??1b1bf?x?dx。 ?a2x1f?u?1?24．证明?lnf?x?t?dt??lndu??lnf?u?du。

000f?u?25．设f?x?在?a,b?上连续且严格单调增加，则?a?b??f?x?dx?2?xf?x?dx。

aabb26．设f?x?在?a,b?上可导，且f??x??M，f?a??0，则?f?x?dx?abM?b?a?2。 227．设f?x?处处二阶可导，且f???x??0，又u?t?为任一连续函数，则

1af?u?t??dt??0a?1a?f??u?t?dt?，?a?0?。 ?a0?b?a?b?28．设f?x?在?a,b?上二阶可导，且f???x??0，则?f?x?dx??b?a?f? ?。a?2?29．设f?x?在?a,b?上连续，且f?x??0，?f?x?dx?0，证明在?a,b?上必有

abf?x??0。

30．f?x?在?a,b?上连续，且对任何区间??,????a,b?有不等式

???f?x?dx?M???1??(M，?为正常数)，试证在?a,b?上f?x??0。

第五章 定积分

(A)

?1．?2sinxcos3xdx

0?解：原式???a0202114cosxdx??cosx?

4403?2．?x2a2?x2dx

解：令x?asint，则dx?acostdt 当x?0时t?0，当x?a时t???2

原式??2a2sin2t?acost?acostdt

0 5

a4 ?444a?02sin2tdt?82?st?dt ??1?co420??2a?a1? ??sin4t?a4

828416043．?3dxx211?x2

解：令x?tg?，则dx?sec2?d? 当x?1，3时?分别为

2sec? 原式???32d?

tg?sec?4??， 43? ???3?sin??dsin?

?24? ?2?4．?1?123 3xdx5?4x

1512?u，dx??udu 442解：令5?4x?u，则x? 当x??1，1时，u?3,1 原式??5．?4115?u2du? 3861??dxx?11

解：令x?t，dx?2tdt

当x?1时，t?1；当x?4时，t?2 原式??212dt?2tdt?2 ?2??dt??111?t?1?t??222 ?2t1?ln?1?t?1?2?2ln

3??6．?341dx1?x?1

6

解：令1?x?u，则x?1?u2，dx??2udu 当x?31,1时u?,0 4201?2uu?1?1 原式??1du?2?2du?1?2ln2

0u?1u?127．?e2dxx1?lnxe211

11?lnxe21e21解：原式??dlnx??11?lnxd?1?lnx?

?21?lnx8．?dx

?2x2?2x?20?23?2

解：原式??0?2dx1??x?1?2?arctg?x?1??2

0?arct??g1?? ?arct1g?4??4??2

9．??01?cos2xdx

?0解：原式??2cos2xdx?2?cosxdx

0? ?2?coxdxs?2???coxs?dx

202???????2?sin ?2?sinx0x???22 2??10．?x4sinxdx

???解：∵x4sinx为奇函数

∴?x4sinxdx?0

????11．?2?4cos4xdx

?2??420解：原式?4?2?2cosxdx?2?0?2cosx?dx

22 7

? ?2?20?1?cos2x??202dx?2?2?1?2cos2x?cos22x?dx

0?2?2 ?2x0?cos2xdx????20?1?cos4x?dx

2 ???2sin2x0?1???2cos4xd4x 240???2313 ???sin4x??

2420x3sin2xdx 12．?4?5x?2x2?15x3sin2x解：∵4为奇函数

x?2x2?1x3sin2xdx?0 ∴?4?5x?2x2?1513．??3xdx 2sinx4??解：原式????3xdctgx

4??3x???3ctgxd x ??xctg?44??13?3???lnsin?x ?? ??49?4???13?32???ln??ln ?? ?49?22???13?13???ln ? ???49?22??14．?4lnxx1dx

4解：原式?2?lnxdx

1 8

?2?xlnx???11?44xdlnx?

??41?? ?2?4ln2??xdx?

1x??12 ?8ln2?2?xdx

14? ?8ln2?4 15．?xarctgxdx

0111解：原式??arctgxdx2

2021x1?1?2 ??xarctgx??dx? 2002?1?x? ??8?1111dxdx? 2?02?01?x21111 ??x?arctg x82020 ????4?1 216．?2e2xcosxdx

0?解：原式??2e2xdsinx

0??x ?e2xsin?20??2sinx?2e2xdx

0?x ?e?2?2e2xdcos0??2x0?x2?2?2cosx?2e2xdx ?e?2ecos0?xdx ?e?2?4?2e2xcos

0?? 故?2e2xcosxdx?01?e?2 5??17．?

2?xsinx?dx 0?9

解：原式?? ??xsinx?0?2dx??x20?1?cos2xdx 21?21?2xdx?xcos2xdx ??0022?1 ?x36?01?2xdsin2x ?04??1?2?xsin2x??sin2x?2xd?x ?0?0??64??3 ??36?1?xdco2sx ?04?1??3????xco2sx0??co2sxdx?? ??0??6464??318．?sin?lnx?dx

1e1e解：原式?xsin?lnx?1??xcos?lnx??dx

1xe ?esin1??cos?lnx?dx

1e1?e? ?esin1??xcos?lnx?1??xsin?lnx??dx?

1x??e ?esin1?ecos1?1??sin?lnx?dx

1e 故?sin?lnx?dx?1ee?sin1?cos1?1? 2?19．?2?cosx?cos3xdx

?4??解：原式??2?cosx1?cos2xdx

4?? ??0??4coxs??sinx?dx??2coxssinxd x00??33?2??2?2s?2?????coxs?2? ???cox?33?????04442 ??

33

10

?20．?40sinxdx

1?sinx?解：原式??40sinx?1?sinx?dx 21?sinxx?sin2? ??4??tgx?dx 20cosx???? ???40dcoxs2??4secx?1dx 20cosx????14?4???tgx?x?02??2 ?coxs04?21．??0xsinxdx 21?cosx解：令x??2?t，则

???????t?sin??t????2??2?原式????2?dt

???21?cos2??t??2?tcots?dt ????22221?sint1?sint2???cots? ???22．?xln120202?cots?2??sgindt??arctt?0 241?sint1?xdx 1?x120解：原式??1?x?x2lnd?1?x??212??? ?12x1?xx1?x1?x??1?x???1? ?ln??2??dx 2021?x021?x?1?x?221xdx ?ln3??2ln208x?11 11

1dx ?ln3??2dx??22

00x?1811111x?1 ?ln3??ln

822x?10 ???1213?ln3 281?x2dx 23．???1?x4????1?x2dx?2?01?x4解：原式??01?12xdx 1?x22x ?2???011???x???2x????21??d?x??

x??1x?2xarctg ?22?2?

0??24．?2lnsinxdx

0xx??解：原式??2ln?2sin?cos?dx令x?2t2?4?ln2?lnsint?lncost?dt

0022?????? ?ln2?2??4lnsintdt??4lncotdts?

002?????

t??u2??????ln2?2??4lnsintdt???2lnsinudu?

024?? ??2??ln2?2?2lnsintdt

0 故?2lnsinxdx??0?2ln2

25．?

??0?dx1?x21?x???????0?

12

11解：令x?，则dx??2dt

tt1dt20??t?dtt原式?? ????1?t21?t?01?t21?t???2tt?????∴2???0?????dxdxx?dx ????2?2?2?001?x1?x1?x1?x1?x1?x??????????? ??故?

????01???dx?arctgx? 2021?x0?dx? ?2?41?x1?x???(B)

1．求由?etdt??costdt?0所决定的隐函数y对x的导数

00yxdy。 dx解：将两边对x求导得

dy?cosx?0 dxdycosx??y ∴dxe ey2．当x为何值时，函数I?x???te?tdt有极值？

2x0解：I??x??xe?x，令I??x??0得x?0

2 当x?0时，I??x??0 当x?0时，I??x??0

∴当x?0时，函数I?x?有极小值。

dcosx2cos?tdt。 ?sinxdxcostd?a22? cos?tdt?cos?tdt解：原式??a???sinx?dx?cosxd?sinx2??cos?tdt??cos?t2dt? ??a?a?dx?3．

????????????22s?sinx??sinx??co?scosx??cosx? ??co? 13

2 ??co?ssincoxs?co?sco2sx??sinx? 22 ??co?ssinxcoxs?sinxco?s??sinx 2 ??sinx?coxs?cos?sinx

???????????x?1,x?12?4．设f?x???12，求?f?x?dx。

0x,x?1??2解：?f?x?dx???x?1?dx??00212112xdx 2218?1? ??x2?x??x3?

?2?061315．lim2??arctgtdt?0xx???xx?12??arctgtdt?型?0?2。

解：limx???x?12x???lim?arctgx?21?12x?122x2??

?limx???x2?1?arct?gx?limx???x2x1?1arct2gx2x

x??1?22 ?lim1?2?arctgx??

x???4x?1x?sinx,0?x??6．设f?x???2，求??x???f?t?dt。

0?0,其它?解：当x?0时，??x???f?t?dt??0dt?0

00xx 当0?x??时，??x???x11?cosxsintdt? 022x?x 当x??时，??x???f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt??00?0?x1sintdt??0dt?1 ?2当?0时?0,??1 故??x????1?cosx?,当0?x??时。

?2当x??时??1,

14

?1,当x?0时??1?x7．设f?x????1,当x?0时??1?ex?1,当x?1时??x解：f?x?1????1,当x?1时??1?ex?1，求?f?x?1?dx。

02

?202dx1f?x?1?dx????11??x?1?dx 01?ex?112dx1?ex?1?ex?1??dx?1? ?? x?1?01x1?e1 ?1?ln1?ex?1 ?ln?1?e? 8．lim1n??n2??10?ln2

?n?2n???n2。

??12n?1? 解：原式?lim??????n??nn??n?n ?lim?n??i?1n1i12???xdx?

0nn39．求lim?n??k?1nekn2kn。

n?nen解：原式?lim?n??k?1ekn2kn1?e1 nex?x1dx?arctge?arctg?e ??001?e2x4110．设f?x?是连续函数，且f?x??x?2?f?t?dt，求f?x?。

01解：令?f?t?dt?A，则f?x??x?2A，

01 15

从而?f?x?dx???x?2A?dx?00111?2A 2即A?11?2A，A?? 22∴f?x??x?1 11．若?2ln2xdte?1t??6，求x。

解：令et?1?u，则t?ln1?u2，dt? 当t?2ln2时，u?3 当t?x时，u?ex?1 ∴?2ln2x??2udu 21?udte?1t??3ex?1?2udu?2arctgu1?u2u?3ex?1

???? ?2??arctgex?1??

?3?6从而x?ln2 12．证明：2e?121???212e?xdx?2。

2?11??x2证：考虑??,?上的函数y?e，则

22?? y???2xe?x，令y??0得x?0

2?1? 当x???,0?时，y??0

2???1? 当x??0,?时，y??0

2?? ∴y?e?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e?121?212?x21?x2在x??12处取最小值e?12

1 故??212edx??edx???2121dx

16

即2e?121???212e?xdx?2。

x2???x?a?2?2x13．已知lim????a4xedx，求常数a。

x???x?a??2a???2a解：左端?lim?1???e

x????x?a? 右端????ax??2xe?d??2x???2?2x??a??a?2x2de?2x

2?2x ??2??xe???????a2xe?2xdx??

? ?2a2e?2a?2?axd?e2x

??a?2x ?2a2e?2a?2??xe?????ae?2xdx??

? ?2a2?2a?1e?2a ∴2a2?2a?1e?2a?e?2a 解之a?0或a??1。

2??1?x,14．设f?x????x??e,????x?0x?0，求?f?x?2?dx。

13解：令x?2?t，则

?31f?x?2?dx??f?t?dt??1?tdt??e?tdt?2?1?1010??171? 3e15．设f?x?有一个原函数为1?sinx，求?2xf??2x?dx。

2?0?解：令2x?t，且f?x???1?sin2x??sin2x

?

?20xf??2x?dx???0t11?f??t?dt??tf??t?dt 2240?1?1??? ??????tdft?tft?ftdt?00???4?04??1?2tsin2t0?1?sint??0 ??0???4? ???16．设f?x??ax?b?lnx，在?1,3?上f?x??0，求出常数a，b使?f?x?dx最

13小。

17

解：当?f?x?dx最小，即??ax?b?lnx?dx最小，由f?x??ax?b?lnx?0知，

1133y?ax?b在y?lnx的上方，其间所夹面积最小，则y?ax?b是y?lnx的切线，

而y??111，设切点为?x0,lnx0?，则切线y??x?x0??lnx0，故a?，xx0x0b?lnx0?1。

3?a?于是I???ax?b?lnx?dx??x2?bx???lnxdx

11?2?133 ?4a?2?1?lna???lnxdx

13??4?令Ia21?0得a? a2从而x0?2，b?ln2?1

???又Ia32?0，此时?1f?x?dx最小。 a2217．已知f?x??e?x，求?f??x?f???x?dx。

01解：f??x???2xe?x

2

?f??x?f???x?dx??011012f??x?df??x???f??x??

2011221??x? ???2xe??2??2e?2

018．设f?x??x2?x?f?x?dx?2?f?x?dx，求f?x?。

0021解：设?f?x?dx?A，?f?x?dx?B，则f?x??x2?Bx?2A

0012 ∴A??f?x?dx??x2?Bx?2Adx?11?B?2A

0032228∴B??f?x?dx??x2?Bx?2Adx??2B?4A

00314解得：A?，B?，于是

3342f?x??x2?x?

3311????19．?

?0?f?cosx?cosx?f??cosx?sinx?dx。

218

解：原式??f?cosx?cosxdx??sinxf??cosx?dcosx

00?? ??f?cox s?coxdxs?sinxf?coxs?0??f?coxs?coxsdx?00?? ?0

20．设x?0时，F?x???x2?t2f???t?dt的导数与x2是等价无穷小，试求

0x??f???0?。

?x?解：limx0x?02?t2f???t?dtx3x0?3??limx?0x02xf???t?dtx2

?limx?02?f???t?dtx?lim2xf????? ????0,x?? x?0x ?2f???0??1 故f???0??

(C)

1．设f?x?是任意的二次多项式，g?x?是某个二次多项式，已知

1 2?10b?1??1?f?x?dx??f?0??4f???f?1??，求?g?x?dx。

a6??2??解：设x??b?a?t?a，则

I??g?x?dx??g??b?a?t?a??b?a?dt

a0b1 ??b?a??g??b?a?t?a?dt

01 令g??b?a?t?a??f?t?

?1??b?a? 于是f?0??g?a?，f???g??，f?1??g?b?

22???? 由已知得I??b?a??b?a?????ga?4g?gb??? 6?2????2．设函数f?x?在闭区间?a,b?上具有连续的二阶导数，则在?a,b?内存在?，

19

b?a?b?13使得?f?x?dx??b?a?f???b?a?f?????。 ?a?2?24证：由泰勒公式

f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f??????x?x0?2 2! 其中x0,x??a,b?，?位于x0与x之间。 两边积分得：

f?????2?x?x0?dx a2!f?????3b?baf?x?dx??f?x0?dx??f??x0??x?x0?dx??aabb ??b?a?f?x0?? 令x0?

f??x0??b?x0?2??a?x0?2?2??6??b?x?03??a?x0?

?a?b，则 2?ba22?a?ba?b1a?ba?b?????????f?x?dx??b?a?f???f?????b????a???

2??2???2??2?2????33f???????a?b??a?b? ????a????b?6?22??????? ???a?b?13 ??b?a?f????b?a?f?????，???a,b?。

?2?243．f?x?在?a,b?上二次可微，且f??x??0，f???x??0。试证

?b?a?f?a???af?x?dx??b?a?f?b??f?a?。

b2证明：当x??a,b?时，由f??x??0，f???x??0知f?x?是严格增及严格凹的，从而f?x??f?a?及f?x??f?a??bbaaf?b??f?a??x?a? b?a故?f?x?dx??f?a?dx??b?a?f?a?

?bab?f?b??f?a???f?x?dx???f?a??x?a??dx

ab?a??f?b??f?a?1?b?a?2

b?a2f?b??f?a? ??b?a?

2 ??b?a?f?a??4．设函数f?x?在?a,b?上连续，f??x?在?a,b?上存在且可积，f?a??f?b??0，

20

1b试证f?x???f??x?dx (a?x?b)。

2a证明：因为在?a,b?上f??x?可积，故有

?baf??x?dx??f??t?dt??f??t?dt

axxaxb 而f?x???f??t?dt，?f?x???f??t?dt

xbb1?x???ftdt?f??t?dt? ???x?a?2?b1x1b f?x????f??t?dt??f??t?dt???f??t?dt

?x?a?2a2? 于是f?x??5．设f?x?在?0,1?上连续，?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1，求证存在一点x，

00110?x?1，使f?x??4。

证：假设f?x??4，x??0,1?

由已知?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1，得

0011 1??xf?x?dx?011?111???fxdx?x???f?x?dx ??0022?? ??x?01111f?x?dx?4?x?dx

0221??11???1?2 ?4????x?dx??1?x??dx??1

02???2???21111f?x?dx?4?x?dx

022 故?x?01 从而?x?01?f?x??4?dx?0 2∴f?x??4?0

因为f?x?在?0,1?连续，则f?x??4或f?x???4。从而?f?x?dx?4或?4，

01这与?f?x?dx?0矛盾。故f?x??4。

016．设f?x?可微，f?0??0，f??0??1，F?x???tfx2?t2dt，求lim0x?0x??F?x?。 x4 21

1x2解：令x?t?u，则F?x???f?u?du，显然F??x??xfx2

2022??F?x?F??x?fx2fx2?f?0?11? 于是lim4?lim。 ???lim?lim?f0?2x?0xx?04x3x?04x2x?0444x?0??????7．设f?x?在

4b?a,b?上连续可微，若f?a??f?b??0，则

f?x?dx?maxf??x?。 ??b?a?2aa?x?b?a?b??a?b?证：因f?x?在?a,b?上连续可微，则f?x?在?a,,b?上均满足拉?和?22????格朗日定理条件，设M?maxf??x?，则有

a?x?b?baf?x?dx??a?b2aa?b2af?x?dx??a?bf?x?dx

2bb ?? ??f?a??f???1??x?a?dx??a?bf?b??f???2??x?b?dx

2a?b2af???1??x?a?dx??a?bf???2??x?b?dx

2a?b2ab ?M?故

4x?adx?M?a?bx?bdx?2bM?b?a?2 4f?x?dx?M。 ??b?a?2abak?0b8．设f?x?在?A,B?上连续，A?a?b?B，求证lim?f?x?k??f?x?dx

k?f?b??f?a?。

证：?baf?x?k??f?x?1b1bdx??f?x?k?dx??f?x?dx

kkakabb?ka?ka 令x?k?u，则?f?x?k?dx?? 于是?bf?u?du

f?x?k??f?k?1b?k1bdx??f?x?dx??f?x?dx

akka?kka1b?k1a?kf?x?dx??f?x?dx ??kbkabf?x?k??f?x?1b?k1a?kdx?lim?f?x?dx?lim?f?x?dx 故lim?bak?0ak?0k?0kkk

22

?f?b??f?a?

9．设f?x?为奇函数，在???,???内连续且单调增加，F?x????x?3t?f?t?dt，

0x证明：(1)F?x?为奇函数；(2)F?x?在?0,???上单调减少。

证：(1) F??x???

f?x?为奇函数?x0??x?3t?f?t?dtt??u??0???x?3u?f??u?du

xx?0??x?3u?f?u?du???0?x?3u?f?u?du??F?x?

x ∴F?x?为奇函数。

?xx?? (2)F??x??x?f?t?dt?3?tf?t?dt ??0?0? ??f?t?dt?xf?x??3xf?x?

0x ??f?t?dt?2xf?x?

0x ???f?t??f?x??dt?xf?x?

0x 由于f?x?是奇函数且单调增加，当x?0时，f?x??0，

??f?t??f?x??dt?0 ??0?t?x?，故F??x??0，x??0,???，即F?x?在?0,???上

0x单调减少。

10．设f?x?可微且积分??f?x??xf?xt??dt的结果与x无关，试求f?x?。

01解：记??f?x??xf?xt??dt?C，则

01

?0?f?x??xf?xt??dt?f?x???0f?u?du?C

1x 由f?x?可微，于是 f??x??f?x??0

解之f?x??ke?x（k为任意常数）

11．若f???x?在?0,??连续，f?0??2，f????1，证明：

??f?x??f???x??sinxdx?3。

0?解：因?f???x?sinxdx??sinxdf??x?

00?? 23

?sinxf??x???0??0f??x?coxsd x ????0f??x?coxsd x ????coxsd?fx???f?x?coxs??00??0f?x?sinxdx ?f????f?0????0f?x?sinxdx ?1?2????0f?x?sinxdx?3??0f?x?sinxd x 所以??0?f?x??f???x??sinxdx?3。

12．求曲线y??x0?t?1??t?2?dt在点(0,0)处的切线方程。

解：y???x?1??x?2?，则y??0??2，故切线方程为：y?0?2?x?0?， 即y?2x。

13．设f?x?为连续函数，对任意实数a有

???a??asinxf?x?dx?0，f?2??x??f?x?。

证：两边对a求导

sin???a?f???a????1?sin???a?f???a??0 即f???a??f???a?

令a???x，即得f?2??x??f?x?。 14．设方程2x?tg?x?y???x?y2d20sectdt，求ydx2。

解：方程两边对x求导，得

2?se2c?x?y??1?y???se2c?x?y??1?y??

从而y??1?cos2?x?y??sin2?x?y?

y???2sin?x?y?co?sx?y??1?y?? ?2sin?x?y?co3s?x?y? 15．设f?x?在?a,b?上连续，求证：

24

求证

1x?f?t?h??f?t??dt?f?x??f?a? (a?x?b) limh?0?h?a证：设F?x?为f?x?的原函数，则 左边?lim?h?01?F?x?h??F?a?h??F?x??F?a?? h?F?x?h??F?x?F?a?h??F?a?? ?lim ??h?0??hh?? ?f?x??f?a??右边。 16．当x?0时，f?x?连续，且满足?解：等式两边对x求导，得 fx2?1?x?2x?3x2?1 令x2?1?x??2得x?1 将x?1代入得：f?2??5?1 故f?2??1。 5x2?1?x?0f?t?dt?x，求f?2?。

????17．设f?x?在?0,1?连续且递减，证明

??f?x?dx??f?x?dx，其中???0,1?。

001?证：??f?x?dx?????f?x?dx??f?x?dx??

01?1?0?? 则??f?x?dx??f?x?dx

001? ???f?x?dx????1??f?x?dx

?01? ???1???f??1??????1?f??2?，?1???,1?，?2??0,?? ?????1??f??1??f??2?? 由于f?x?递减，f??1??f??2? 故??f?x?dx??f?x?dx?0

001? 即??f?x?dx??f?x?dx。

001?18．设f??x?连续，F?x???f?t?f??2a?t?dt，f?0??0，f?a??1，试证：

0x 25

F?2a??2F?a??1。

证：F?2a??2F?a??? ??2a02a0f?t?f??2a?t?dt?2?f?t?f??2a?t?dt

0a0af?t?f??2a?t?dt??f?t?f??2a?t?dt f?t?f??2a?t?d?2a?t???f?t?f??2a?t?dt

02a2aaa ???2aa ??f?t?f?2a?t?a??f??t?f??2a?t???f?t?f??2a?t?dt

0a 在第一个积分中，令2a?t?u，则

?2aaf??t?f?2a?t?dt??f?u?f??2a?u?du

02a2a 而?f?t?f?2a?t?a??f?2a?f?0??f 故F?2a??2F?a??1

?a??1

19．设g?x?是?a,b?上的连续函数，f?x???g?t?dt，试证在?a,b?内方程

axg?x??f?b??0至少有一个根。 b?a证：由积分中值定理，存在???a,b?使 f?b???g?t?dt?g????b?a?

ab 即g????f?b??0 b?a 故?是方程g?x??f?b??0的一个根。 b?axxab20．设f?x?在?a,b?连续，且f?x??0，又F?x???f?t?dt??(1)F??x??2 (2)F?x??0在?a,b?内有且仅有一个根。 证：(1)F??x??f?x??ab1 dt，证明：

f?t?1?2 ??fx (2)F?a???b1dt?0，F?b???f?t?dt?0

af?t? 又F?x?在?a,b?连续，由介值定理知F?x??0在?a,b?内至少有一根。 又F??x??0，则F?x?单增，从而F?x??0在?a,b?内至多有一根。

26

故F?x??0在?a,b?内有且仅有一个根。 21．设f?x?在?0,2a?上连续，则?证：?2a02a0f?x?dx???f?x??f?2a?x??dx。

0af?x?dx??f?x?dx??0a2aaf?x?dx

令x?2a?u，dx??du，则

?2aaf?x?dx??f?2a?u?du??f?2a?x?dx

00aa 故?2a0f?x?dx???f?x??f?2a?x??dx

0a22．设f?x?是以?为周期的连续函数，证明：

??sinx?x?f?x?dx???2x???f?x?dx。

002??证：?2?0?sinx?x?f?x?dx

?2?0 ???sinx?x?f?x?dx?? 令x???u，则

??sinx?x?f?x?dx

???u????u?f???u?du ???sinx?x?f?x?dx??0?sin?02?2?? ???u???sinu?f?u?du(∵f?x?以?为周期) 故?0?sinx?x?f?x?dx??0?2x???f?x?dx

b?23．设f?x?在?a,b?上正值，连续，则在?a,b?内至少存在一点?，使

??af?x?dx??f?x?dx??xbax1bf?x?dx。 ?a2证：令F?x???f?t?dt??f?t?dt 由于x??a,b?时，f?x??0，故 F?a????f?t?dt?0

ab F?b???f?t?dt?0

ab 故由零点定理知，存在一点???a,b?，使得F????0 即?f?t?dt??f?t?dt?0

a?b? 27

?f?x?dx???f?x?dx

ab?b 又?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?2?f?x?dx

aa?b??a 故?f?x?dx??f?x?dx?a?b?1bf?x?dx。 2?a1f?u?1?du??lnf?u?du。 0f?u?24．证明?lnf?x?t?dt??ln001x证：设x?t?u?1，则

?10lnf?x?t?du??x0xx?1lnf?u?1?du

0x?1 ??lnf?u?1?du?? 令u?1?v，则

lnf?u?1?du

?0x?1lnf?u?1?du??lnf?v?dv??lnf?u?du

xxx10011 ???lnf?u?du??lnf?u?du 故?lnf?x?t?dt??ln001x1f?u?1?du??lnf?u?du 0f?u?25．设f?x?在?a,b?上连续且严格单调增加，则?a?b??f?x?dx?2?xf?x?dx。

aabb证：令F?x???a?x??f?t?dt?2?tf?t?dt

aaxx 则F??x???f?t?dt??a?x?f?x??2xf?x?

ax ??f?t?dt??x?a?f?x?

ax ???f?t??f?x??dt

ax ∵a?t?x，f?x?在?a,b?严格单增

∴f?t??f?x??0

则F??x??0，从而F?b??F?a??0 即?a?b??f?t?dt?2?tf?t?dt?0

aabb故?a?b??f?x?dx?2?xf?x?dx

aabb 28

26．设f?x?在?a,b?上可导，且f??x??M，f?a??0，则?f?x?dx?abM?b?a?2。 2证：由假设对?x??a,b?，可知f?x?在?a,x?上满足微分中值定理，则有 f?x??f?x??f?a??f?????x?a?，???a,x? 又因f?x??M，x??a,b? 故f?x??M?x?a?

于是?bf?x?dx??bM?x?M2aaa?dx?2?b?a?。 27．设f?x?处处二阶可导，且f???x??0，又u?t?为任一连续函数，则

1?af?u?t??dt?f??1a?a0?a?0u?t?dt??，?a?0?。 证：由泰勒公式，有

f?x??f?x120??f??x0??x?x0??2!f??????x?x0? 其中?在x与x0之间 又因f???x??0，故

f?x??f?x10??f??x0??x?x0??2!f??????x?x20??0 即f?x??f?x0??f??x0??x?x0?

令x?u?t?，x1a0?a?0u?t?dt

则?aa0f?u?t??dt??f??1?a?a0u?t?dt???dt??a?0???f???1a?a?0u?t?dt???0???? ??1a??u?t??a?0u?t?dt??dt

即?a?1a?0f?u?t??dt?af??a?0u?t?dt??。

29

b?a?b?28．设f?x?在?a,b?上二阶可导，且f???x??0，则?f?x?dx??b?a?f? ?。a?2?证：对?x??a,b?，将f?x?在x0?a?b处展开，得 22a?b?1a?b??a?b??a?b?????? f?x??f????fx??f?x????????

2?2!2??2??2???其中?在x与

a?b之间。 2 由题设f???x??0，则f??????0。

a?b??a?b??a?b?? 从而f?x??f???f????x??

222??????ba?b??a?b??a?b?b?? 积分?f?x?dx??b?a?f??fx?????a??dx a2??2??2???a?b?即?f?x?dx??b?a?f?? a2??b29．设f?x?在?a,b?上连续，且f?x??0，?f?x?dx?0，证明在?a,b?上必有

abf?x??0。

证：由f?x??0得?f?x?dx?0，再由题设?f?x?dx?0，知?f?x?dx?0

aaabbb又由于f?x??0，对x??a,b?得，0??f?t?dt??f?t?dt?0

aabx即?xa?x??f?t?dt?0，从而f?x????f?t?dt??0 ?a?30．f?x?在?a,b?上连续，且对任何区间??,????a,b?有不等式

???f?x?dx?M???a1??(M，?为正常数)，试证在?a,b?上f?x??0。

证：令F?x???f?t?dt，则F??x??f?x?

xF????F??? 又???????f?x??dx?M??? ??? 令???，则上式左端?F?????f???，右端?0。由此得f????0，由?的任意性知f?x??0。

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