中考“三段形式”探究问题+数理化学习(初中版)数学稿件2017年第3期

中考“三段形式”探究问题

江西省上高县第四中学 336400 黄细把

摘要: 近几年中考中，“三段形式”探究问题常常以压轴形式出现，重在考查学生分析问题和解决问题的能力，越来越受到命题者的厚爱。在中考复习期间，应有意识地加强这方面的训练。

关键词：三段形式、探究、依次进行、联系。

“三段形式”探究问题在近几年中考中屡见不鲜，其特点是整个问题由循序渐进的三个部分组成．解答它们，要注意依次进行，同时注意后一部分与前一部分的联系．下面介绍几例，供参考．

例1（2016年四川省达州市中考题）

△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合），

以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．

观察猜想

（1）如图1－1，当点D 在线段BC 上时，

①BC 与CF 的位置关系为 ；

②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为 ．（将结论直接写在横线上） 数学思考

（2）如图1－2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

拓展延伸

（3）如图1－3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接EG ．若已知AB

＝CD ＝14

BC ，请求出EG 的长．

分析：（1）由条件，△ACF ≌△ABD ，得∠ACF ＝∠ABC ＝45°，CF ＝BD ．从而①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF ．（2）从判断△ACF ≌△ABD 是否仍然成立入手．若成立，∠ACF ＝∠ABD ＝135°，CF ＝BD ．从而BC ⊥CF ，BC ＝CD －CF ．（3）过点E 作EM ⊥CF 于点M ，要求EG 的长，应想方设法求EM 和GM 的长．

解：（1）如图1－1，在△ABC 和正方形ADEF 中，

因为AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝90°－∠CAD ，AF ＝AD ，

所以△ACF ≌△ABD ．

所以∠ACF ＝∠ABC ＝45°，CF ＝BD ．

所以∠BCF ＝∠ACF ＋∠ACB ＝90°，BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋CF ．

所以①BC 与CF 的位置关系为BC ⊥CF ；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为BC ＝CD ＋CF ．

（2）如图1－2，结论①仍然成立，结论②不成立，正确的结论是BC ＝CD －CF ．证明如下： F D E E D E F D B A C A C B A C B F G N M H 图1－1 图1－2 图1－3

因为AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝90°－∠CAD ，AF ＝AD ，

所以△ACF ≌△ABD ．

所以∠ACF ＝∠ABD ＝135°，CF ＝BD ．

所以∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝90°，BC ＝CD －BD ＝CD －CF ．

（3）如图1－3，过点E 作EM ⊥CF 于点M 、EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ．由△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，易得△ACF ≌△ABD ，从而BC ⊥CF ，CF ＝BD ，则△BCG 是等腰直角三角形，四边形CMEN 是矩形．

所以EM ＝CN ＝CD ＋DN ，GM ＝BC －EN ．

因为∠AHD ＝∠DNE ＝90°，∠HAD ＝90°－∠ADH ＝∠NDE ，AD ＝DE ，

所以△ADH ≌△DEN ．

所以AH ＝DN ，DH ＝EN ．

因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AB ＝

所以BC ＝4，CD ＝14

BC ＝1． 因为AH ⊥BD ，

所以AH ＝12BC ＝2，CH ＝12

BC ＝2，DH ＝CH ＋CD ＝3． 所以EM ＝3，GM ＝1．

所以EG

说明：本题的“三段形式”是：观察猜想—数学思考—拓展延伸．解答（1）的关键在于发现△ACF ≌△ABD ；解答（2）时要注意将图1－2与图1－1对比；解答（3）的关键在于构造以GE 为斜边的直角三角形．

例2（2016年湖北省咸宁市中考题）

（1）阅读理解：

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图2－1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sin α的值叫做这个平行四边形的变形度．

若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是_________．

（2）猜想证明：

若矩形的面积为1S ，其变形后的平行四边形面积为2S ，试猜想1S 、2S 、

1sin α之间的数量关系，并说明理由．

（3）拓展探究：

如图2－2，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，且2AB AE AD =?，这个矩形发生变形后为平行四边形1111A B C D ，1E 为E 的对应点，连接11B E 、11B D ，若矩形ABCD 的

面积为a ＞0），平行四边形1111A B C D 的面积为a ＞0），试求∠111A E B ＋∠111A D B 的度数．

分析：（1）先求α，再求

1sin α

的值．（2）设字母m

、n 分别表示矩形相邻两边的长，字母h 表示平行四边形边m 上的高，则1S 、2S 、1sin α之间的数量关系可以确定．（3）由2AB AE AD =?，得21111

11A B A E A D =?．从而△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1，得∠A 1E 1B 1＝∠A 1B 1D 1．又∠111A D B ＝∠D 1B 1C 1，则∠111A E B ＋∠111A D B ＝∠A 1B 1C 1，即（1）中的α．

解：（1）如图2－1，注意到平行四边形中相邻两个内角互补，得α＝180°－120°＝60°．

所以1sin α＝1sin 60 （2）1S 、2S 、

1sin α之间的数量关系为121sin S S α=．理由如下：如图2－1，设字母m 、n 分别表示矩形相邻两边的长，字母h 表示平行四边形边m 上的高．

因为1S ＝mn ，2S ＝mh ，

所以12S mn n S mh h

==． 因为sin α＝

h n ， 所以121sin S S α

=． （3） 如图2－2，在矩形变形为平行四边形的过程中，四边的长短不会发生变化，变化的是四个角的大小．

因为2AB AE AD =?，

所以2111111A B A E A D =?，11111111

A B A D A E A B =． 因为∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1

所以△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1．

所以∠A 1E 1B 1＝∠A 1B 1D 1．

因为A 1D 1∥B 1C 1，

所以∠111A D B ＝∠D 1B 1C 1． α B C ? ? A 1 E 1 D 1 B 1 C 1 图2－1 图2－2

h m m n n

所以∠111A E B ＋∠111A D B ＝∠A 1B 1D 1＋∠D 1B 1C 1＝∠A 1B 1C 1．

因为1S ＝

2S ＝

所以11112

1sin S A B C S =∠＝2． 所以1111sin 2A B C ∠=

，∠A 1B 1C 1＝30°． 所以∠111A E B ＋∠111A D B ＝30°．

说明：本题的“三段形式”是：阅读理解—猜想证明—拓展探究．解答（1）的关键在于正确理解阅读材料；解答（2）时要注意用字母表示矩形相邻两边的长及平行四边形一边上的高；解答（3）的关键在于由条件2

AB AE AD =?推知△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1，再得∠111A E B ＋∠111A D B ＝∠A 1B 1C 1．

例3（2016年山东省烟台市中考题）

探究证明

（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图3－1，矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，GH 分别交AD 、BC 于点G 、H ．求证：EF AD GH AB

=． 结论应用

（2）如图3－2，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，若1115EF GH =，则BN AM

的值为 ． 联系拓展

（3）如图3－3，四边形ABCD 中，

∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M 、N 分别在边BC 、AB 上，求

DN AM 的值．

分析：（1）过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ，则AP

＝EF ，BQ ＝GH ．要证明EF AD GH AB =，只需证明AP AD BQ AB =．（2）由（1）中的结论，得BN AM 图3－1 图3－2 图3－3 D A B C H E F T G P D A B C H E F G R A B S N M D C M N Q

＝BC AB ＝EF GH

．（3）为方便利用（1）中的结论，应从构造矩形入手，使点D 、点N 在矩形的一组对边上，点A 、点M 在矩形的另组对边上．

解：（1）如图3－1，过点A 作AP ∥EF ，交CD 于点P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于点Q ，交AP 于点T ．

因为AB ∥DC ，AD ∥BC ，EF ⊥GH ，

所以四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形，AP ⊥BQ ．

所以AP ＝EF ，BQ ＝GH ．

因为∠BAD ＝90°，∠ATB ＝90°，

所以∠DAP ＝90°—∠BAP ＝∠ABQ ．

所以Rt △DAP ∽Rt △ABQ ． 所以AP AD BQ AB

=． 所以

EF AD GH AB =． （2）如图3－2，矩形ABCD 中，

因为AM ⊥BN ，点M 、N 分别在边BC 、CD 上， 所以

BN AD AM AB

=． 因为EF AD GH AB =，1115

EF GH =， 所以1115BN AM =． （3）如图3－3，过点D 作DS ∥AB 交BC 的延长线于点S ，过点A 作AR ∥BC 交SD 的延长线于点R ，则四边形ABSR 是平行四边形．

因为∠ABC ＝90°，

所以四边形ABSR 是矩形．

因为AM ⊥DN ， 所以

DN AR AM AB

=． 为方便起见，设AR ＝x ，DR ＝y ，则CS ＝BS —BC ＝x －5，DS ＝RS －DR ＝10－y ．

因为∠ARD ＝90°，∠CSD ＝90°， 所以()()2222100,51025.

x y x y ?+=??-+-=?? 解之，x ＝8，y ＝6（x ＝0，y ＝10舍去）． 所以45

DN AM =． 说明：本题的“三段形式”是：探究证明—结论应用—联系拓展．解答（1）的关键在

于通过作平行线，将证明EF AD GH AB =转化证明AP AD BQ AB =；解答（2）时要注意直接利用（1）

中的结论，发现BN

AM

和

EF

GH

都与

BC

AB

相等；解答（3）的关键在于构造矩形ABSR是矩形，

并利用勾股定理列方程组求出AR的长．

（336400，江西省上高县第四中学，黄细把，手机号码：137********）

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