高中数学圆锥曲线方程试卷2(考点详解版)

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高中数学组卷圆锥曲线方程2

一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率为

，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，

过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4

（1）求椭圆C的标准方程

（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤

≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．

2．如图，在平面直角坐标系中，己知椭圆=1和圆x+y=4，过椭圆左顶点A的两条

直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F，若AC⊥AF，直线BE和CF在x轴上的截距分

别为s，t，求证：s+t为定值．3．设椭圆

+y=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于

A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1，、k2．（1）当PQ⊥x轴时，求（2）求证：k1?k2等于定值．

；

第1页（共55页）

4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x+y=a被直线x﹣y﹣

222

截得的弦长为2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知k≠0，动直线y=k（x﹣1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得理由．

5．已知椭圆C：

（a＞b＞0）过点（1，

），它的两个短轴端点与右焦点构成等边

为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明

三角形，点A在椭圆C上运动，点B在直线l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O

为原点）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）若点O到直线AB的距离为定值，求m的值及|AB|的最小值． 6．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为

，过点F

的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线x=﹣2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程． 7．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭

圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围． 8．已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，

0），B（3，2），AC1⊥AC2．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为

=1，直线l：y=x与椭圆E

相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．

第2页（共55页）

10．已知过点（

，

）的椭圆C：

=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角

三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积． 11．（2005?福建）已知方向向量为v=（1，

）的直线l过点（0，﹣2

）和椭圆C：

=1=

（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足

．cot∠MON≠0

（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

12．（2005?黑龙江）P，Q，M，N四点都在椭圆

上，F为椭圆在y轴正半轴上的

焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值

和最大值．

13．（2005?湖北）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．

第3页（共55页）

14．（2004?天津）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若

，求直线PQ的方程．

=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和

15．（2004?贵州）双曲线

（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和曲线的离心率e的取值范围．

．求双

16．（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由． 17．（2002?北京）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

18．（2000?天津）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当范围．

所成的比为λ，

时，求双曲线离心率c的取值

19．（1999?广东）如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=﹣1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

第4页（共55页）

20．如图，已知椭圆C：

=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆

C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：

为定值．

21．（2006?山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

22．（2006?北京）已知椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭

．

圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过圆x+y+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程． 23．（2006?重庆）已知一列椭圆

．n=1，2…．若椭圆Cn上有

一点Pn，使Pn到右准线ln的距离dn是{pnFn}与{PnGn}的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点．（I）试证：（II）取

（n≥1）；

，并用Sn表示△PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＞Sn+1（n≥3）．

第5页（共55页）

24．（2006?四川）已知两定点

，

，满足条件

=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．如果且曲线E上存在点C，使

求m的值和△ABC的面积S．

25．（2006?安徽）如图，F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线

C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

26．（2006?天津）如图，双曲线

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

、F2分别．

为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程；（II）设A（m，0）和

（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的

直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．

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27．（2006?北京）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件动点P的轨迹为W．（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

的最小值．

）的椭圆的标准方

．记

28．（2005?上海）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣程．

（2）已知椭圆C的方程是

=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两

点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．

（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

29．（2005?湖南）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直

线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设（Ⅰ）证明：λ=1﹣e；

（Ⅱ）若λ=，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． 30．（2005?辽宁）已知椭圆0），Q是椭圆外的动点，满足|上，并且满足

=λ．

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q|≠0．

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?=0，|

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||=a+x；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．

第8页（共55页）

高中数学组卷圆锥曲线方程2

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率为

，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，

过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4

（1）求椭圆C的标准方程

（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤

≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．

【分析】（1）由题意可得：，4a=4，a=b+c，解出即可得出．

，

1．﹣x1=λx2．由

（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.于四边形PAQB是平行四边形，可得

=（x1+x2，y1+y2+4）．

设直线AB的方程为：y=kx﹣1，与椭圆方程联立化为：（k+2）x﹣2kx﹣1=0，利用根与系数的关系可得：k=

，可得：k∈

．由于

，再利用导数研究函数的单调性即可得出．

，4a=4

，令k=t∈

，f（t）

【解答】解：（1）由题意可得：，a=b+c，解得a=

222

，b=c=1．

∴椭圆C的标准方程为：（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.﹣x1=λx2．

∵四边形PAQB是平行四边形， =

=1．

=，1．

=（x1+x2，y1+y2+4）．

设直线AB的方程为：y=kx﹣1，

第9页（共55页）

联立，化为：（k+2）x﹣2kx﹣1=0，

∴x1+x2=，x1x2=，﹣x1=λx2．

可得：k=

=．

λ=1时，k=0．

时，k∈

综上可得：k∈

．

∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k（x1+x2）﹣2， ∴=

=令k=t∈

=，f（t）=

，

f′（t）==＜0，

∴函数f（t）在t∈∴

∈

上单调递减，∴f（t）∈．

．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性

质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

第10页（共55页）

2．如图，在平面直角坐标系中，己知椭圆=1和圆x+y=4，过椭圆左顶点A的两条

直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F，若AC⊥AF，直线BE和CF在x轴上的截距分

别为s，t，求证：s+t为定值．

【分析】设直线AB的方程为：y=k（x+2），由于AB⊥AE，可得直线AE的方程为：y=﹣（x+2）．分别与椭圆方程联立可得点B，E的坐标，可得直线BE的方程，即可解得．由于AC⊥AF，可得CF必然经过原点，可得t=0．【解答】证明：设直线AB的方程为：y=k（x+2），∵AB⊥AE，∴直线AE的方程为：y=﹣（x+2）．

联立

，解得xB=，yB=

．

同理可得：xE=，yE=

．

∴直线BE的方程为：y+=，

令y=0，解得s=﹣．

∵AC⊥AF，∴CF必然经过原点，∴t=0． ∴s+t=﹣为定值．

【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 3．设椭圆

+y=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于

A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1，、k2．（1）当PQ⊥x轴时，求

；

第11页（共55页）

（2）求证：k1?k2等于定值．

【分析】（1）解：当PQ⊥x轴时，﹣2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：

+y=1，解

得y．再利用数量积运算性质即可得出．（2）设直线PQ的方程为：ty=x﹣m，（﹣2≤m＜2）．P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程

222

联立可得：（t+4）y+2tmy+m﹣4=0，利用斜率计算公式及其根与系数的关系代入k1?k2=

，即可证明．

【解答】（1）解：当PQ⊥x轴时，﹣2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：+y=1，解

得y=±．

不妨设P，Q．A（2，0）．

则=?=（m﹣2）﹣

=．

（2）证明：设直线PQ的方程为：ty=x﹣m，（﹣2≤m＜2）．P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立

，化为：（t+4）y+2tmy+m﹣4=0，

y1+y2=﹣，y1y2=

．

第12页（共55页）

k1?k2=

=．

由于上式与斜率无关系，因此是定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

4．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x+y=a被直线x﹣y﹣

截得的弦长为2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知k≠0，动直线y=k（x﹣1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得理由．

【分析】（1）椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），代入解得b=1．由于圆x+y=a

为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明

被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2，可得2=2，解得a．即可得出．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，利用根与系数的关系代入+y1y2=m+

=（x1﹣m）（x2﹣m）

，令1﹣4m=﹣4，即可得出．

【解答】解：（1）∵椭圆C：

+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），∴=1，解得b=1．

∵圆x+y=a被直线x﹣y﹣∴椭圆C的标准方程为

=0截得的弦长为2，∴2=1．

=2，解得a=2．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．联立

，化为：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，

∴x1+x2=

，x1x2=

．

第13页（共55页）

∴

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=（k+1）x1x2﹣（m+k）（x1+x2）+m+k =

﹣

+m+k=m+

222

，

令1﹣4m=﹣4，即m=时，点M

．

=m﹣2=﹣为定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与

系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

5．已知椭圆C：

（a＞b＞0）过点（1，

），它的两个短轴端点与右焦点构成等边

三角形，点A在椭圆C上运动，点B在直线l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O

为原点）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）若点O到直线AB的距离为定值，求m的值及|AB|的最小值．【分析】（I）由题意可得：

=1，c=

b，与a=b+c联立，解出即可得出；

（II）取A（2，0），则B（0，m），m＞0，此时原点到直线AB的距离d=．取A（，

），同理可得：此时原点到直线AB的距离d=．利用=，m＞0，

解得m=．可得直线l的方程．设B（t，），A（2cosθ，sinθ）．θ=0时，可得|AB|=

x，可得：B

．θ≠0，

时，设直线AO的方程为：y=xtanθ，则OB的方程为：y=﹣（

，

）．利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用三角函数求值、基本不

等式的性质即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：c=

．

=1，c=

b，与a=b+c联立，解得a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为：

（II）取A（2，0），则B（0，m），m＞0，此时原点到直线AB的距离d=

第14页（共55页）

取A（，），直线OB的方程为：y=﹣2x，则B（，m），此时原点到直线

AB的距离d==．

∴d==，m＞0，解得m=．

∴直线l的方程为：y=设B（t，θ=0时，|AB|=θ≠0，（∴|AB|=

．

），A（2cosθ，sinθ），

．

x，可得：B

时，设直线AO的方程为：y=xtanθ，则OB的方程为：y=﹣

，

）．

，

令cosθ=t∈（0，1），则|AB|=≥=2，当且仅当t=时取等号．

∴|AB|的最小值为2．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点到直线的距离公式、三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

6．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为

，过点F

的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线x=﹣2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程．【分析】（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：

，解得y，可得|MN|=

，

利用△AMN的面积联立解出即可得出．

=，化为：2b（a+c）=（2+a），与，a=b+c

第15页（共55页）

（2）设P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0），F（﹣1，0）．直线MN的斜率为0时，不满足题意．设直线MN的方程为：my=x+1，m=0时，MN⊥x轴，

可得△PMN不是等边三角形，舍去．m≠0时．与椭圆方程联立化为：（m+2）y﹣2my﹣1=0．利

用根与系数的关系及其中点坐标公式，及其PQ⊥MN，可得：t（m+2）=3m+2m．再利用|PQ|=

|MN|化简即可得出．

【解答】解：（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：，解得y=，

∴|MN|==（2+

，∴△AMN的面积a），与

．

×（a+c），化为：2b（a+c）

，a=b+c联立解得：c=b=1，

=1．

∴椭圆的标准方程为：

（2）设P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0），F（﹣1，0）．直线MN的斜率为0时，不满足题意．设直线MN的方程为：my=x+1， m=0时，MN⊥x轴， |MN|=m≠0时．

=，点F到直线x=﹣2的距离d=1，△PMN不是等边三角形，舍去．

联立，化为：（m+2）y﹣2my﹣1=0．

∴y1+y2=，y1y2=

．

∴y0=

，x0=my0﹣1=

．

∵PQ⊥MN，∴×=﹣1，化为：t（m+2）=3m+2m．

|PQ|==．

|MN|==．

第16页（共55页）

又|PQ|=|MN|，∴

=×

，

化为：（tm+1）（2+m）=

（1+m）

．

与t（m+2）=3m+2m联立可得：m=，解得m=

∴直线MN的方程为：±y+=0．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次的根与系数的关系、斜率计算公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

7．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭

圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围．【分析】（I）把x=﹣c代入椭圆的方程可得：解得y=最小值

=3．根据△ABF2的周长为8，可得4a=8．又

．当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得

，联立解出即可得出．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1）．直线AB的方程为my=x+1，与椭圆方

程联立化为：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=

，直线A′B的方程为：y+y1=

=（x

﹣x1），令y=0，可得：xM=

=﹣4．M（﹣4，0）．利用点到直线的距离公式可

得：点M到直线AB的距离d，利用S△ABM=与最值、不等式的性质即可得出．

【解答】解：（I）把x=﹣c代入椭圆的方程可得：y=

及其利用导数研究函数的单调性极值

，解得y=．

当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得最小值∵△ABF2的周长为8，∴4a=8．又

，联立解得a=2，b=

=3．

，c=1．

∴椭圆的方程为：=1．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1）．

第17页（共55页）

直线AB的方程为my=x+1，

联立，化为：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，

∴y1+y2=，y1y2=

．

|AB|==

直线A′B的方程为：y+y1==（x﹣x1），

令y=0，可得：xM=∴M（﹣4，0）．点M到直线AB的距离d=

==﹣1=﹣4．

=．

∴S△ABM=

=×=18×=．（m＞

0）．令

＞1，g（t）=3t+，g′（t）=3﹣

＞0，因此函数g（t）在（1，+∞）

上单调递增，∴g（t）＞4． ∴S△ABM∈

．

∴△ABM面积的取值范围是

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、

点到直线的距离公式、不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

8．已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，

0），B（3，2），AC1⊥AC2．（1）求椭圆E的方程及离心率；

第18页（共55页）

（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．【分析】（1）由AC1⊥AC2，可得

=1﹣b=0，又2c=2

，a=b+c，即可得出．

222

（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M，N时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明．

②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．与

椭圆方程联立化为：（t+3）y+2ty﹣2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明．

【解答】解：（1）∵AC1⊥AC2，C1（0，b），C2（0，﹣b），A（1，0）， ∴∵2c=2

=1﹣b=0，∴b=1．，解得c=

，∴a=b+c=3． =1．．

∴椭圆E的方程为离心率e==

（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明： ①当取M

，N

时，kMB=

=，kBP=

，kNB=

，

∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2×，化为：m=n+1．

②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．联立

，化为：（t+3）y+2ty﹣2=0，

∴y1+y2=，y1y2=

．

kMB=，kBP=，kNB=

，

∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列， ∴2×

，

第19页（共55页）

由于

=2，

∴=1，化为：m=n+1．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为

=1，直线l：y=x与椭圆E

相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．

【分析】联立，解得A（2，1），B（﹣2，﹣1）．①当CA，CB，DA，DB斜

率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；可得：k1?kCB=﹣，kCB=﹣的方程为y+1=﹣

；同理kDB=﹣

，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC

（x+2）；联立解得：点N的坐标为

；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标．可

得kMN=

=﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，

第20页（共55页）

有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣

；即可得出．

【解答】证明：联立，解得，或，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；

①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），

显然k1≠k2；

从而k1?kCB=∴kCB=﹣同理kDB=﹣

；，

?===﹣，

于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣

（x+2）；

由，解得，从而点N的坐标为

；

用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为

．

∴kMN=

==﹣1；

即直线MN的斜率为定值﹣1；

②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，

故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣此时CA：x=2，DB：y+1=﹣

；

）；

（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣

第21页（共55页）

BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣

，﹣1），

从而kMN=﹣1也成立．

综上可得：kMN=﹣1为定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

10．已知过点（

，

）的椭圆C：

=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角

三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积．【分析】（1）根据条件建立方程关系，求出a，b的值即可求椭圆C的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据求出D、E的坐标，根据

求出G的坐标，代入椭圆

即可求出直线斜率和方程，利用点到直线的距离以及弦长公式即可求四边形ODGE的面积．【解答】解：（1）∵∴b=c，即a=即

b，

+=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角三角形，

=1，即b=+y，

∵点（，）在椭圆C：+=1上，

∴b=

+y=

+（）=

，

则a=2b=2，即椭圆C的方程为

+y=1；

（2）∵b=c=1，∴椭圆C右焦点F（1，0），

的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得设x=ky+1，D（x1，y1），E（x2，y2）代入椭圆方程

=（O为坐标原点），

+y=1得

+y=1

即（k+2）y+2ky﹣1=0，

第22页（共55页）

则y1=，y2=

，

则x1=ky1+1=

，

x2=ky2+1=

，

则x1+x2=设G（x，y），则由

得

，y1+y2=

，

=（x1+x2，y1+y2）=（

，），

G在椭圆上，代入椭圆得则（）+（

）=1，

即

在直线方程为x=原点到直线x﹣

，即y+1，

=1，即k+2=4，即k=2，得k=

（舍掉﹣）．

y﹣1=0的距离d==，

而DE=，则四边形ODGE的面积S=2××=．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质，根据条件，利用待定系数法求出直线方程是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．

第23页（共55页）

11．（2005?福建）已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1

（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足

．cot∠MON≠0

（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

【分析】（I）解法一：直线l：y=

x﹣2

，过原点垂直l的直线方程为y=﹣

x，这两

个方程联立可知x=．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知

=3．由此可以求出椭圆C的方程．

解法二：直线l：y=x﹣3．设原点关于直线l对称点为（p，q），则

解得p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知=3．由此

能够推出椭圆C的方程．（II）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入

=1，整理得（3k+1）x+12kx+12k﹣6=0，再由根与系数的关系和点到直线的

距离求解．【解答】解：（I）解法一：直线l：y=过原点垂直l的直线方程为y=﹣解①②得x=．

x﹣2，①

x，②

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴

=2×=3．

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a=6，b=2．故椭圆C的方程为+

=1③

第24页（共55页）

解法二：直线l：y=x﹣3．

设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴

=3．

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a=6，b=2．故椭圆C的方程为+

（II）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．

当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，

2222

整理得（3k+1）x+12kx+12k﹣6=0， ∴x1+x2=﹣

，x1?x2=

，

=1③

|MN|===

，

点O到直线MN的距离d=．

∵∴|即4

?|?||k|

=cot∠MON，即||sin∠MON=4

|?||cos∠MON=

．∴|MN|?d=

，

≠0，

，∴S△OMN=

（3k+1），．

． x﹣

，或x=﹣2．

整理得k=，∴k=±

当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN=故直线m的方程为y=经检验上述直线均满足所以所求直线方程为y=

x+?x+

，或y=﹣≠0．

，或y=﹣

x﹣，或x=﹣2．

第25页（共55页）

【点评】本题综合考查直线的椭圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要注意培养运算能力．

12．（2005?黑龙江）P，Q，M，N四点都在椭圆

上，F为椭圆在y轴正半轴上的

焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值

和最大值．

【分析】由题设条件可知MN⊥PQ．设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，MN的方程为y=1，PQ的方程为x=0，由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为，|MN|?|PQ|=×

×2

=2．当

MN，PQ都不与坐标轴垂直时，根据题设条件能够推导出，

|PQ|=，所以S四边形

PMQN=

|MN|?|PQ|=，由此入

手结合题设条件能够导出（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=【解答】解：∵

．即MN⊥PQ．

．

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴， ∵F（0，1）

∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0

第26页（共55页）

分别代入椭圆中得：|MN|=

×2

，|PQ|=2．

S四边形PMQN=|MN|?|PQ|=×

当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1（k≠0），代入椭圆∴x1+x2=∴

中得：（k+2）x+2kx﹣1=0，，x1?x2=

同理可得：|PQ|=S四边形

PMQN=

，

|MN|?|PQ|==

（当且仅当

即k=±1时，取等号）．

又S四边形PMQN=，∴此时S四边形PMQN＜2．

综上可知：（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=

．

第27页（共55页）

【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细解答，避免错误．

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．【分析】（Ⅰ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，代入3x+y=λ，整理得：（k+3）22

x﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）﹣λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程．

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有

?3 （x1﹣x2）（x1+x2）+（y1

﹣y2）=0．∴kAB=﹣．∵N（1，3）是AB的中点∴kAB=﹣1．由此能够求出

直线AB的方程．

（Ⅱ）解法一：由题意知直线CD的方程为x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．由弦长公式可得|CD|=

?|x3﹣x4|=

．将直线AB的方程x+y

﹣4=0代入椭圆方程得4x﹣8x+16﹣λ=0．同理可得|AB|=x2|=

?|x1﹣

．由此可以推出存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．

解法二：由题高设条件可知λ＞12，直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得22

4x+4x+4﹣λ=0．将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x﹣8x+16﹣λ=0，由此通过计算知

=0，∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、

C、D四点共圆．【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，

22222

代入3x+y=λ，整理得：（k+3）x﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）﹣λ=0① 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个不同的根，

∴△=4[λ（k+3）﹣3（k﹣3）]＞0，② 且x1+x2=

．由N（1，3）是线段AB的中点，得x1+x2=2，

∴k（k﹣3）=k+3解得k=﹣1，代入②得λ＞12，即λ的取值范围是（12，+∞）．

于是直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有﹣y2）=0．

第28页（共55页）

?3 （x1﹣x2）（x1+x2）+（y1

依题意，x1≠x2，∴kAB=﹣

．

∵N（1，3）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6，从而kAB=﹣1．

又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×1+3=12， ∴λ的取值范围是（12，+∞）．直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．③ 又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根， ∴x3+x4=﹣1，且x0=于是由弦长公式可得|CD|=

=﹣，y0=x0+2=，即M（

?|x3﹣x4|=

，）

．④

将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程得4x﹣8x+16﹣λ=0．⑤ 同理可得|AB|=∵当λ＞12时，

?|x1﹣x2|=

＞

．⑥ ，

∴|AB|＜|CD|．

假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为d=

==+

．⑦

．

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|=|MB|=d+故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|

|为半径的圆上．

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆?ACD为直角三角形，A为直角?|AN|=|CN|?|DN|，即

=（|

|+d）（|

|﹣d）．⑧ ，

）（

﹣

）=

﹣

由⑥式知，⑧式左边=由④⑦知，⑧式右边=（=

．

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）

解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12， ∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．③

第29页（共55页）

将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x﹣8x+16﹣λ=0．⑤ 解③和⑤式可得x1，2=不妨设A（1+C（∴

=（=（计算可得

=0，，

，，，3﹣

），D（，x3，4=

），

，），），

）．

，

∴A在以CD为直径的圆上．

又B为A关于CD的对称点， ∴A、B、C、D四点共圆．

【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．

，求直线PQ的方程．

，由已知解得

，c=2，所以椭圆

【分析】（1）设椭圆的方程为

的方程为，离心率．

（2）由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组

得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0．依题意△=12（2﹣3k）＞0，得（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程为或．【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为

22222

．设P

由已知得解得，c=2

第30页（共55页）

所以椭圆的方程为，离心率

（2）解：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组

得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0 依题意△=12（2﹣3k）＞0，得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则

①

②

由直线PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）

于是y1y2=k（x1﹣3）（x2﹣3）=k[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③ ∵

∴x1x2+y1y2=0④

由①②③④得5k=1，从而

所以直线PQ的方程为或

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

15．（2004?贵州）双曲线

=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和

（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和曲线的离心率e的取值范围．

【分析】直线l的方程是bx+ay﹣ab=0．点（1，0）到直线l的距离

．求双

，点（﹣

1，0）到直线l的距离

，．由知

．所以4e﹣25e+25≤0．由此可知e的取值范围．

【解答】解：直线l的方程为

，即bx+ay﹣ab=0．

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，

第31页（共55页）

同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．

由于是得由于e＞1＞0，所以e的取值范围是

，即

．

，即4e﹣25e+25≤0．解不等式，得

．

【点评】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．

16．（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当为圆不符合题意；当

时和当

时，P的轨迹为椭圆符合两定点．

时，方程

【解答】解：∵=（0，a），=（1，0）， ∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．

因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．

消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2ax．

整理得．①

因为a＞0，所以得：（i）当（ii）当

时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

时，方程①表示椭圆，焦点

为合乎题意的两个定点；

和

第32页（共55页）

（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点

为合乎题意的两个定点．

和

【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力． 17．（2002?北京）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由A、O、B三点的坐标，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标；分

与

两种情况讨论，易得证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中（c≠0，b≠），得

，进而化简可得；结合

椭圆的方程，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得重心

，

外心，

垂心当当

．

时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；

时，设G，H所在直线的斜率为kGH，F，G所在直线的斜率为kFG．

第33页（共55页）

因为，

，

所以kGH=kFG，G，F，H，三点共线．综上可得，G，F，H三点共线．（Ⅱ）解：若FH∥OB，由

，

得

配方得，即．

即．

所以，顶点C的轨迹是中心在上的椭圆，

但除去（0，0），（1，0），

，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴

，四点．

【点评】本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力；解题时，首先注意轨迹的求法及轨迹与轨迹方程的区别，其次要结合重心、垂心、外心的性质来解题．

18．（2000?天津）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当范围．

所成的比为λ，

时，求双曲线离心率c的取值

第34页（共55页）

【分析】首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记

，其中

为双曲线的半焦距，h是

梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x0和y0的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．

【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，依题意，记其中

为双曲线的半焦距，h是梯形的高，

，

由定比分点坐标公式得

．

，

设双曲线的方程为，则离心率，

由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①

．②

由①式得，③

将③式代入②式，整理得故由题设解得

得，，

，

所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．

第35页（共55页）

【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力． 19．（1999?广东）如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=﹣1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

【分析】欲求点C的轨迹方程，设点C（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知点C到OA、OB距离相等得到一个关系式，化简即得点C的轨迹方程，最后对参数a进行讨论来判断轨迹是什么图形即可．【解答】解：依题意，记B（﹣1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=﹣bx．

设点C（x，y），

则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得

．①

依题设，点C在直线AB上，故有由x﹣a≠0，得

．②

．

将②式代入①式得

，

整理得y[（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y]=0．

若y≠0，则（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y=0（0＜x＜a）；若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．

综上得点C的轨迹方程为（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y=0（0≤x＜a）

第36页（共55页）

因为a≠0，所以．

由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段；

【点评】本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．

20．如图，已知椭圆C：

=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆

C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：

为定值．

【分析】（I）设A（x1，y1），B（0，﹣b），线段AB的中点E（x0，x0），x0≠0．直线方程

2222222

与椭圆方程联立化为：（a+9b）x+12ax+36a﹣9ab=0，

利用根与系数的关系、中点坐标公式，及其x0+3x0+6=0，联立解出即可得出．

（II）由（I）可得：A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）．设P（m，n），代入椭圆方程化为m=12﹣3n．直线AP，BP的方程分别为：y=

（x+3）﹣1，y=x﹣2，分别与直线方程y=x

联立解得M，N．利用数量积运算性质即可得出．【解答】（I）解：设A（x1，y1），B（0，﹣b），线段AB的中点E（x0，x0），x0≠0．联立

，化为：（a+9b）x+12ax+36a﹣9ab=0，

第37页（共55页）

∴x1+0=

=2x0，=0，x0+3x0+6=0，

解得b=4，a=12， ∴椭圆C的方程为：

=1．

（II）证明：由（I）可得：A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）．设P（m，n），可得

=1，化为m=12﹣3n．

（x+3）﹣1，y=

x﹣2，，N

．

则直线AP，BP的方程分别为：y=分别与直线方程y=x联立解得M

∴?====

=3为定值．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、数量积运算性质，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题． 21．（2006?山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆标准方程，根据题意可知b=c，根据准线方程求得c和a的关系，进而求得a，b和c，则椭圆方程可得．

（Ⅱ）设出直线l的方程和A，B的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x1+x2，x1x2的表达式，表示出|AB|，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于S的不等式，求得S的最大值，进而求得k，则直线方程可得．【解答】解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得?，

∴所求椭圆方程为8x+16y=1．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

第38页（共55页）

由，消去y得关于x的方程：（1+2k）x+8kx+6=0，

由直线l与椭圆相交于A、B两点， 22

∴△＞0?64k﹣24（1+2k）＞0 解得

又由韦达定理得

∴=

原点O到直线l的距离

∵．

对两边平方整理得：4Sk+4（S﹣4）k+S+24=0（*）