东南大学信号与系统试题及答案

东 南 大 学 考 试 卷（A、B卷）

一、简单计算题（每题8分）：

1、 已知某连续信号f(t)的傅里叶变换为

F(j?)?12??2?j3?，按照取

样间隔T?1对其进行取样得到离散时间序列f(k)，序列f(k)的Z变换。

?????f(k)?1?cos2?k???(k)?f1(k)?1,2,1?2??k?0?2求序列和的卷积和。

??

3已知某双边序列的Z变换为

f(k)。

F(z)?110z2?9z?2，求该序列的时域表达式

2、 已知某连续系统的特征多项式为：

D(s)?s7?3s6?6s5?10s4?11s3?9s2?6s?2

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

s3?6s2?4s?2H(s)?3s?2s2?s?1。试给3、 已知某连续时间系统的系统函数为：

出该系统的状态方程。

4、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

e(k)?z?1-0.32?z?1-0.2r(k)

二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号f(t)的频谱为

F(j?)?n??????ejn??。

e(t)

e ( t ) h(t) 1 h ( t ) y ( t ) 2f ( t )

图 ( a )

4图(b)4t0 1 图(c)

t

试：1） 分别画出f(t)的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为e(t)??(t)，在t=0和t=1

?0.5y(0)?1y(1)?e时测得系统的输出为，。分别求系统的零输入响应、零状

态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2HR1=2?e(t)R2=1?+y(t)_C=1F

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

2y(k?2)?3y(k?1)?y(k)?e(k?1) 其初始状态为yzi(?1)??2,yzi(?2)??6，激励e(k)??(k)；

求：1） 零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k)；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。

??k?h(k)?cos???(k)2??五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。

1） 求其系统函数H(z)； 2） 粗略绘出该系统的幅频特性； 3） 画出该系统的框图。

六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理。

答案

122???j3?，按照取样间隔f(t)1、 已知某连续信号的傅里叶变换为

T?1对其进行取样得到离散时间序列f(k)，序列f(k)的Z变换。

F(j?)?F(s)?解法一：f(t)的拉普拉斯变换为

n1111???2?s2?3s(s?1)(s?2)s?1s?2，

解法二：f(t)=L{F(jw)}=(e? e )?(t)

nKizzz?F(s)z?F(z)??Res?????sTz?e?1z?e?2sT?z?e??s?sii?1z?eii?1

?1?t ?2t

f(k)= (e?k? e?2k )?(k)=((e)?(e))?(k)

?1k?2kzz??1z?e?2 F(z)=Z[f(k)]= z?e?????f(k)?1?cos2?k???(k)?f1(k)?1,2,1?2??k?0?2、 求序列和的卷积和。

??解：f1(k)={1,2,1}=?(k)+2?(k?1)+ ?(k?2)

f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k?1)+ f2(k?2) 3、已知某双边序列的Z变换为

F(z)?110z2?9z?2，求该序列的时域表达式f(k)。

解：

当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=(( ?0.4)k?1?( ?0.5)k?1)?(k?1)

当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)= ( ?0.4)k?1?(k?1)+( ?0.5)k?1?( ?k) 当收敛域为|z|<0.4时，f(k)= ? ( ?0.4)k?1?(?k)+( ?0.5)k?1?( ?k)

点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。 4、已知某连续系统的特征多项式为：

F(z)?11?z?0.4z?0.5，两个单阶极点为?0.4、?0.5

D(s)?s7?3s6?6s5?10s4?11s3?9s2?6s?2

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

解 构作罗斯-霍维茨阵列

s71611s63109816s5833s4132s3(00)46

3s2222s130s2

6

2

0

42此时出现全零行，有辅助多项式s?3s?2 求导可得4s?6s,以4,6代替全零行系数。

3 由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s右半平面无极点。再由

42 s?3s?2?0

2令s?x则有

2x ?3x?2?0

可解得 x??1,?2

相应地有

s1,2??1??j

s3,4??2??j2 这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j2，系统为临界稳定。 所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。 点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。

s3?6s2?4s?2H(s)?3s?2s2?s?1。试给出该系统5、已知某连续时间系统的系统函数为：

的状态方程。

解：系统的微分方程为

y???(t)?2y??(t)?y?(t)?y(t)?e???(t)?6e??(t)?4e?(t)?2e(t)

取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为q?x1、q'?x2、q''?x3、

q'''?x3'，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程

状态方程：

?x1'?x2??x2'?x3?x'??x?x?2x?e(t)123?3

312输出方程：

或者写成矩阵形式，上式即为

y?x??2x?4x?6x3?x1?3x2?4x3?e(t)

01??x1??0??x1'??0?x'??Ax?Be??0??x???0?e10?2????2??????x3'????1?1?2????x3????1??

?x1???e(t)y?Cx?De??134??x2????x3??

6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

解：

``

e(k)?z?1-0.32?z?1-0.2r(k)H(z)?(1?21z?2.3)?2z?0.3z?0.2z?0.5z?0.06

二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号f(t)的频谱为

F(j?)? e(t)n????e??jn??h(t)。

y(t)e(t)21 h(t)

f(t)图(a)4 4图(b)t0图(c)1t试：1） 分别画出f(t)的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

解：1）根据傅立叶变换的性质得：

f(t)f(t)?

n?????(t?2n)??(1)

-4-224tF(jw)F(j?)??

n?????(???n)? ???2?w2）y(t)=[e(t)?f(t)]?h(t)=[?(t+2)+2?(t)+ ?(t?2)] ?h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t?2)

y(t)2-2-1123t 3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。 点评：此题做对的非常少，大多数写不出f(t)的表达方式。

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为e(t)??(t)，在t=0和t=1时

?0.5测得系统的输出为y(0)?1，y(1)?e。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2HR1=2?e(t)R2=1?+y(t)_C=1F解：1）电路满足KVL：得

y??(t)?1.5y?(t)?0.5y(t)?0.5e?(t)

0.5sH(s)?2s?1.5s?0.5，特征根为?1=?0.5，?2=?1 2）系统函数为：

0.5s111??2Yzs(s)=H(s)E(s)= s?1.5s?0.5s=s?0.5s?1

零状态响应：yzs(t)=(e?0.5t ?e?t)?(t) yzs(0)=0，yzs(1)=(e?0.5 ?e?1)；

yzi(0)= y(0) ?yzs(0)=1，yzi(1)= y(1) ?yzs(1)= ?e?1 ； yzi(t)=(C1e?0.5t +C2e?t)?(t),得C1=0，C2=1 零输入响应：yzi(t)= e?t?(t)； 全响应：y (t)= e?0.5t ?(t)

点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分分数。

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

2y(k?2)?3y(k?1)?y(k)?e(k?1)

其初始状态为yzi(?1)??2,yzi(?2)??6，激励e(k)??(k)； 求：1） 零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k)；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。

zH(z)?22z?3z?1，特征根为?1=0.5，?2=1 解：

1） yzi(k)=(C10.5k+C2)?(k)； 代入初始条件得C1=?2，C2=2 零输入响应：yzi(k)= (2?20.5k)?(k)

zzzzz11?????22Yzs(z)=H(z)E(z)= 2z?3z?1z?1z?0.5z?1(z?1)=s?0.5s?1

零状态响应：yzs(k)= (0.5k +k?1)?(k) yzs(0)=0，yzs(1)=(e?0.5 ?e?1)； 全响应：y (k)= (1+k?0.5k)?(k) 2）自由响应：(1 ?0.5k)?(k)

受迫响应：k?(k)，严格地说是混合响应。

3）系统的特征根为?1=0.5（单位圆内），?2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。

??k?h(k)?cos???(k)2??五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。

4） 求其系统函数H(z)； 5） 粗略绘出该系统的幅频特性； 6） 画出该系统的框图。

解：1）系统函数为：

?k?jk?j???22k?1??j????e?e?1?j2k??2Z?cos(k)?(k)??Z??(k)??Z?e?(k)??Z?e?(k)?2222????????????1?zzz2?????2???j?j2?z?1?z?e2z?e2??

H(z)?z2z2?1

(ej?)21j?|H(e)|?|j?2|?(e)?1|2cos?| 2）系统的幅频特性为：

3）系统的框图

E(z)|H(ejw)|0.5?2?3?22?w?-1z?1z?1Y(z)?

六、（10分）请叙述并证明Z变换的卷积定理。 解：

卷积定理

设Z?f1(k)??F1(z),Z?f2(k)??F2(z)，则

Z?f1(k)*f2(k)??F1(z)F2(z) 或用符号表示为：若f1(k)?F1(z)，f2(k)?F2(z)，则

f1(k)*f2(k)?F1(z)F2(z)

两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下

????????Z?f1(k)*f2(k)??Z?f1(j)f2(k?j)??z?k???j????k???

?1?j????f(j)f(k?j)12??

交换上式右方的取和次序，上式成为

Z?f1(k)*f2(k)??j???k???

对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性，则得

?f(j)?z?f(j)z1???j?????kf2(k?j)Z?f1(k)*f2(k)??F2(z)?F1(z)F2(z)

j???

点评：很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出。

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