2015年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（理科）

2015年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1．已知i是虚数单位，则

A． 1 B． i C． ﹣i D． ﹣1

2．sin3的取值所在的范围是（ ） A． （

3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ），（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（ ） A． 0.05 B． 0.1 C． 0.15 D． 0.2

4．数列{an}的前n项和Sn=2n﹣3n（n∈N），若p﹣q=5，则ap﹣aq=（ ） A． 10 B． 15 C． ﹣5 D． 20

5．在△ABC中，“

?

=

?

”是“|

|=|

|”（ ）

2

+

2

=（ ）

，1） B． （0，） C． （﹣，0） D． （﹣1，﹣）

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

6．根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 8

y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 得到回归方程为=bx+a，则（ ）

A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞0 C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞0

7．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（ ）

A． 94 B． 32 C． 64 D． 16

8．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）= A． （﹣∞，

x﹣x﹣x在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（ ）

，5] C． （﹣∞，﹣2） D． [2，+∞）

4

3

2

） B． [

10．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，函数f（x）的零点个数是（ ） A． 7 B． 5 C． 3 D． 1

11．已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）与函数y=

的图象交于点P，若函数y=

的

图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（ ） A．

B．

C．

D．

12．对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=取值范围是（ ）

A． [0，+∞） B． [0，1] C． [1，2] D．

是“可构造三角形函数”，则实数t的

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知向量，的夹角是

14．已知sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα=，β是第三象限角，则tan（β+

15．在△ABC中，AB=BC，离心率e= ．

16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2015?江西模拟）已知f（x）=2sin

x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M

*

，若||=1，||=2，则|2﹣|= ．

）= ．

．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的

，

中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=

18．（12分）（2015?郑州二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°． （Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；

（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．

，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜．

19．（12分）（2015?大连二模）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：

甲厂：

分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06） [30.06，30.10） [30.10，30.14） 频数 15 30 125 198 77 35 20 乙厂：

分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06） [30.06，30.10） [30.10，30.14） 频数 40 70 79 162 59 55 35

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”． 甲 厂 乙 厂 合计 优质品 非优质品 合计 附：x=

22

P（x≥x） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．

20．（12分）（2015?甘肃校级模拟）如图，已知抛物线C：y=2px和⊙M：（x﹣4）+y=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为

．

2

2

2

（1）求抛物线C的方程；

（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

21．（12分）（2015?长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e． （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：

＜a＜

；

x

（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲共1小题，满分10分） 22．（10分）（2015?丹东二模）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，E为线段BC上一点，连接AC，连接AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG交CB于点F． （Ⅰ）求证：C，D，E，G四点共圆．；

（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，GA=3GE，求证：CE=EB．

选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分） 23．（2015?丹东二模）长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2

，点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程； （Ⅱ）求点P到点D（0，﹣1）距离d的取值范围．

选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分） 24．（2015?丹东二模）已知a＞0，b＞0． （I）若a+b=2，求

22

2

2

的最小值；

（Ⅱ）求证：ab+a+b≥ab（a+b+1）．

2015年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1．已知i是虚数单位，则

A． 1 B． i C． ﹣i D． ﹣1

考点： 复数代数形式的乘除运算．

=（ ）

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