2017年南昌大学线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库

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2017年南昌大学线性代数（同等学力加试）考研复试核心题库（一） (2)

2017年南昌大学线性代数（同等学力加试）考研复试核心题库（二） (10)

2017年南昌大学线性代数（同等学力加试）考研复试核心题库（三） (16)

2017年南昌大学线性代数（同等学力加试）考研复试核心题库（四） (23)

2017年南昌大学线性代数（同等学力加试）考研复试核心题库（五） (29)

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第 2 页，共 36 页 2017年南昌大学线性代数（同等学力加试）考研复试核心题库（一）

说明：本资料为学员内部使用，整理汇编了2017考研复试重点题及历年复试常考题型。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 已知线性变换

求从变量到变量的线性变换. 【答案】记，，则线性变换的矩阵形式为x=Ay ，其中A 为它的系数矩阵.因

故A 是可逆阵，于是从变量到变量的线性变换的矩阵形式为

又， 于是

即

2． 设n 阶矩阵A ，B

满足

证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 【答案】显然

另一方面，则A 不可逆，0是A 的特征值； 同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0. A 与B 的对应

的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解.于是 A 与B 有对应于的公共特征向量

另一方面.由矩阵秩的性质

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综上，A 与B 有公共的特征向量.

3． 设A 为n 阶矩阵，

证明与A 的特征值相同.

【答案】A 的特征值是特征多项式

的根，同样的特征值是特征多项式的根，但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：

从而A 与的特征值也相同.

4． 设n 阶矩阵A 与S 阶矩阵B 都可逆，求

【答案】（1）因A 和B 均可逆，作分块阵由分块矩阵乘法规则，

于是

可逆，且 ⑵求的逆阵，就是求n+s 阶方阵x ，使

为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块，

其中

是未知矩阵（为明确起见，它们依次是矩阵）

.把上式代入（1）式得到

比较上式两端两个矩阵，有

于是得

第 4 页，共 36 页 5． 已知向量组A

:

B ：证明A 组与B 组等价， 【答案】记矩阵

因A 组与B 组等价 故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩

.

即知R （B ）=R （B ，A ）=2,且，又

与不成比例，故R （A ）=2.

因此，向量组A 与B 等价.

6． 证明:

（1） （2） （3） （4） （5）

【答案】

（2）将左式按第1列拆开得

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