离心率的五种求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率0?e?1，双曲线的离心率e?1，抛物线的离心率e?1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e?c来解决。 ax2例1：已知双曲线2?y2?1（a?0）的一条准线与抛物线y2??6x的准线重合，则该双曲线的离心

a率为（ ）

33623 B. C. D.

22233a2c2?132解：抛物线y??6x的准线是x?，即双曲线的右准线x???，则2c2?3c?2?0，

2cc2A.

解得c?2，a?3，e?c23，故选D ?a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1?1,0?、F2?3,0?，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324解：由F1?1,0?、F2?3,0?知 2c?3?1，∴c?1，又∵椭圆过原点，∴a?c?1，a?c?3，∴a?2，

c1c?1，所以离心率e??.故选C.

a2A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

336 B. C. D 2

222c3?，因此选C a2解：由题设a?2，2c?6，则c?3，e?x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2?2?1（a?b?0）的左准线上，过点P且方向为a??2,?5?的

ab光线，经直线y??2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

1132 B C D 32325?x?3?，关于y??2的反射光线（对称关系）为5x?2y?5?0，2解：由题意知，入射光线为y?1???a2c3??3则?c解得a?3，c?1，则e??，故选A

a3??5c?5?0?二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

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x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

3?1 D. 3?1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为?，由焦半径公式

2PF1??exp?a，

A. 4?23 B.

3?1 C.

2c?c?c???c?即c???????a，得???2???2?0，解得 a?2??a??a?ce??1?3（1?3舍去），故选D

ax2y2变式练习1：设双曲线2?2?1（0?a?b）的半焦距为c，直线L过?a,0?，?0,b?两点.已知原点到

ab直线的距离为

3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2 B. 3 C. 2 D.

23 3解：由已知，直线L的方程为bx?ay?ab?0，由点到直线的距离公式，得

aba2?b242?3c， 422224又c?a?b, ∴4ab?3c,两边平方，得16ac?a?3c，整理得3e?16e?16?0，

222??4c2a2?b2b222?1??2e?4，∴e?2，故选A 得e?4或e?，又0?a?b ，∴e?2?，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，?F1MF2?1200，则双曲线的离心率为（ ）

A

3 B

663 C D 233解：如图所示，不妨设M?0,b?，F1??c,0?，F2?c,0?，则

MF1?MF2?c2?b2，又F1F2?2c，

在?F1MF2中， 由余弦定理，得cos?F1MF2?

MF1?MF2?F1F22MF1?MF2222,

b2?c211c2?b2?c2?b2?4c2??即??，∴， 22222b?c22c?b??????第 2 页 共 9 页

3?a216222e???3a?2c∵b?c?a，∴2，∴，∴，∴，故选B e?22222c?a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：e?c2c2c2c1?????2?1 a2aPF1?PF222c?2c2?1四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2例4：设椭圆2?2?1（a?0,b?0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1ab且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵AD?l1于D，∴AD为F1到准线l1的距离，根据椭

1ABAF112?? 圆的第二定义，e?ADAD2变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的

离心率为（ ） A

2 B

AF2AD?122 C D

224解：e?222? 12五、构建关于e的不等式，求e的取值范围 例5：设???0,????，则二次曲线x2cot??y2tan??1的离心率的取值范围为（ ） ?4??12??2?1??,2?A. B. ?, C. ???? D. ?2,??? 2222????22另：由xcot??ytan??1，???0,???22?，得a?tan?，b?cot?, ?4?c2tan??cot??1?cot2? ∴c?a?b?tan??cot?,∴e?2?tan?a2222∵???0,

???22?，∴cot??1,∴e?2，∴e?2，故选D ?4?第 3 页 共 9 页

例6：如图，已知梯形ABCD中，AB?2CD，点E分有向线段AC所成的比为?，双曲线过C、D、

E三点，且以A、B为焦点．当

23???时，求双曲线离心率e的取值范围。 34解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系

xoy，则CD?y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线

的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A??c,0?，C?,h?，E?x0,y0?，其中c??c?2??1AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 2

?c???由定比分点坐标公式得x0?c222????2?c，y??h，设双曲线的方程为x?y?1，则离

01??2?1???1??a2b2cc2h2??1① 心率e?，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得

a4a2b2c2将点E的坐标代入双曲线方程得

4a2h2??????2????2???1② ?1???b?1???22ce2h2h2e2??1，∴2??1③ 再将e?①、②得

a4b24be24h2??????2????2???1④ ?1???b?1???22e2?4?4???1?2?，∴??1?23，由题设2???3得： 将③式代入④式，整理得

34e?24233?1?2?，解得7?e?10，所以双曲线的离心率的取值范围为3e?24

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?7,10?

配套练习

x2y21. 设双曲线2?2?1（a?0,b?0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，

ab则此双曲线的方程为（ ）

x2y2A. ??1

1224x2y2B. ??1

4896x22y2C. ??1

33x2y2D. ??136

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A．

1 3B．

3 3 C．

1 2 D．

3 24x2y23．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离心率为（ ）

3abA

5435 B C D 33244．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

A

2 B

122 C D

2241，则该双曲线的离心25．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为率为（ ） A

2 B 2 C 22 D 22

x2y26．如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1

ab为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A

3

B

5 C

5 2 D

3?1

x2y27. 设F1、F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为

ab半焦距）的点，且F1F2?F2P，则椭圆的离心率是（ ）

A

13?1 B C

225?12 D 22第 5 页 共 9 页

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