浅谈致密性定理的不同证明方法

浅谈致密性定理的不同证明方法

[摘要]在《数学分析》课程的极限续论部分，提出了关于实数的七个基本定理。这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，但最后却都能殊途同归。本文就以致密性定理为例，论述如何从不同角度对其进行证明，并总结在证明过程中的几点发现。

[关键词]实数基本定理 确界定理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 致密性定理 柯西收敛定理

一、分析的严格化——定理的出现

十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的发展。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。于是，在众多数学名家的努力下，提出了七个实数基本定理！

定理表述如下：（1）实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。（2）确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

（3）单调有界原理:若数列{xn}单调上升有上界，则{xn}必有极限。（4）区间套定理:设｛［an,bn］｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即r∈I∞n=1［an,bn］。（5）有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。（6）致密性（魏尔斯特拉斯）定理：有界数列必有收敛子数列。（7）柯西收敛定理：在实数系中，数列{xn}有极限存在的充分必要条件是：＞0,N,当n＞N,m＞N时，有｜xn-xm｜＜。

二、致密性定理的不同证明方法

1．用确界定理证明致密性定理

证明：设数列{xn}是有界数列。定义数集A={x|{xn}中大于x的点有无穷多个}

三、证明中的几点发现

1.即使用同一个基本定理证明同一个定理，也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成用单调有界定理证明致密性定理。

证法一：由上一部分的论述，我们知道，用单调有界定理证明致密性定理，可以用二分法，本质上用区间套去证明致密性定理。

证法二：首先证明有界数列{an}有单调子数列。

称其中的项an有性质M，若对每个i＞n，都有an≥a1，也就是说，an是集合{ai|i＞n}的最大数。

2.从用有限覆盖定理证明致密性定理和用确界定理证明致密性定理中，我们都证明了一个结论：若

x0∈[a,b]， δ＞0,(x0-δ,x0+δ)中必含有xn的无限多项，则存在{xnk}为{xn}的子数列且收敛于

x0。而我们发现，其实这是一个充分必要条件。

3．由单调有界定理证明致密性定理的第二种证法，我们可以得出结论：任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。

4. 从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由致密性定理得出子列，也即致密性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。

证明是数学的灵魂！数学是研究结构的。通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质。假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。在实数基本定理的证明之中，我们深深体会到这一点。正如在任何语言中，同一思想可以用多种表达方法一样，同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中，我们不只检验了定理，而且对定理有了更深的理解。不同的证明还启迪了我们的思维，交流了数学思想，促进了我们的发现。

参考文献：

［1］陈传璋，金福临，朱学炎.欧阳光中.数学分析.高等教育出版社.

［2］刘玉琏,杨奎元,刘伟,吕凤.数学分析讲义.高等教育出版社.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qp1j.html