2013考研数学三（真题及答案） - 详细解析word版

2013年第三部分：数三真题及答案解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

（A）x?o(x2)?o(x3) （B）o(x)o(x2)?o(x3)

（C）o(x2)?o(x2)?o(x2) （D）o(x)?o(x2)?o(x2)

【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当x?0时f(x)?x2?x3?o(x),g(x)?x3?o(x2)，但f(x)?g(x)?o(x)而不是o(x2)故应该选（D）． 2．函数f(x)?x?1x(x?1)lnxx的可去间断点的个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【详解】当xlnx?0时，x?1?exxlnx?1~xlnx，

limf(x)?limx?0x?0x?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxxxx?limx?0xlnxxlnxxlnx?1，所以x?0是函数f(x)的可去间断点． ?1，所以x?1是函数f(x)的可去间断点． 2??，所以所以x??1不是函数f(x)limf(x)?limx?1x?1?limx?02xlnxx??1limf(x)?limx??1?limxlnx?(x?1)lnxx??1的可去间断点． 故应该选（C）．

３．设Dk是圆域D?(x,y)|x2?y2?1的第k象限的部分，记Ik?????(y?x)dxdy，

Dk则（ ）

（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

1?Ik???(y?x)dxdy??2?d??(sin??cos?)rdr??k2?1(sin??sin?)d?0(k?1)32?Dk2k12?k1?sin??cos??|322所以I1?I3?0,I2??,I4???，应该选（B）．

33４．设?an?为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）

??（A）若an?an?1，则（B）若

k?2k?1?2

?(?1)n?1?n?1an收敛；

?(?1)n?1?n?1an收敛，则an?an?1；

（C）若

?an?1?np收敛．则存在常数P?1，使limnan存在；

n??（D）若存在常数P?1，使limnan存在，则

n??p?an?1?n收敛．

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件liman?0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条

n??件，选项（B）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：A???1,?2,?,?n?,C???1,?2,?,?n?，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知?i?bi1?1?bi2?2???bin?n(i?1,2,?,n)，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即A?CB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．

?1?1a1??200?????6．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是

?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数

?200??1a1??200???????【详解】注意矩阵?0b0?是对角矩阵，所以矩阵A=?aba?与矩阵?0b0?相

?000??1a1??000???????似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

??1?E?A??a?1?a?1??b?a???(?2?(b?2)??2b?2a2) ?a??12从而可知2b?2a?2b，即a?0，b为任意常数，故选择（B）．

7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32)，

Pi?P??2?Xi?2?，则

（A）P1?P2?P3 （B）P2?P1?P3 （C）P3?P2?P1 （D）P1?P3?P2

X??2~N(0,1) 【详解】若X~N(?,?)，则?X2????P?2?(2)?1，P?P?2?X?2?P?1??1???2?(1)?1， 1222????2?5X3?52?5??7??7?P3?P??2?X3?2??P??????(?1)????????????1)?33??3??3??3，

?7?P3?P2?1?????3?(1)?2?3?(1)?0．

?3?故选择（A）．

8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X 0 1 2 P 1/2 1/4 1/8 Y -1 0 P 1/3 1/3 则P?X?Y?2??（ ） （A）【

3P 1/8 1 1/3 1111 （B） （C） （D） 12628详

解

】

P?X?Y?2??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?0??P?X?3,Y??1??，故选择（C）．

1111???1224246二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

?n?9．设曲线y?f(x)和y?x2?x在点?1,0?处有切线，则limnf??? ．

n???n?2?【详解】由条件可知f?1??0,f'(1)?1．所以

?2??f?1???f(1)n?2?n??limnf??lim???2f'(1)??2 ?n??n???2n?2n?2???n?2?2n?zx|(1,2)? ． 10．设函数z?z?x,y?是由方程?z?y??xy确定，则?x【详解】

，F?x,y,z??(z?y)x?xyFx?x,y,z??(z?y)xlz?y)?y,Fz(x,ny,z)?x(z?y)x?1，(

?z|(1,2)?2?2ln2． 当x?1,y?2时，z?0，所以?x??lnx11．?dx? ．

1(1?x)2设【详解】

????lnx1lnx??1x??dx??lnxd??|?dx?ln|1?ln2 1?1(1?x)2?1?1x(1?x)1?x1?xx?1112．微分方程y???y??y?0的通解为 ．

411r【详解】方程的特征方程为?????0，两个特征根分别为?1??2?，所以方程

42??则

通解为y?(C1?C2x)e，其中C1,C2为任意常数．

x213．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足

??Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A= ．

【详解】由条件Aij?aij?0(i,j?1,2,3)可知A?A*?0，其中A*为A的伴随矩阵，从而可知

TA*?A*?AT3?1??A，所以A可能为?1或0．

?n,r(A)?n?*T但由结论r(A)??1,r(A)?n?1可知，A?A*?0可知r(A)?r(A*),伴随矩阵的秩只

?0,r(A)?n?1?能为3，所以A??1.

14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe2X? ． 【详解】

??EXe2X????????xe2x12?e?x22dx??????2x2?e?(x?2)2?22dx?e2?2?????(x?2?2)e?(x?2)22dx

tt???????e?22???e2E(X)?2e2?2e2． tedt?2edt ????????2????2所以为2e．

22三、解答题

15．（本题满分10分）

n当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n．

【分析】主要是考查x?0时常见函数的马克劳林展开式． 【

详

解

】

当

x?0时，

c1xo?1?sx2?o(x2)2，，

1cos2x?1?(2x)2?o(x2)?1?2x2?o(x2)219cos3x?1?(3x)2?o(x2)?1?x2?o(x2)，

22所

以

1?cosxcos2xcos3x?1?(1?，

129x?o(x2))(1?2x2?o(x2))(1?x2?o(x2))?7x2?o(x2)22n由于1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，所以a?7,n?2．

16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕

x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值．

【详解】由微元法可知

3Vx???ydx???xdx?a3?；

00547aa6Vy?2??xf(x)dx?2??x3dx?a3?；

007a2a235由条件10Vx?Vy，知a?77． 17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求【详解】

??xdxdy．

D8?x32??xdxdy???xdxdy???xdxdy??xdx?xdy??xdx?xdy?DD1D2032222223x62416． 3Q,100018．（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P?60?（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P． 【详解】

Q2?6000， （1）设利润为y，则y?PQ?(6000?20Q)?40Q?1000Q. 边际利润为y'?40?500（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令y'?0，得Q?20000,P?60?20000?40.

10000x???19．（本题满分10分）

设函数f?x?在[0,??)上可导，f?0??0，且limf(x)?2，证明 （1）存在a?0，使得f?a??1;

（2）对（1）中的a，存在??(0,a)，使得f'(?)?【详解】

1． a35?f(x)?，

x???22又由于f?x?在[0,??)上连续，且f?0??0，由介值定理，存在a?0，使得f?a??1; （2）函数f?x?在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，

f(a)?f(0)1?． 存在??(0,a)，使得f'(?)?aa证明（1）由于limf(x)?2，所以存在X?0，当x?X时，有20．（本题满分11分）

?1a??01????设A??，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求,B??????10??1b?出所有矩阵C．

【详解】

?x1显然由AC?CA?B可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设C???x?3??x2?ax3?ax1?x2?ax4??01??则AC?CA?B变形为??1b??， ?x?x?x???x?ax423??13??x2??， x4??

??x2?ax3?0??ax?x?ax?1?124即得到线性方程组?，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方

x?x?x?14?13??x2?ax3?b程组的增广矩阵进行初等行变换如下

00??10?1?11??0?1a?????a10a1??01?a00?， ?A|b?????1???0?1?1100001?a?????0??1?a0b??0000b???所以，当a??1,b?0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC?CA?B．

?10?1?11????01100?此时，?A|b???， ?00000???00000????x1??1??1??1??????????x2??0???1??0?所以方程组的通解为x???????C1???C2??，也就是满足AC?CA?B的矩

x010?3????????0??1??x??0??????4???阵C为

?1?C1?C2C???C1??C1??，其中C1,C2为任意常数． ?C2?

21．（本题满分11分） 设

二

次

型

f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2．记

?a1??b1????????a2?,???b2?．

?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2??T???T；

22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y2【详解】证明：（1）

f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2?a1??x1??b1??x1??????????????????2x1,x2,x3?a2?a1,a2,a3?x2??x1,x2,x3?b2?b1,b2,b3?x2??a??x??b??x??3??3??3??3??x1???T??x1,x2,x3?2???x2???x1,x2,x3???T?x??3???????x1????x2??x??3?

?x1???TT??x1,x2,x3?2??????x2??x??3??所以二次型f对应的矩阵为 2??T???T． 证明（2）设A?2??T???T，由于??1,?TT则A??2???????2??T??0

??2???T??2?，所以?为矩阵对应特征值?1?2的特

2征向量；

A??2??T???T??2??T????向量；

????，所以?为矩阵对应特征值?2?1的特征

而矩阵A的秩r(A)?r(2??T???T)?r(2??T)?r(??T)?2，所以?3?0也是矩阵的一个特征值．

22故f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y222．（本题满分11分）

?3x2,0?x?1设?X,Y?是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)??，在给定

0,其他??3y2,0?y?x,?． X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为fY(y/x)??x3X?0,其他?（1）求?X,Y?的联合概率密度f?x,y?； （2）Y的的边缘概率密度fY(y)．

【详解】（1）?X,Y?的联合概率密度f?x,y?：

?9y2,0?x?1,0?y?x? f?x,y??fY(y/x)?fX(x)??xX?0,其他?（2）Y的的边缘概率密度fY(y)：

?19y2??dx??9y2lny,0?y?1??y fY(y)??f(x,y)dx??x???0,其他?23．（本题满分11分）

??2???3ex,x?0设总体X的概率密度为f(x;?)??x，其中?为为未知参数且大于零，

?0,其他?X1X2,?Xn为来自总体X的简单随机样本． （1）求?的矩估计量；

（2）求?的极大似然估计量．

【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）

E(X)??xf(x)dx????????0?2x2exdx??，

???1n1n令E(X)?X??Xi，得?的矩估计量??X??Xi．

nn?1ni?1（2）当xi?0(i?1,2,?n)时，似然函数为

???xL(?)???3ei?xii?1?n2?????e??n?3??x???i??i?1?2n?n1????????i?1xi??，

n?n1?取对数，lnL(?)?2nln??????x???3?lnxi，

i?1?i?1i?dlnL(?)2nn1?0，得令???0， d??i?1xi解得的极大似然估计量为．

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