江苏省如皋中学2018年10月阶段考试高三数学(理科)

江苏省如皋中学2018-2019学年度第一学期阶段练习

高三数学（理科）

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．1.设集合M??2,0,x?，集合N??0,1?，若N?M，则x? ▲ . 2.函数f(x)?2sin(3πx?1)(x?R)的最小正周期为 ▲ ． 3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为120，若向量a?e1?2e2，b?4e1，则a?b= ▲ ． 4.已知等差数列?an?的前项和为,若5.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为则椭圆的标准方程为 ▲ ．

,

,则

▲ ．

1，其长轴长等于圆x2?y2?2x?15?0的半径，26.已知实数，满足则的取值范围是 ▲ ．

7．设a,b为不重合的两条直线，?,?为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a∥?且b∥?，则a∥b；（2）若a??且b??，则a∥b； （3）若a∥?且a∥?，则?∥?；（4）若a??且a??，则?∥?． 上面命题中，所有真命题的序号是 ▲ ． ．．．

8． 底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的表面积为 ▲ m2． 9． 如图，在?ABC中， AB?AC，BC?2，AD?DC，AE?11EB，若BD?AC??，

22则CE?AB? ▲ ．

3b2x2y22210.已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）和圆O:x?y?，若椭圆C上存在点P，

ab4使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B，且?APB?的取值范围为 ▲ ．

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?3，则椭圆的离心率

11.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?xlnx，则不等式f(x)??e 的解集为 ▲ . 12.在平面直角坐标系弦

，且

中，圆，则实数

：

.若圆

的取值范围是 ▲ ．

存在以

为中点的

2??2x－3x，x≤0，

13.已知函数f(x)＝?x2若不等式f(x)≥kx对x∈R恒成立，则实数k的取值范围

?e＋e，x＞0.?

是 ▲ ． 14.设集合

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

4在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA?，b?5c．

5,则集合中任意两个元素的差的绝对值的和为____.

（1）求sinC的值；

3（2）若△ABC的面积S?sinBsinC，求a的值．

2

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥DC，DC?2AB，

AP?AD，PB⊥AC，

BD⊥AC， E为PD的中点．

求证：（1）AE∥平面PBC；

（2）PD⊥平面ACE．

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P E D C

A B

（第16题图）

17．（本题满分14分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1（a?b?0）的左焦点为F，右

ab顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为

29，点M的横坐标为． 32（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1?k2的取值范围．

18.（本题满分16分）

某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆交点重合，且圆与矩形上下两边相切（

的圆心与矩形

，

对角线的为其中两，且

（第17题图）

y P O M

F A x 为上切点），与左右两边相交（

个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1

，设（1）求

，透光区域的面积为

.

关于的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边

的长度.

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19．（本题满分16分）

2已知等比数列{an}的公比为q，首项为a1，其前n项的和为Sn．数列{an}的前n项的

和为An， 数列{(?1)n?1an}的前n项的和为Bn． （1）若A2?5，

B2??1，求{an}的通项公式；

（2）①当n为奇数时，比较BnSn与An的大小；

②当n为偶数时，若q?1，问是否存在常数?（与n无关），使得等式

(Bn??)Sn?An?0恒成立，若存在，求出?的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分16分）

已知函数f（x） = (ax+x)e,其中e是自然对数的底数，a?R.

2

x

(1)若f'(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f'(x)>e； (2)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；

(3)当a = 0时，求整数k的所有值，使方程f(x)?x?2在[k,k+1]上有解.

x

201810阶段练习高三数学（理科） 第4页

江苏省如皋中学2018-2019学年度第一学期阶段练习

高三数学（理科）附加题

?a3??1??8?21. .已知矩阵A???，若A?2???4?，求矩阵A的特征值.

2d??????

22. 已知平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为

坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

.

(1)求圆C的圆心的极坐标;

(2)当圆C与直线l有公共点时,求r的取值范围.

.以直角

201810阶段练习高三数学（理科） 第5页

23.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB?AC?A1B?2．

（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；

（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP?14，并求出二面角P?AB?A1的平面角的余

弦值．

24. 在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM?PF?0，PM?PN?0． （1）求动点N的轨迹C的方程；

（2）设点Q是直线l：x??1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切 点

分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，

求证：k1?k2?2k0．

B C

A

C1

B1

A1

（第23题）

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答 案

一． 填空题

xy2?1. 1 2. 3. 0 4. 12 5.

343 6.

22?1

4 3 7. （2）（4） 8. 33 9. ? 10. ??6? 11. (??,?e) 12 ,1???3?

2 13 [?3,e]

14

二．解答题

15．解：（1） ∵a2?b2?c2?2bccosA=26c2?10c2?4=18c2， 5 ∴a?32c． …………………………………2分 ∵cosA?∵

43，0?A?π， ∴sinA?．

55ac?， sinAsinC3csinA5=2． ……………………………7分

∴sinC?=a32c10c? （2）∵b?5c， ∴

sinBb??5，sinB?5sinC． sinCc3153 ∴sinBsinC?sin2C?． ……………10分

2220132a2又∵S=bcsinA?c?，

2212a2335 ∴?， ∴a?． ……………………14分

51220

201810阶段练习高三数学（理科） 第7页

16．证明：（1）取PC中点F，连结EF，BF，

∵E为PD中点，

1∴EF∥DC且EF=DC．………2分

2P E D

F

C

∵AB∥DC且AB?1DC， 2∴EF∥AB且EF=AB．……………4分 ∴四边形ABFE为平行四边形． ∴AE∥BF． …………………6分 ∵AE?平面PBC，BF?平面PBC， ∴AE∥平面PBC. ………………8分 （2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∴AC?平面PBD． ∵PD?平面PBD，

BD?B，

A B

（第16题图）

∴AC?PD． …………………………………………10分 ∵AP?AD，E为PD的中点，

∴PD?AE． …………………………………………12分 ∵AEAC?A，

∴PD⊥平面ACE. …………………………………………14分

17．解：（1）由已知，得

?c2?,??a3 ?2 ……………………………………2分

a9??,??c22??a?3,?a?9,解得? ∴ ?2 ………………………………4分

c?2.???b?5.x2y2∴椭圆C的标准方程为??1．………………………………6分

959 （2）设点P(x1,y1)（?2?x1?3），点M(,y2)，

2 ∵点F、P、M三点共线，x1??2，

201810阶段练习高三数学（理科） 第8页

∴

y1y13y1?2，y2?，

2(x1?2)x1?2132913y1)． ……………………………………………8分 ∴点M(,22(x1?2) ∵k1?y113y1，k2?， x1?33(x1?2)13y12y113y1? ∴k1?k2==． ……………………10分 x1?33(x1?2)3(x1?2)(x1?3)x12y125??1， ∴y12??(x12?9)． ∵点P在椭圆C上， ∴959513?(?)(x12?9)65x?36519)．……………12分 ∴k1?k2==??1=??(1?27x?227x?23(x1?2)(x1?3)11 ∵?2?x1?3， ∴k1?k2??26． 926)． ……………………………………14分 9 ∴k1?k2的取值范围是(??,?

18．解:(1) 过点所以

．

所以

作

，

于点，则，

， ……………4分

因为

，所以

，所以定义域为

．

……………6分

201810阶段练习高三数学（理科） 第9页

……………16分

19．解: (1) ∵A2?5,B2??1,

?a1??2,?a12?a12q2?5,?a1?1,?∴? ∴? ………………2分 1或?a?aq??1,q?2.q?,??11??21∴an??()n?2，或an?2n?1. ……………………………………4分

2201810阶段练习高三数学（理科） 第10页

an?12an?12(?1)n?2an?1an?12(2) ∵常数， ?()?q??(?1)???q=常数， 2n?1anan(?1)anan2∴数列{an}，{(?1)n?1an}均为等比数列，首项分别为a12，a1，公比分别为q2，

?q． ………………………………6分

①当n为奇数时，

当q?1时, Sn?na1，An?na12，Bn?a1, ∴BnSn?na12?An.

当q??1时, Sn?a1，An?na12，Bn?na1,

∴BnSn?na12?An. ……………………………………8分 当q??1时, 设n?2k?1(k?N?)，

a1(1?q2k?1)a12[1?(q2)2k?1]a12(1?q2k?1)(1?q2k?1)S2k?1??，A2k?1?，

1?q1?q21?q2a1[1?(?q)2k?1]a1(1?q2k?1)B2k?1??,

1?q1?q∴B2k?1S2k?1?A2k?1．

综上所述，当n为奇数时，BnSn?An. ……………………10分 ②当n为偶数时， 存在常数??∵q?1，

a1(1?qn)a12(1?q2n)a1(1?qn)∴Sn?，An?，Bn?．

1?q1?q21?qa1(1?qn)a1(1?qn)a12(1?q2n)??]?∴(Bn??)Sn?An=[

1?q1?q1?q2a12(1?qn)2?a1(1?qn)a12(1?q2n)??? 21?q1?q1?q22a1，使得等式(Bn??)Sn?An?0恒成立． ……11分 1?q201810阶段练习高三数学（理科） 第11页

2a12(1?qn)?a1(1?qn)??

1?q21?qa1(1?qn)2a1(??) ． ………………………………14分 =

1?q1?qa1(1?qn)2a1a1(1?qn)(??)?0对所有的偶数n恒成立，又?0， 由题设，

1?q1?q1?q∴??2a1． ………………………………16分 1?q2a1，使得等式(Bn??)Sn?An?0恒成立． 1?q∴存在常数??

20. 解：（1）f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex>ex，

又∵ex>0,,a＞0，所以不等式可化为ax2+（2a+1）x+1>1， ∴x>0或x<-

（2）f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求； ……………5分

②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2， 不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调． ……………7分

2a?1……………4分

a

201810阶段练习高三数学（理科） 第12页

若a＜0，可知x1＞0＞x2，

因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

因为g（0）=1＞0，所以必须满足g(1)≥0,g(?1)≥0;即3a+2≥0，?a≥0 ，所以?

综上可知，a的取值范围是[?2≤a≤0． ……………10分 32，0]． 3（3）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于ex-

令h（x）=ex-2-1=0， ……………12分 x22-1，因为h′（x）=ex+2＞0对于x≠0恒成立， xx所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数， 又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h（-3）=e-3-1＜0，h（-2）=e-2＞0， 3所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，所以整数t的所有值为{-3，1}．……………16分

附加题答案

1. 因为

，

所以 所以矩阵

解得 所以．……………5分

的特征多项式为，

令

，解得矩阵的特征值为，……………10分

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2. 试题解析：（1）由

得

，

∴曲线是以

为圆心，为半径的圆，

∴圆心的极坐标为．……………4分

（2）由

得，

从而圆心到直线的距离为，

∵圆与直线有公共点，∴，即．……………10分

3. 【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则 C?2，0，0?，B?0，2，0?，A1?0，2，2?，B1?0，4，2?，

AA1??0，2，2?，BC?B1C1??2，?2，0?． cos?AA?41，BC??AA1?BCAA1?BC?8?8??12， 故AA1与棱BC所成的角是π3． ………………………4分（2）设B1P??B1C1??2?，?2?，0?，则P?2?，4?2?，2?．

于是AP?4?2??4?2??2?4?14???1（??

3

22

舍去），则P为棱B1C1的中点，其坐标为P?1，3，2?． …………6分 设平面P?AB?A1的法向量为n1??x,y,z?，

201810阶段练习高三数学（理科） 第14页

C1

A1 P z

B1 x C A yB

??n1?AP?0，?x?3y?2z?0，?x??2z，????则?

2y?0.y?0.????n1?AB?0故

n1

………………………………………………………………………………8???2，0，1?．分

而平面ABA1的法向量是n2=(1,0,0)，则cos?n1,n2??n1?n2?225???，

n1?n255角

的

余

弦

值

是

故二面角

P?AB?A1的平面

25． ………………………………………10分 54. 【解】（1）设点N?x,y?，M(a,0)，P(0,b)．

由PM?PN?0可知，点P是MN的中点，

?a?x?0,?a??x,??2??y?所以?即?y所以点M??x,0?，P?0,2?．

???0?y?b,?b?,?2??2y?y???所以PM???x,??，PF??1,??． …………3分

2?2???lySQOFTxy2由PM?PF?0，可得?x??0，即y2?4x．

4所以动点N的轨迹C的方程为y?4x．……………5分 （2）设点Q??1,t?，

由于过点Q的直线y?t?k?x?1?与轨迹C：y2?4x相切，

22?2?y?4x联立方程?，整理得k2x2?2k2?kt?2x??k?t??0．…………7分

??y?t?k?x?1???则??4?k2?kt?2??4k2?k?t??0，

22化简得k2?tk?1?0．

显然，k1，k2是关于k的方程k2?tk?1?0的两个根，所以k1?k2??t． 又k0??t，故k1?k2?2k0． 2201810阶段练习高三数学（理科） 第15页

所以命题得证． ……………………………10分 201810阶段练习高三数学（理科） 第16页

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